Matematyka — matura 2017

74%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Liczba $5^8\cdot16^{-2}$ jest równa

$\left(\frac{5}{2}\right)^8$

$\frac{5}{2}$

$10^8$

$10$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zamiana podstawy potęgi

Zapisujemy 16 jako potęgę liczby 2, aby otrzymać ten sam wykładnik w obu czynnikach.

\[16^{-2}=(2^4)^{-2}=2^{-8}=\frac{1}{2^8}\]

2 Połączenie potęg

Potęgi o jednakowym wykładniku można połączyć w jedną potęgę ilorazu.

\[5^8\cdot16^{-2}=\frac{5^8}{2^8}=\left(\frac{5}{2}\right)^8\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[\left(\frac{5}{2}\right)^8\]

Sprawdzenie

Ponieważ 16² = 256 = 2⁸, obie postacie mają wartość 390625/256.

\[5^8\cdot16^{-2}=\frac{390625}{256}=\left(\frac{5}{2}\right)^8\]

Zadanie 2

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

43%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Liczba $\sqrt[3]{54}-\sqrt[3]{2}$ jest równa

$\sqrt[3]{52}$

$3$

$2\sqrt[3]{2}$

$2$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyłącz czynnik przed pierwiastek

Liczba 54 jest iloczynem sześcianu liczby 3 i liczby 2, więc można wyłączyć 3 przed pierwiastek.

\[\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\cdot2}=3\sqrt[3]{2}\]

2 Odejmij podobne wyrażenia

Oba składniki zawierają ten sam pierwiastek, więc odejmujemy ich współczynniki.

\[3\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{2}=2\sqrt[3]{2}\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[2\sqrt[3]{2}\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu otrzymanej postaci za pierwszy składnik różnica wynosi dokładnie podany wynik.

\[\sqrt[3]{54}-\sqrt[3]{2}=3\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{2}=2\sqrt[3]{2}\]

Zadanie 3

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

72%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Liczba $2\log_{2}3-2\log_{2}5$ jest równa

$\log_{2}\frac{9}{25}$

$\log_{2}\frac{3}{5}$

$\log_{2}\frac{9}{5}$

$\log_{2}\frac{6}{25}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przenieś współczynniki do wykładników

Korzystamy ze wzoru $a\log_b x=\log_b(x^a)$, aby zapisać oba składniki jako logarytmy liczb 9 i 25.

\[2\log_{2}3-2\log_{2}5=\log_{2}9-\log_{2}25\]

2 Połącz logarytmy

Różnica logarytmów o tej samej podstawie jest logarytmem ilorazu ich argumentów.

\[\log_{2}9-\log_{2}25=\log_{2}\frac{9}{25}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[\log_{2}\frac{9}{25}\]

Sprawdzenie

Argumenty logarytmów są dodatnie, a podstawa 2 jest poprawna. Po rozwinięciu otrzymanego wyniku wracamy do wyrażenia z zadania.

\[\log_{2}\frac{9}{25}=\log_{2}9-\log_{2}25=2\log_{2}3-2\log_{2}5\]

Zadanie 4

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

58%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Liczba osobników pewnego zagrożonego wyginięciem gatunku zwierząt wzrosła w stosunku do liczby tych zwierząt z 31 grudnia 2011 r. o 120% i obecnie jest równa 8910. Ile zwierząt liczyła populacja tego gatunku w ostatnim dniu 2011 roku?

4050

1782

7425

7128

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ułóż równanie

Wzrost o 120% oznacza, że obecna populacja stanowi 220% populacji z 2011 roku. Oznaczmy dawną liczbę zwierząt przez x.

\[2{,}2x=8910\]

2 Oblicz dawną populację

Dzielimy obie strony równania przez 2,2.

\[x=\frac{8910}{2{,}2}=4050\]

Odpowiedź

31 grudnia 2011 roku populacja liczyła 4050 zwierząt. Odpowiedź A.

\[4050\]

Sprawdzenie

120% z 4050 to 4860, a po dodaniu tej liczby do dawnej populacji otrzymujemy 8910.

\[4050+1{,}2\cdot4050=8910\]

Zadanie 5

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

47%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Równość $\left(x\sqrt{2}-2\right)^2=\left(2+\sqrt{2}\right)^2$ jest

prawdziwa dla $x=-\sqrt{2}$.

prawdziwa dla $x=\sqrt{2}$.

prawdziwa dla $x=-1$.

fałszywa dla każdej liczby $x$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Usunięcie kwadratów

Kwadraty dwóch liczb są równe, gdy liczby te są równe lub przeciwne.

