Zadanie 32 — matura 2017, maj | Matematyka podstawowa, F-2015

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

31%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dane są punkty \(A=(-4,0)\) i \(M=(2,9)\) oraz prosta \(k\) o równaniu \(y=-2x+10\). Wierzchołek \(B\) trójkąta \(ABC\) to punkt przecięcia prostej \(k\) z osią \(Ox\) układu współrzędnych, a wierzchołek \(C\) jest punktem przecięcia prostej \(k\) z prostą \(AM\). Oblicz pole trójkąta \(ABC\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie punktu B

Punkt na osi Ox ma drugą współrzędną równą zero, więc podstawiamy y=0 do równania prostej k.

\[0=-2x+10\quad\Rightarrow\quad x=5,\qquad B=(5,0)\]

2 Równanie prostej AM

Obliczamy współczynnik kierunkowy z dwóch danych punktów, a następnie podstawiamy punkt A do równania prostej.

\[a=\frac{9-0}{2-(-4)}=\frac32,\qquad y=\frac32(x+4)=\frac32x+6\]

3 Wyznaczenie punktu C

Punkt C należy do obu prostych, dlatego przyrównujemy ich prawe strony.

\[\frac32x+6=-2x+10\quad\Rightarrow\quad \frac72x=4\quad\Rightarrow\quad x=\frac87,\qquad y=\frac32\cdot\frac87+6=\frac{54}{7}\]

4 Obliczenie pola

Odcinek AB leży na osi Ox, więc jego długość jest podstawą, a druga współrzędna punktu C jest wysokością trójkąta.

\[|AB|=5-(-4)=9,\qquad P=\frac12\cdot9\cdot\frac{54}{7}=\frac{243}{7}\]

Odpowiedź

Pole trójkąta ABC wynosi 243/7 jednostek kwadratowych.

\[P_{ABC}=\frac{243}{7}\]

Sprawdzenie

Punkt C spełnia równanie prostej k, a podstawa AB i wysokość są dodatnie.

\[-2\cdot\frac87+10=\frac{54}{7},\qquad |AB|=9>0,\qquad h=\frac{54}{7}>0\]