Zadanie 34 — matura 2017, maj | Matematyka podstawowa, F-2015

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

23%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wysokość ściany bocznej prostopadła do krawędzi podstawy ostrosłupa jest równa \(\frac{5\sqrt{3}}{4}\), a pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest równe \(\frac{15\sqrt{3}}{4}\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie boku podstawy

Trzy ściany boczne są jednakowymi trójkątami. Ich łączne pole pozwala obliczyć bok podstawy \(a\).

\[\frac{3a}{2}\cdot\frac{5\sqrt{3}}{4}=\frac{15\sqrt{3}}{4}\quad\Rightarrow\quad a=2\]

2 Wyznaczenie wysokości ostrosłupa

Wysokość ściany bocznej, wysokość ostrosłupa \(H\) i promień okręgu wpisanego w podstawę tworzą trójkąt prostokątny. Stosujemy twierdzenie Pitagorasa.

\[r=\frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3},\qquad H^2=\left(\frac{5\sqrt{3}}{4}\right)^2-\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2=\frac{209}{48}\]

3 Obliczenie objętości

Pole równobocznej podstawy wynosi \(\sqrt{3}\). Korzystamy ze wzoru na objętość ostrosłupa.

\[V=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot H=\frac{1}{3}\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{\frac{209}{48}}=\frac{\sqrt{209}}{12}\]

Odpowiedź

Objętość ostrosłupa wynosi \(\frac{\sqrt{209}}{12}\).

\[V=\frac{\sqrt{209}}{12}\]

Sprawdzenie

Dla boku podstawy \(a=2\) pole trzech ścian bocznych jest zgodne z podanym. Ponadto \(H^2+r^2\) daje kwadrat podanej wysokości ściany bocznej.

\[3\cdot\frac{2\cdot5\sqrt{3}}{8}=\frac{15\sqrt{3}}{4},\qquad\frac{209}{48}+\frac{1}{3}=\frac{75}{16}=\left(\frac{5\sqrt{3}}{4}\right)^2\]