\[x\sqrt{2}-2=2+\sqrt{2}\quad\text{lub}\quad x\sqrt{2}-2=-(2+\sqrt{2})\]

2 Rozwiązanie obu równań

W każdym równaniu wyznaczamy x, dzieląc przez niezerową liczbę $\sqrt{2}$.

\[x\sqrt{2}=4+\sqrt{2}\Rightarrow x=2\sqrt{2}+1;\qquad x\sqrt{2}=-\sqrt{2}\Rightarrow x=-1\]

Odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C. Równość jest prawdziwa dla $x=-1$.

\[x=-1\]

Sprawdzenie

Dla $x=-1$ lewa strona jest kwadratem liczby przeciwnej do $2+\sqrt{2}$, więc strony są równe. Drugi otrzymany wynik nie występuje w odpowiedziach.

\[(-\sqrt{2}-2)^2=(2+\sqrt{2})^2\]

Zadanie 6

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

64%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Do zbioru rozwiązań nierówności $(x^4+1)(2-x)>0$ nie należy liczba

$-3$

$-1$

$1$

$3$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustal znak pierwszego czynnika

Czwarta potęga liczby rzeczywistej jest nieujemna, więc pierwszy czynnik jest zawsze dodatni.

\[x^4\ge 0\quad\Rightarrow\quad x^4+1>0\]

2 Rozwiąż nierówność

Ponieważ pierwszy czynnik jest dodatni, iloczyn jest dodatni dokładnie wtedy, gdy drugi czynnik jest dodatni.

\[(x^4+1)(2-x)>0\quad\Longleftrightarrow\quad 2-x>0\quad\Longleftrightarrow\quad x<2\]

3 Wybierz liczbę spoza zbioru

Spośród podanych liczb tylko 3 nie spełnia warunku x<2.

\[-3<2,\quad -1<2,\quad 1<2,\quad 3>2\]

Odpowiedź

Do zbioru rozwiązań nie należy liczba 3 — odpowiedź D.

\[\boxed{\mathrm{D}:\ 3}\]

Sprawdzenie

Dla x=3 drugi czynnik wynosi −1, a pierwszy jest dodatni, więc iloczyn jest ujemny i nierówność nie zachodzi.

\[(3^4+1)(2-3)=82\cdot(-1)=-82<0\]

Zadanie 7

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

80%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór wszystkich rozwiązań nierówności $2-3x\geq 4$.

$Oś liczbowa: zamalowany punkt $\frac{2}{3}$, zbiór skierowany w prawo.$

$Oś liczbowa: niezamalowany punkt $\frac{2}{3}$, zbiór skierowany w prawo.$

$Oś liczbowa: niezamalowany punkt $-\frac{2}{3}$, zbiór skierowany w lewo.$

$Oś liczbowa: zamalowany punkt $-\frac{2}{3}$, zbiór skierowany w lewo.$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odejmij 2

Przenosimy wyraz stały na prawą stronę nierówności.

\[2-3x\geq 4\iff -3x\geq 2\]

2 Podziel przez −3

Dzielenie przez liczbę ujemną odwraca znak nierówności.

\[-3x\geq 2\iff x\leq -\frac{2}{3}\]

3 Wybierz rysunek

Do zbioru należą liczba graniczna i wszystkie liczby od niej mniejsze, więc punkt jest zamalowany, a zaznaczenie biegnie w lewo.

\[x\in\left(-\infty,-\frac{2}{3}\right]\]

Odpowiedź

Rysunek D.

\[x\leq -\frac{2}{3}\]

Sprawdzenie

Dla liczby granicznej lewa strona wynosi 4, więc należy ona do zbioru. Dla większej liczby 0 otrzymujemy 2 < 4, więc 0 nie jest rozwiązaniem.

\[2-3\left(-\frac{2}{3}\right)=4\geq 4,\qquad 2-3\cdot 0=2<4\]

Zadanie 8

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

65%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Równanie $x(x^2-4)(x^2+4)=0$ z niewiadomą $x$

nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.

ma dokładnie dwa rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych.

ma dokładnie trzy rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych.

ma dokładnie pięć rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie zasady iloczynu zerowego

Iloczyn jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy zeru.

\[x=0\quad\text{lub}\quad x^2-4=0\quad\text{lub}\quad x^2+4=0\]

2 Wyznaczenie rozwiązań rzeczywistych

Drugie równanie daje dwa rozwiązania. Trzecie nie ma rozwiązań rzeczywistych, ponieważ kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny.

