Otwarte2 pkt
Planimetria
60%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość 26 cm, a jedna z przyprostokątnych jest o 14 cm dłuższa od drugiej. Oblicz obwód tego trójkąta.
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Oznaczenie przyprostokątnych
Niech krótsza przyprostokątna ma długość x cm. Dłuższa ma wtedy długość (x+14) cm, przy czym x>0.
\[x>0,\qquad x+14\]
2 Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa
W trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
\[x^2+(x+14)^2=26^2\;\Longrightarrow\;x^2+14x-240=0\]
3 Wyznaczenie długości boków
Rozkładamy trójmian na czynniki. Odrzucamy ujemny wynik, ponieważ długość boku musi być dodatnia.
\[(x+24)(x-10)=0\;\Longrightarrow\;x=10\;\text{lub}\;x=-24,\qquad x=10\]
4 Obliczenie obwodu
Przyprostokątne mają długości 10 cm i 24 cm. Dodajemy długości wszystkich trzech boków.
\[10+24+26=60\ \text{cm}\]
Odpowiedź
Obwód trójkąta wynosi 60 cm.
\[60\ \text{cm}\]
Sprawdzenie
Boki spełniają podane warunki: różnica przyprostokątnych wynosi 14 cm, a ich kwadraty sumują się do kwadratu przeciwprostokątnej.
\[24-10=14,\qquad 10^2+24^2=100+576=676=26^2\]