Zamknięte1 pkt
Równania i nierówności
65%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
Równanie \(x(x^2-4)(x^2+4)=0\) z niewiadomą \(x\)
A
nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.
B
ma dokładnie dwa rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych.
C
ma dokładnie trzy rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych.
D
ma dokładnie pięć rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Zastosowanie zasady iloczynu zerowego
Iloczyn jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy zeru.
\[x=0\quad\text{lub}\quad x^2-4=0\quad\text{lub}\quad x^2+4=0\]
2 Wyznaczenie rozwiązań rzeczywistych
Drugie równanie daje dwa rozwiązania. Trzecie nie ma rozwiązań rzeczywistych, ponieważ kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny.
\[x^2-4=0\iff x^2=4\iff x=-2\ \text{lub}\ x=2;\qquad x^2+4\geq 4>0\]
Odpowiedź
Równanie ma dokładnie trzy rozwiązania rzeczywiste: −2, 0 i 2. Odpowiedź C.
\[x\in\{-2,0,2\}\]
Sprawdzenie
Dla każdej z liczb −2, 0 i 2 jeden z czynników iloczynu jest zerem. Są to wszystkie rozwiązania, bo czynnik x²+4 nigdy nie jest zerem dla liczby rzeczywistej, a pozostałe czynniki dają tylko te trzy liczby.
\[(-2)^2-4=0,\qquad 0=0,\qquad 2^2-4=0,\qquad x^2+4>0\ \text{dla}\ x\in\mathbb{R}\]