\[x^2-4=0\iff x^2=4\iff x=-2\ \text{lub}\ x=2;\qquad x^2+4\geq 4>0\]

Odpowiedź

Równanie ma dokładnie trzy rozwiązania rzeczywiste: −2, 0 i 2. Odpowiedź C.

\[x\in\{-2,0,2\}\]

Sprawdzenie

Dla każdej z liczb −2, 0 i 2 jeden z czynników iloczynu jest zerem. Są to wszystkie rozwiązania, bo czynnik x²+4 nigdy nie jest zerem dla liczby rzeczywistej, a pozostałe czynniki dają tylko te trzy liczby.

\[(-2)^2-4=0,\qquad 0=0,\qquad 2^2-4=0,\qquad x^2+4>0\ \text{dla}\ x\in\mathbb{R}\]

Zadanie 9

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

64%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Miejscem zerowym funkcji liniowej $f(x)=\sqrt{3}(x+1)-12$ jest liczba

$\sqrt{3}-4$

$-2\sqrt{3}+1$

$4\sqrt{3}-1$

$-\sqrt{3}+12$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie miejsca zerowego

Miejsce zerowe spełnia równanie $f(x)=0$. Ponieważ $\sqrt{3}\neq 0$, dzielimy obie strony przez $\sqrt{3}$ i usuwamy niewymierność z mianownika.

\[\sqrt{3}(x+1)-12=0\;\Longrightarrow\;x+1=\frac{12}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}\;\Longrightarrow\;x=4\sqrt{3}-1\]

Odpowiedź

Miejscem zerowym jest liczba $4\sqrt{3}-1$, czyli odpowiedź C.

\[x=4\sqrt{3}-1\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu otrzymujemy zero.

\[f(4\sqrt{3}-1)=\sqrt{3}\cdot 4\sqrt{3}-12=12-12=0\]

Zadanie 10

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

61%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej $f(x)=ax^2+bx+c$, której miejsca zerowe to: $-3$ i $1$.

Współczynnik $c$ we wzorze funkcji $f$ jest równy

$Fragment wykresu paraboli z wierzchołkiem oznaczonym $W=(-1,4)$, miejscami zerowymi $-3$ i $1$ oraz przecięciem osi $y$ w punkcie $3$.$

$1$

$2$

$3$

$4$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczytanie współczynnika

Po podstawieniu $x=0$ do wzoru funkcji otrzymujemy $c$. Z wykresu odczytujemy, że parabola przecina oś $y$ w punkcie $(0,3)$.

\[f(0)=a\cdot0^2+b\cdot0+c=c=3\]

Odpowiedź

Współczynnik c jest równy 3. Odpowiedź C.

\[c=3\]

Sprawdzenie

Miejsca zerowe pozwalają zapisać funkcję w postaci iloczynowej. Ponieważ wierzchołek ma współrzędne $(-1,4)$, obliczamy $a=-1$, a następnie ponownie otrzymujemy $f(0)=3$.

\[f(x)=a(x+3)(x-1),\quad 4=f(-1)=a\cdot2\cdot(-2)=-4a,\quad a=-1,\quad f(0)=(-1)\cdot3\cdot(-1)=3\]

Zadanie 11

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

79%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji wykładniczej $f$ określonej wzorem $f(x)=a^x$. Punkt $A=(1,2)$ należy do tego wykresu funkcji.

Podstawa $a$ potęgi jest równa

$Fragment wykresu funkcji wykładniczej $f(x)=a^x$ z zaznaczonym punktem $A=(1,2)$, osiami i podziałką.$

$-\frac{1}{2}$

$\frac{1}{2}$

$-2$

$2$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie współrzędnych punktu

Ponieważ punkt A=(1,2) należy do wykresu, dla x=1 wartość funkcji wynosi 2.

\[f(1)=a^1=2\]

2 Wyznaczenie podstawy

Pierwsza potęga liczby jest równa tej liczbie, więc podstawą jest 2.

\[a=2\]

Odpowiedź

Podstawa a jest równa 2. Odpowiedź D.

\[a=2\]

Sprawdzenie

Dla a=2 otrzymujemy f(1)=2, zgodnie ze współrzędnymi punktu A. Podstawa spełnia też warunki funkcji wykładniczej: a>0 i a≠1.

\[2^1=2,\qquad 2>0,\qquad 2\ne 1\]

Zadanie 12

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

93%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W ciągu arytmetycznym $(a_n)$, określonym dla $n\geq 1$, dane są: $a_1=5$, $a_2=11$. Wtedy

