Zadanie 32 — matura 2018, sierpień | Matematyka podstawowa, F-2015

Matura 2018 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym \(ABCS\) krawędź podstawy ma długość \(a\). Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest dwa razy większe od pola jego podstawy. Oblicz cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy.

Ostrosłup trójkątny ABCS z zaznaczonym punktem O w podstawie.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Pole podstawy i wysokość ściany bocznej

Podstawa jest trójkątem równobocznym. Trzy jednakowe ściany boczne mają łączne pole dwa razy większe od pola podstawy, więc wyznaczamy ich wysokość l.

\[P_p=\frac{a^2\sqrt3}{4},\qquad 3\cdot\frac{al}{2}=2P_p=\frac{a^2\sqrt3}{2},\qquad l=\frac{a}{\sqrt3}.\]

2 Długość krawędzi bocznej

Wysokość ściany bocznej dzieli krawędź podstawy na połowy. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość SA.

\[SA^2=l^2+\left(\frac a2\right)^2=\frac{a^2}{3}+\frac{a^2}{4}=\frac{7a^2}{12},\qquad SA=\frac{a\sqrt{21}}6.\]

3 Cosinus kąta nachylenia

Rzutem krawędzi SA na płaszczyznę podstawy jest AO. Punkt O jest środkiem trójkąta równobocznego, zatem AO jest dwiema trzecimi jego wysokości.

\[AO=\frac23\cdot\frac{a\sqrt3}{2}=\frac a{\sqrt3},\qquad \cos\angle SAO=\frac{AO}{SA}=\frac{a/\sqrt3}{a\sqrt{21}/6}=\frac2{\sqrt7}=\frac{2\sqrt7}{7}.\]

Odpowiedź

Cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy wynosi \(\frac{2\sqrt7}{7}\).

\[\cos\alpha=\frac{2\sqrt7}{7}\]

Sprawdzenie

Otrzymana wysokość ściany bocznej daje wymagane pole powierzchni bocznej, a obliczony cosinus należy do przedziału od 0 do 1.

\[3\cdot\frac{a}{2}\cdot\frac{a}{\sqrt3}=\frac{a^2\sqrt3}{2}=2P_p,\qquad 0<\frac2{\sqrt7}<1.\]