Otwarte4 pkt
W trójkącie prostokątnym \(ACB\) przyprostokątna \(AC\) ma długość 5, a promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy 2. Oblicz pole trójkąta \(ACB\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Oznaczenie boków
Niech druga przyprostokątna ma długość \(x\), a przeciwprostokątna \(c\). Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy zależność między bokami.
\[c^2=5^2+x^2=25+x^2\]
2 Obliczenie drugiej przyprostokątnej
W trójkącie prostokątnym promień okręgu wpisanego jest równy połowie różnicy sumy przyprostokątnych i przeciwprostokątnej. Podstawiamy \(r=2\), a następnie korzystamy z twierdzenia Pitagorasa.
\[2=\frac{5+x-c}{2}\quad\Rightarrow\quad c=x+1\quad\Rightarrow\quad (x+1)^2=25+x^2\quad\Rightarrow\quad 2x=24\quad\Rightarrow\quad x=12\]
3 Obliczenie pola
Pole trójkąta prostokątnego jest połową iloczynu długości przyprostokątnych.
\[P=\frac{5\cdot12}{2}=30\]
Odpowiedź
Pole trójkąta wynosi 30.
\[P=30\]
Sprawdzenie
Dla przyprostokątnych 5 i 12 przeciwprostokątna ma długość 13, a promień okręgu wpisanego wynosi 2. Wszystkie długości są dodatnie.
\[5^2+12^2=13^2,\qquad r=\frac{5+12-13}{2}=2\]