$a_{14}=71$

$a_{12}=71$

$a_{11}=71$

$a_{10}=71$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie różnicy

W ciągu arytmetycznym różnica kolejnych wyrazów jest stała.

\[d=a_2-a_1=11-5=6\]

2 Wyznaczenie numeru wyrazu

Korzystamy ze wzoru na wyraz ogólny i rozwiązujemy równanie dla wartości 71.

\[a_n=a_1+(n-1)d=5+6(n-1);\quad 5+6(n-1)=71\Rightarrow n-1=11\Rightarrow n=12\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: $a_{12}=71$.

\[a_{12}=71\]

Sprawdzenie

Podstawienie $n=12$ do wzoru daje 71, a numer wyrazu spełnia warunek $n\geq 1$.

\[a_{12}=5+(12-1)\cdot 6=71\]

Zadanie 13

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

74%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny $(24, 6, a-1)$. Stąd wynika, że

$a=\frac{5}{2}$

$a=\frac{2}{5}$

$a=\frac{3}{2}$

$a=\frac{2}{3}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie ilorazu

W ciągu geometrycznym iloraz kolejnych wyrazów jest stały.

\[q=\frac{6}{24}=\frac{1}{4}\]

2 Wyznaczenie a

Trzeci wyraz jest iloczynem drugiego wyrazu i ilorazu.

\[a-1=6\cdot\frac{1}{4}=\frac{3}{2},\qquad a=\frac{5}{2}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[a=\frac{5}{2}\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanej wartości trzeci wyraz wynosi $\frac{3}{2}$, a iloraz trzeciego wyrazu przez drugi jest równy $\frac{1}{4}$.

\[\frac{a-1}{6}=\frac{\frac{5}{2}-1}{6}=\frac{1}{4}=\frac{6}{24}\]

Zadanie 14

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

72%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Jeśli $m=\sin 50^\circ$, to

$m=\sin 40^\circ$

$m=\cos 40^\circ$

$m=\cos 50^\circ$

$m=\operatorname{tg}50^\circ$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie tożsamości

Sinus kąta jest równy cosinusowi kąta dopełniającego go do 90°.

\[m=\sin 50^\circ=\cos(90^\circ-50^\circ)=\cos 40^\circ\]

Odpowiedź

B. m = cos 40°.

\[m=\cos 40^\circ\]

Sprawdzenie

Kąty 40° i 50° sumują się do 90°, więc tożsamość dla kątów dopełniających potwierdza wynik.

\[\cos 40^\circ=\sin(90^\circ-40^\circ)=\sin 50^\circ=m\]

Zadanie 15

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

86%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Na okręgu o środku w punkcie $O$ leży punkt $C$ (zobacz rysunek). Odcinek $AB$ jest średnicą tego okręgu. Zaznaczony na rysunku kąt środkowy $\alpha$ ma miarę

Okrąg o środku O, średnica AB i punkt C na okręgu. Odcinki AC, OC i BC; kąt 56° przy C między CA i CO oraz kąt środkowy α między OC i OB.

$116^\circ$

$114^\circ$

$112^\circ$

$110^\circ$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie kąta AOC

Odcinki OA i OC są promieniami, więc trójkąt AOC jest równoramienny. Jego kąty przy podstawie mają po 56°.

\[\angle AOC=180^\circ-56^\circ-56^\circ=68^\circ\]

2 Wyznaczenie kąta α

AB jest średnicą, więc kąty AOC i COB tworzą kąt półpełny.

\[\alpha=180^\circ-68^\circ=112^\circ\]

Odpowiedź

Kąt α ma miarę 112°. Odpowiedź C.

\[\alpha=112^\circ\]

Sprawdzenie

Kąty AOC i COB mają łącznie 180°, zgodnie z tym, że A, O i B leżą na jednej prostej.

\[68^\circ+112^\circ=180^\circ\]

Zadanie 16

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

82%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W trójkącie $ABC$ punkt $D$ leży na boku $BC$, a punkt $E$ leży na boku $AB$. Odcinek $DE$ jest równoległy do boku $AC$, a ponadto $|BD|=10$, $|BC|=12$ i $|AC|=24$ (zobacz rysunek).

Długość odcinka $DE$ jest równa

Trójkąt ABC. Punkt D leży na boku BC, punkt E na boku AB, a odcinek DE jest równoległy do AC. Na rysunku oznaczono BD jako 10, DC jako 2 oraz AC jako 24.

