Zamknięte1 pkt
63%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
Obwód trójkąta \(ABC\), przedstawionego na rysunku, jest równy
A
\(\left(3+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)a\)
B
\(\left(2+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)a\)
C
\((3+\sqrt{3})a\)
D
\((2+\sqrt{2})a\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Obliczenie przeciwprostokątnej
Trójkąt jest prostokątny, a bok BC leży naprzeciw kąta 30°. Z definicji sinusa wyznaczamy AC.
\[\sin 30^\circ=\frac{BC}{AC}=\frac{a}{AC}=\frac12,\qquad AC=2a\]
2 Obliczenie drugiej przyprostokątnej
Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość AB.
\[AB^2=AC^2-BC^2=(2a)^2-a^2=3a^2,\qquad AB=\sqrt3a\]
3 Obliczenie obwodu
Dodajemy długości trzech boków.
\[P=AB+BC+AC=\sqrt3a+a+2a=(3+\sqrt3)a\]
Odpowiedź
Obwód wynosi (3+√3)a. Poprawna odpowiedź: C.
\[P=(3+\sqrt3)a\quad\text{— C}\]
Sprawdzenie
Dla dodatniej długości a otrzymane boki spełniają twierdzenie Pitagorasa, a stosunek boku naprzeciw kąta 30° do przeciwprostokątnej wynosi 1/2.
\[a^2+(\sqrt3a)^2=(2a)^2,\qquad \frac{a}{2a}=\frac12\]