Otwarte4 pkt
Funkcje
26%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\) wzorem \(f(x)=ax^{2}+bx+c\). Największa wartość funkcji \(f\) jest równa \(6\) oraz \(f(-6)=f(0)=\frac{3}{2}\). Oblicz wartość współczynnika \(a\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Wyznaczenie wierzchołka
Równe wartości funkcji w punktach \(-6\) i \(0\) oznaczają, że oś symetrii paraboli leży w połowie między nimi. W wierzchołku funkcja osiąga wartość \(6\).
\[x_w=\frac{-6+0}{2}=-3,\qquad f(x)=a(x+3)^2+6\]
2 Obliczenie współczynnika
Podstawiamy \(x=0\) i korzystamy z podanej wartości funkcji.
\[\frac{3}{2}=9a+6\quad\Longrightarrow\quad 9a=-\frac{9}{2}\quad\Longrightarrow\quad a=-\frac{1}{2}\]
Odpowiedź
Współczynnik \(a\) jest równy \(-\frac{1}{2}\).
\[a=-\frac{1}{2}\]
Sprawdzenie
Dla \(a=-\frac{1}{2}\) wartości w punktach \(-6\) i \(0\) wynoszą \(\frac{3}{2}\). Ponieważ \(a<0\), parabola jest skierowana ramionami w dół, więc wartość \(6\) w wierzchołku jest największa.
\[f(-6)=f(0)=-\frac{1}{2}\cdot 9+6=\frac{3}{2},\qquad f(-3)=6\]