$22$

$20$

$12$

$11$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podobieństwo trójkątów

Ponieważ DE jest równoległy do AC, trójkąty BDE i BAC są podobne. Odpowiadające sobie boki są proporcjonalne.

\[\frac{|DE|}{|AC|}=\frac{|BD|}{|BC|}\]

2 Obliczenie długości DE

Podstawiamy dane do proporcji i obliczamy szukaną długość.

\[\frac{|DE|}{24}=\frac{10}{12},\qquad |DE|=24\cdot\frac{10}{12}=20\]

Odpowiedź

Długość odcinka DE wynosi 20. Odpowiedź B.

\[|DE|=20\]

Sprawdzenie

Skala podobieństwa wynosi 10/12 = 5/6, a 5/6 długości AC, czyli 24, to 20. Wynik jest mniejszy od AC, zgodnie z rysunkiem.

\[\frac{20}{24}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}\]

Zadanie 17

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

63%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Obwód trójkąta $ABC$, przedstawionego na rysunku, jest równy

Trójkąt ABC z kątem 30° przy A i kątem prostym przy B. Bok BC oznaczono jako a.

$\left(3+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)a$

$\left(2+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)a$

$(3+\sqrt{3})a$

$(2+\sqrt{2})a$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie przeciwprostokątnej

Trójkąt jest prostokątny, a bok BC leży naprzeciw kąta 30°. Z definicji sinusa wyznaczamy AC.

\[\sin 30^\circ=\frac{BC}{AC}=\frac{a}{AC}=\frac12,\qquad AC=2a\]

2 Obliczenie drugiej przyprostokątnej

Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość AB.

\[AB^2=AC^2-BC^2=(2a)^2-a^2=3a^2,\qquad AB=\sqrt3a\]

3 Obliczenie obwodu

Dodajemy długości trzech boków.

\[P=AB+BC+AC=\sqrt3a+a+2a=(3+\sqrt3)a\]

Odpowiedź

Obwód wynosi (3+√3)a. Poprawna odpowiedź: C.

\[P=(3+\sqrt3)a\quad\text{— C}\]

Sprawdzenie

Dla dodatniej długości a otrzymane boki spełniają twierdzenie Pitagorasa, a stosunek boku naprzeciw kąta 30° do przeciwprostokątnej wynosi 1/2.

\[a^2+(\sqrt3a)^2=(2a)^2,\qquad \frac{a}{2a}=\frac12\]

Zadanie 18

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

62%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Na rysunku przedstawiona jest prosta $k$, przechodząca przez punkt $A=(2,-3)$ i przez początek układu współrzędnych, oraz zaznaczony jest kąt $\alpha$ nachylenia tej prostej do osi $Ox$.

Zatem

Układ współrzędnych z prostą k przechodzącą przez początek układu i punkt A=(2,-3). Zaznaczono kąt α nachylenia prostej do osi Ox.

$\operatorname{tg}\alpha=-\frac{2}{3}$

$\operatorname{tg}\alpha=-\frac{3}{2}$

$\operatorname{tg}\alpha=\frac{2}{3}$

$\operatorname{tg}\alpha=\frac{3}{2}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie współczynnika kierunkowego

Z dwóch punktów prostej obliczamy iloraz zmiany współrzędnej y i zmiany współrzędnej x.

\[a=\frac{-3-0}{2-0}=-\frac{3}{2}\]

2 Wyznaczenie tangensa kąta

Tangens kąta nachylenia prostej do osi Ox jest równy jej współczynnikowi kierunkowemu.

\[\operatorname{tg}\alpha=a=-\frac{3}{2}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[\operatorname{tg}\alpha=-\frac{3}{2}\]

Sprawdzenie

Prosta ma równanie y=−3x/2, więc dla x=2 otrzymujemy y=−3, zgodnie z położeniem punktu A. Zaznaczony kąt jest rozwarty, zatem jego tangens jest ujemny.

\[-\frac{3}{2}\cdot 2=-3\]

Zadanie 19

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

67%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Na płaszczyźnie z układem współrzędnych proste $k$ i $l$ przecinają się pod kątem prostym w punkcie $A=(-2,4)$. Prosta $k$ jest określona równaniem $y=-\frac{1}{4}x+\frac{7}{2}$. Zatem prostą $l$ opisuje równanie

$y=\frac{1}{4}x+\frac{7}{2}$

$y=-\frac{1}{4}x-\frac{7}{2}$

$y=4x-12$

$y=4x+12$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie współczynnika kierunkowego

Współczynniki kierunkowe prostych prostopadłych mają iloczyn równy −1. Skoro dla prostej k wynosi on −1/4, to dla prostej l wynosi 4.

