Zamknięte1 pkt
Stereometria
64%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, w którym wysokość jest 3 razy dłuższa od krawędzi podstawy, jest równe 140. Zatem krawędź podstawy tego graniastosłupa jest równa
A
\(\sqrt{10}\)
B
\(3\sqrt{10}\)
C
\(\sqrt{42}\)
D
\(3\sqrt{42}\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Oznaczenie krawędzi
Oznaczamy krawędź kwadratowej podstawy przez \(a>0\). Z treści wynika, że wysokość wynosi \(3a\).
\[h=3a\]
2 Obliczenie pola całkowitego
Pole całkowite to suma pól dwóch kwadratowych podstaw i czterech prostokątnych ścian bocznych.
\[140=2a^2+4a\cdot 3a=14a^2\]
3 Wyznaczenie krawędzi
Dzielimy równanie przez 14 i wybieramy dodatni pierwiastek, ponieważ długość krawędzi jest dodatnia.
\[a^2=10\quad\Rightarrow\quad a=\sqrt{10}\]
Odpowiedź
Krawędź podstawy jest równa \(\sqrt{10}\). Odpowiedź A.
\[a=\sqrt{10}\]
Sprawdzenie
Dla \(a=\sqrt{10}\) wysokość wynosi \(3\sqrt{10}\), a pole całkowite jest równe 140, zgodnie z treścią zadania.
\[2(\sqrt{10})^2+4\sqrt{10}\cdot 3\sqrt{10}=20+120=140\]