21%średni wynik CKE
Dane są dwa okręgi o środkach w punktach \(P\) i \(R\), styczne zewnętrznie w punkcie \(C\). Prosta \(AB\) jest styczna do obu okręgów odpowiednio w punktach \(A\) i \(B\) oraz \(|\angle APC|=\alpha\) i \(|\angle ABC|=\beta\) (zobacz rysunek). Wykaż, że \(\alpha=180^{\circ}-2\beta\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Położenie punktu przecięcia stycznych
Niech T będzie punktem przecięcia prostej AB ze wspólną styczną w C. Proste te się przecinają: gdyby były równoległe, prosta PR byłaby prostopadła do AB, a rzuty P i R na AB pokrywałyby się, czyli A=B. Odcinki stycznych poprowadzonych z T do każdego okręgu mają równe długości. Zatem T jest środkiem odcinka AB.
2 Kąty trójkąta BTC
Ponieważ T leży między A i B, kąt TBC ma miarę β. Trójkąt BTC jest równoramienny, więc wyznaczamy kąt przy T. Kąty BTC i ATC są przyległe.
3 Kąty trójkąta PAC
Z równości TA=TC wynika, że kąt TAC ma miarę 90°−β. Promień PA jest prostopadły do stycznej AB, więc kąt PAC ma miarę β. Ponieważ PA=PC, taki sam jest kąt PCA.
4 Wyznaczenie α
Kąt APC ma miarę α. Stosujemy sumę kątów w trójkącie PAC.
Odpowiedź
Udowodniono żądaną równość.
Sprawdzenie
Równość odcinków stycznych uzasadnia położenie T między A i B, więc kąt TBC rzeczywiście jest kątem ABC. W trójkącie PAC otrzymane kąty β, β i 180°−2β sumują się do 180°.