\[-\frac{1}{4}\cdot a_l=-1\quad\Rightarrow\quad a_l=4\]

2 Wyznaczenie równania prostej

Prosta l przechodzi przez punkt A=(-2,4), więc podstawiamy jego współrzędne do równania y=4x+b.

\[4=4\cdot(-2)+b\quad\Rightarrow\quad b=12\quad\Rightarrow\quad y=4x+12\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[y=4x+12\]

Sprawdzenie

Punkt A należy do obu prostych, a iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi −1.

\[4=4\cdot(-2)+12,\qquad 4=-\frac{1}{4}\cdot(-2)+\frac{7}{2},\qquad 4\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)=-1\]

Zadanie 20

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

69%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest okrąg o środku $S=(2,3)$ i promieniu $r=5$. Który z podanych punktów leży na tym okręgu?

$A=(-1,7)$

$B=(2,-3)$

$C=(3,2)$

$D=(5,3)$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek przynależności do okręgu

Punkt leży na okręgu, gdy jego odległość od środka jest równa promieniowi.

\[(x-2)^2+(y-3)^2=5^2=25\]

2 Sprawdzenie punktu A

Podstawiamy współrzędne punktu A do równania okręgu.

\[(-1-2)^2+(7-3)^2=9+16=25\]

Odpowiedź

Na okręgu leży punkt A = (−1, 7). Odpowiedź: A.

\[A=(-1,7)\]

Sprawdzenie

Pozostałe punkty nie spełniają równania okręgu: dla B otrzymujemy 36, dla C — 2, a dla D — 9, zamiast 25.

\[B:\ 0^2+(-6)^2=36,\quad C:\ 1^2+(-1)^2=2,\quad D:\ 3^2+0^2=9\]

Zadanie 21

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

64%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, w którym wysokość jest 3 razy dłuższa od krawędzi podstawy, jest równe 140. Zatem krawędź podstawy tego graniastosłupa jest równa

$\sqrt{10}$

$3\sqrt{10}$

$\sqrt{42}$

$3\sqrt{42}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Oznaczenie krawędzi

Oznaczamy krawędź kwadratowej podstawy przez $a>0$. Z treści wynika, że wysokość wynosi $3a$.

\[h=3a\]

2 Obliczenie pola całkowitego

Pole całkowite to suma pól dwóch kwadratowych podstaw i czterech prostokątnych ścian bocznych.

\[140=2a^2+4a\cdot 3a=14a^2\]

3 Wyznaczenie krawędzi

Dzielimy równanie przez 14 i wybieramy dodatni pierwiastek, ponieważ długość krawędzi jest dodatnia.

\[a^2=10\quad\Rightarrow\quad a=\sqrt{10}\]

Odpowiedź

Krawędź podstawy jest równa $\sqrt{10}$. Odpowiedź A.

\[a=\sqrt{10}\]

Sprawdzenie

Dla $a=\sqrt{10}$ wysokość wynosi $3\sqrt{10}$, a pole całkowite jest równe 140, zgodnie z treścią zadania.

\[2(\sqrt{10})^2+4\sqrt{10}\cdot 3\sqrt{10}=20+120=140\]

Zadanie 22

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

76%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Promień $AS$ podstawy walca jest równy wysokości $OS$ tego walca. Sinus kąta $OAS$ (zobacz rysunek) jest równy

Walec z oznaczonymi punktami O, S i A oraz odcinkami OS, SA i OA

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\frac{1}{2}$

$1$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustalenie trójkąta

Wysokość walca jest prostopadła do płaszczyzny podstawy, więc trójkąt $OAS$ jest prostokątny w punkcie $S$. Oznaczamy równe odcinki przez $r>0$.

\[OS\perp AS,\qquad OS=AS=r\]

2 Obliczenie sinusa

Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy przeciwprostokątną. Następnie dzielimy przyprostokątną leżącą naprzeciw kąta $OAS$ przez przeciwprostokątną.

\[OA=\sqrt{r^2+r^2}=r\sqrt{2},\qquad \sin\angle OAS=\frac{OS}{OA}=\frac{r}{r\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[\sin\angle OAS=\frac{\sqrt{2}}{2}\]

Sprawdzenie

Równe przyprostokątne dają dwa kąty ostre po $45^\circ$, a sinus takiego kąta wynosi $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

\[\sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}\]

Zadanie 23

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

87%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest stożek o wysokości 4 i średnicy podstawy 12. Objętość tego stożka jest równa

$576\pi$

$192\pi$

$144\pi$

$48\pi$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie promienia

Promień podstawy jest połową średnicy.

