Otwarte2 pkt
Liczby rzeczywiste
36%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
Wykaż, że liczba \(4^{2017}+4^{2018}+4^{2019}+4^{2020}\) jest podzielna przez 17.
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Wyłącz wspólny czynnik
Każdy składnik jest wielokrotnością \(4^{2017}\), więc wyłączamy tę potęgę przed nawias.
\[4^{2017}+4^{2018}+4^{2019}+4^{2020}=4^{2017}(1+4+4^2+4^3)\]
2 Oblicz sumę w nawiasie
Suma w nawiasie wynosi \(85=17\cdot5\), zatem cała liczba ma czynnik \(17\).
\[4^{2017}(1+4+16+64)=4^{2017}\cdot85=17\cdot(5\cdot4^{2017})\]
Odpowiedź
Podana liczba jest podzielna przez 17.
\[17\mid\left(4^{2017}+4^{2018}+4^{2019}+4^{2020}\right)\]
Sprawdzenie
Iloraz przez 17 wynosi \(5\cdot4^{2017}\), czyli jest liczbą całkowitą.
\[\frac{4^{2017}+4^{2018}+4^{2019}+4^{2020}}{17}=5\cdot4^{2017}\in\mathbb{Z}\]