Zamknięte1 pkt
Jeżeli \(\alpha\) oznacza miarę kąta między przekątną sześcianu a przekątną ściany bocznej tego sześcianu (zobacz rysunek), to
A
\(\sin\alpha=\frac{\sqrt{6}}{3}\)
B
\(\sin\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
C
\(\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
D
\(\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Wyznaczenie długości
Oznaczmy krawędź sześcianu przez \(a>0\). Z twierdzenia Pitagorasa przekątna ściany ma długość \(a\sqrt2\), a przekątna sześcianu \(a\sqrt3\).
\[d_{\text{ściany}}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt2,\qquad d_{\text{sześcianu}}=\sqrt{(a\sqrt2)^2+a^2}=a\sqrt3\]
2 Obliczenie sinusa kąta
Zaznaczone przekątne i dolna przednia krawędź tworzą trójkąt prostokątny: ta krawędź jest prostopadła do ściany zawierającej jej przekątną. Krawędź długości \(a\) leży naprzeciw kąta \(\alpha\), więc dzielimy ją przez przeciwprostokątną.
\[\sin\alpha=\frac{a}{a\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}\]
Odpowiedź
Odpowiedź D.
\[\sin\alpha=\frac{\sqrt3}{3}\]
Sprawdzenie
Długości boków utworzonego trójkąta spełniają twierdzenie Pitagorasa, a obliczony sinus należy do przedziału \((0,1)\).
\[(a\sqrt2)^2+a^2=3a^2=(a\sqrt3)^2,\qquad 0<\frac{\sqrt3}{3}<1\]