\[r=\frac{12}{2}=6\]

2 Obliczenie objętości

Objętość stożka to jedna trzecia iloczynu pola podstawy i wysokości.

\[V=\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{1}{3}\pi\cdot 6^2\cdot 4=48\pi\]

Odpowiedź

Objętość stożka wynosi 48π jednostek sześciennych. Odpowiedź D.

\[V=48\pi\]

Sprawdzenie

Pole podstawy wynosi 36π, a jedna trzecia iloczynu tego pola i wysokości 4 daje 48π.

\[\frac{1}{3}\cdot 36\pi\cdot 4=48\pi\]

Zadanie 24

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

94%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Średnia arytmetyczna ośmiu liczb: $3, 5, 7, 9, x, 15, 17, 19$ jest równa 11. Wtedy

$x=1$

$x=2$

$x=11$

$x=13$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie sumy

Średnia ośmiu liczb jest równa ich sumie podzielonej przez 8, więc suma wynosi 88.

\[\frac{3+5+7+9+x+15+17+19}{8}=11\quad\Rightarrow\quad 3+5+7+9+x+15+17+19=88\]

2 Wyznaczenie x

Znane liczby sumują się do 75. Odejmujemy tę sumę od 88.

\[75+x=88\quad\Rightarrow\quad x=13\]

Odpowiedź

x = 13, odpowiedź D.

\[x=13\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu x = 13 suma liczb wynosi 88, a ich średnia to 11.

\[\frac{3+5+7+9+13+15+17+19}{8}=\frac{88}{8}=11\]

Zadanie 25

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

62%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Ze zbioru dwudziestu czterech kolejnych liczb naturalnych od 1 do 24 losujemy jedną liczbę. Niech $A$ oznacza zdarzenie, że wylosowana liczba będzie dzielnikiem liczby 24. Wtedy prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ jest równe

$\frac{1}{4}$

$\frac{1}{3}$

$\frac{1}{8}$

$\frac{1}{6}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczymy wyniki sprzyjające

Wypisujemy wszystkie dzielniki liczby 24 należące do zbioru, z którego losujemy.

\[A=\{1,2,3,4,6,8,12,24\},\quad |A|=8\]

2 Obliczamy prawdopodobieństwo

Każda z 24 liczb ma jednakową szansę wylosowania, więc dzielimy liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich wyników.

\[P(A)=\frac{8}{24}=\frac{1}{3}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[P(A)=\frac{1}{3}\]

Sprawdzenie

Ponieważ 24 ma postać $2^3\cdot3$, liczba jej dodatnich dzielników wynosi $(3+1)(1+1)=8$. Potwierdza to liczbę wyników sprzyjających.

\[24=2^3\cdot3,\quad (3+1)(1+1)=8\]

Zadanie 26

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

66%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Rozwiąż nierówność $8x^{2}-72x\leq 0$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozłóż na czynniki

Wyłączenie wspólnego czynnika pozwala wyznaczyć miejsca zerowe iloczynu.

\[8x^{2}-72x=8x(x-9),\quad 8x(x-9)\leq 0\]

2 Wyznacz znak iloczynu

Ponieważ 8 jest dodatnie, iloczyn jest niedodatni, gdy x leży między miejscami zerowymi 0 i 9, wraz z nimi.

\[0\leq x\leq 9\]

Odpowiedź

Zbiorem rozwiązań jest przedział od 0 do 9.

\[x\in[0,9]\]

Sprawdzenie

Dla x=0 i x=9 lewa strona wynosi 0. Dla 0<x<9 czynniki x i x−9 mają przeciwne znaki, więc lewa strona jest ujemna. Poza tym przedziałem oba czynniki mają ten sam znak, więc nierówność nie zachodzi.

\[8\cdot0\cdot(0-9)=0,\quad 8\cdot9\cdot(9-9)=0\]

Zadanie 27

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

36%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Wykaż, że liczba $4^{2017}+4^{2018}+4^{2019}+4^{2020}$ jest podzielna przez 17.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyłącz wspólny czynnik

Każdy składnik jest wielokrotnością $4^{2017}$, więc wyłączamy tę potęgę przed nawias.

\[4^{2017}+4^{2018}+4^{2019}+4^{2020}=4^{2017}(1+4+4^2+4^3)\]

2 Oblicz sumę w nawiasie

Suma w nawiasie wynosi $85=17\cdot5$, zatem cała liczba ma czynnik $17$.

\[4^{2017}(1+4+16+64)=4^{2017}\cdot85=17\cdot(5\cdot4^{2017})\]

Odpowiedź

Podana liczba jest podzielna przez 17.

\[17\mid\left(4^{2017}+4^{2018}+4^{2019}+4^{2020}\right)\]

Sprawdzenie

Iloraz przez 17 wynosi $5\cdot4^{2017}$, czyli jest liczbą całkowitą.

\[\frac{4^{2017}+4^{2018}+4^{2019}+4^{2020}}{17}=5\cdot4^{2017}\in\mathbb{Z}\]

Zadanie 28

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

21%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dane są dwa okręgi o środkach w punktach $P$ i $R$, styczne zewnętrznie w punkcie $C$. Prosta $AB$ jest styczna do obu okręgów odpowiednio w punktach $A$ i $B$ oraz $|\angle APC|=\alpha$ i $|\angle ABC|=\beta$ (zobacz rysunek). Wykaż, że $\alpha=180^{\circ}-2\beta$.

Dwa okręgi o środkach P i R, styczne zewnętrznie w C oraz styczne do prostej AB w punktach A i B; zaznaczono kąty α i β.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Położenie punktu przecięcia stycznych

Niech T będzie punktem przecięcia prostej AB ze wspólną styczną w C. Proste te się przecinają: gdyby były równoległe, prosta PR byłaby prostopadła do AB, a rzuty P i R na AB pokrywałyby się, czyli A=B. Odcinki stycznych poprowadzonych z T do każdego okręgu mają równe długości. Zatem T jest środkiem odcinka AB.

\[TA=TC=TB\quad\Longrightarrow\quad T\in AB\ \text{oraz}\ TA=TB\]

2 Kąty trójkąta BTC

Ponieważ T leży między A i B, kąt TBC ma miarę β. Trójkąt BTC jest równoramienny, więc wyznaczamy kąt przy T. Kąty BTC i ATC są przyległe.

\[\angle BTC=180^{\circ}-2\beta,\qquad \angle ATC=2\beta\]

3 Kąty trójkąta PAC

Z równości TA=TC wynika, że kąt TAC ma miarę 90°−β. Promień PA jest prostopadły do stycznej AB, więc kąt PAC ma miarę β. Ponieważ PA=PC, taki sam jest kąt PCA.

\[\angle TAC=\frac{180^{\circ}-2\beta}{2}=90^{\circ}-\beta,\qquad \angle PAC=\angle PCA=\beta\]

4 Wyznaczenie α

Kąt APC ma miarę α. Stosujemy sumę kątów w trójkącie PAC.

\[\alpha+\beta+\beta=180^{\circ}\quad\Longrightarrow\quad\alpha=180^{\circ}-2\beta\]

Odpowiedź

Udowodniono żądaną równość.

\[\boxed{\alpha=180^{\circ}-2\beta}\]

Sprawdzenie

Równość odcinków stycznych uzasadnia położenie T między A i B, więc kąt TBC rzeczywiście jest kątem ABC. W trójkącie PAC otrzymane kąty β, β i 180°−2β sumują się do 180°.

\[\beta+\beta+(180^{\circ}-2\beta)=180^{\circ}\]

Zadanie 29

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

26%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych $x$ wzorem $f(x)=ax^{2}+bx+c$. Największa wartość funkcji $f$ jest równa $6$ oraz $f(-6)=f(0)=\frac{3}{2}$. Oblicz wartość współczynnika $a$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wierzchołka

Równe wartości funkcji w punktach $-6$ i $0$ oznaczają, że oś symetrii paraboli leży w połowie między nimi. W wierzchołku funkcja osiąga wartość $6$.

\[x_w=\frac{-6+0}{2}=-3,\qquad f(x)=a(x+3)^2+6\]

2 Obliczenie współczynnika

Podstawiamy $x=0$ i korzystamy z podanej wartości funkcji.

\[\frac{3}{2}=9a+6\quad\Longrightarrow\quad 9a=-\frac{9}{2}\quad\Longrightarrow\quad a=-\frac{1}{2}\]

Odpowiedź

Współczynnik $a$ jest równy $-\frac{1}{2}$.

\[a=-\frac{1}{2}\]

Sprawdzenie

Dla $a=-\frac{1}{2}$ wartości w punktach $-6$ i $0$ wynoszą $\frac{3}{2}$. Ponieważ $a<0$, parabola jest skierowana ramionami w dół, więc wartość $6$ w wierzchołku jest największa.

\[f(-6)=f(0)=-\frac{1}{2}\cdot 9+6=\frac{3}{2},\qquad f(-3)=6\]

Zadanie 30

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt