Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

420 zadańStrona 8 z 28

Sortuj:

Zadanie 24

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

75%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dana jest prosta \(k\) o równaniu \(y=-\frac{1}{3}x+2\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Prosta o równaniu \(y=ax+b\) jest równoległa do prostej \(k\) i przechodzi przez punkt \(P=(3,5)\), gdy

\(a=3\) i \(b=4\).

\(a=-\frac{1}{3}\) i \(b=4\).

\(a=3\) i \(b=-4\).

\(a=-\frac{1}{3}\) i \(b=6\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie współczynnika kierunkowego

Proste równoległe mają taki sam współczynnik kierunkowy, więc odczytujemy go z równania prostej k.

\[a=-\frac{1}{3}\]

2 Wyznaczenie wyrazu wolnego

Ponieważ szukana prosta przechodzi przez punkt P=(3,5), jego współrzędne spełniają jej równanie.

\[5=-\frac{1}{3}\cdot 3+b=-1+b\quad\Rightarrow\quad b=6\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: a = −1/3 i b = 6.

\[y=-\frac{1}{3}x+6\]

Sprawdzenie

Współczynnik kierunkowy jest taki sam jak dla prostej k. Po podstawieniu x = 3 otrzymujemy y = 5, więc prosta przechodzi przez punkt P.

\[-\frac{1}{3}\cdot 3+6=5\]

Zadanie 18

Matura 2020 · termin główny — 9 czerwca (na PDF: 5 maja) · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

75%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Prosta przechodząca przez punkty \(A=(3,-2)\) i \(B=(-1,6)\) jest określona równaniem

\(y=-2x+4\)

\(y=-2x-8\)

\(y=2x+8\)

\(y=2x-4\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie współczynnika kierunkowego

Dla dwóch punktów obliczamy iloraz różnicy ich drugich współrzędnych i różnicy pierwszych współrzędnych.

\[a=\frac{6-(-2)}{-1-3}=\frac{8}{-4}=-2\]

2 Wyznaczenie wyrazu wolnego

Podstawiamy współrzędne punktu A do równania prostej, aby obliczyć wyraz wolny.

\[y=ax+b,\qquad -2=-2\cdot3+b,\qquad b=4\]

Odpowiedź

Równanie prostej to \(y=-2x+4\). Odpowiedź A.

\[y=-2x+4\]

Sprawdzenie

Oba punkty spełniają otrzymane równanie.

\[A:\ -2=-2\cdot3+4,\qquad B:\ 6=-2\cdot(-1)+4\]

Zadanie 22

Matura 2019 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

75%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Promień kuli i promień podstawy stożka są równe \(4\). Pole powierzchni kuli jest równe polu powierzchni całkowitej stożka. Długość tworzącej stożka jest równa

\(8\)

\(4\)

\(16\)

\(12\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Pole kuli

Podstawiamy promień 4 do wzoru na pole powierzchni kuli.

\[P_k=4\pi r^2=4\pi\cdot4^2=64\pi\]

2 Pole stożka

Pole całkowite stożka to suma pola podstawy i pola bocznego. Przyrównujemy je do pola kuli.

\[\pi\cdot4^2+\pi\cdot4\cdot l=64\pi\]

3 Obliczenie tworzącej

Dzielimy równanie przez \(4\pi\) i wyznaczamy \(l\).

\[16\pi+4\pi l=64\pi\;\Rightarrow\;4+l=16\;\Rightarrow\;l=12\]

Odpowiedź

Długość tworzącej wynosi 12. Odpowiedź D.

\[l=12\]

Sprawdzenie

Dla tworzącej 12 pole całkowite stożka wynosi \(16\pi+48\pi=64\pi\), czyli tyle samo co pole kuli. Ponadto \(12>4\), więc stożek o takim promieniu i tworzącej może istnieć.

\[P_c=\pi\cdot4^2+\pi\cdot4\cdot12=64\pi=P_k\]

Zadanie 11

Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

75%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Funkcja kwadratowa określona jest wzorem \(f(x)=x^2+x+c\). Jeżeli \(f(3)=4\), to

\(f(1)=-6\)

\(f(1)=0\)

\(f(1)=6\)

\(f(1)=18\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie c

Podstawiamy x=3 do wzoru funkcji i korzystamy z warunku f(3)=4.

\[3^2+3+c=4\;\Rightarrow\;12+c=4\;\Rightarrow\;c=-8\]

2 Obliczenie f(1)

Podstawiamy x=1 oraz wyznaczoną wartość c.

\[f(1)=1^2+1-8=-6\]

Odpowiedź

f(1)=-6, odpowiedź A.

\[f(1)=-6\]

Sprawdzenie

Dla c=-8 otrzymujemy f(3)=4, więc wyznaczona wartość spełnia warunek zadania.

\[f(3)=3^2+3-8=4\]

Zadanie 4

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

74%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(\log_{\sqrt{3}} 9\) jest równa

\(2\)

\(3\)

\(4\)

\(9\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Sprowadzenie do tej samej podstawy

Zapisujemy podstawę i liczbę logarytmowaną jako potęgi liczby 3, aby porównać wykładniki.

\[\sqrt{3}=3^{\frac12},\qquad 9=3^2\]

2 Obliczenie logarytmu

Logarytm jest wykładnikiem, do którego trzeba podnieść podstawę, aby otrzymać 9. Zatem szukana liczba x spełnia równanie \(\frac{x}{2}=2\).

\[\left(3^{\frac12}\right)^x=3^2\iff\frac{x}{2}=2\iff x=4\]

Odpowiedź

C. Liczba jest równa 4.

\[\log_{\sqrt{3}}9=4\]

Sprawdzenie

Podstawa jest dodatnia i różna od 1. Ponadto jej czwarta potęga wynosi 9.

\[\sqrt{3}>0,\quad\sqrt{3}\ne1,\quad(\sqrt{3})^4=9\]

Zadanie 28

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

74%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Średnia arytmetyczna trzech liczb: \(a\), \(b\), \(c\), jest równa \(9\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Średnia arytmetyczna sześciu liczb: \(a\), \(a\), \(b\), \(b\), \(c\), \(c\), jest równa

\(9\)

\(6\)

\(4{,}5\)

\(18\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Suma trzech liczb

Średnia to suma liczb podzielona przez ich liczbę, więc mnożymy daną równość przez 3.

\[\frac{a+b+c}{3}=9\quad\Rightarrow\quad a+b+c=27\]

2 Średnia sześciu liczb

Każda z trzech liczb występuje dwa razy, zatem suma sześciu liczb jest dwa razy większa.

\[\frac{a+a+b+b+c+c}{6}=\frac{2(a+b+c)}{6}=\frac{2\cdot27}{6}=9\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: średnia wynosi 9.

\[9\]

Sprawdzenie

Sześć podanych liczb ma sumę 54, a 54 podzielone przez 6 daje 9.

\[a+a+b+b+c+c=2\cdot27=54,\qquad \frac{54}{6}=9\]

Zadanie 20

Matura 2022 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

74%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Boki równoległoboku mają długości \(6\) i \(10\), a kąt rozwarty między tymi bokami ma miarę \(120^\circ\). Pole tego równoległoboku jest równe

\(30\sqrt{3}\)

\(30\)

\(60\sqrt{3}\)

\(60\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wybór wzoru

Pole równoległoboku jest iloczynem długości sąsiednich boków i sinusa kąta między nimi.

\[P=ab\sin\alpha=6\cdot10\cdot\sin120^\circ\]

2 Obliczenie pola

Kąt 120° ma taki sam sinus jak 60°, czyli \(\frac{\sqrt3}{2}\).

\[P=60\cdot\frac{\sqrt3}{2}=30\sqrt3\]

Odpowiedź

Pole wynosi \(30\sqrt3\). Odpowiedź A.

\[P=30\sqrt3\]

Sprawdzenie

Wysokość opuszczona na bok długości 10 wynosi \(6\sin120^\circ=3\sqrt3\), więc pole to \(10\cdot3\sqrt3=30\sqrt3\).

\[h=3\sqrt3,\quad P=10h=30\sqrt3\]

Zadanie 13

Matura 2021 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

74%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Trzywyrazowy ciąg \(\left(15,\,3x,\,\frac{5}{3}\right)\) jest geometryczny i wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Stąd wynika, że

\(x=\frac{3}{5}\)

\(x=\frac{4}{5}\)

\(x=1\)

\(x=\frac{5}{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek ciągu geometrycznego

Kwadrat środkowego wyrazu jest iloczynem wyrazów skrajnych.

\[(3x)^2=15\cdot\frac{5}{3}=25\]

2 Wyznaczenie x

Wszystkie wyrazy są dodatnie, więc 3x jest dodatnim pierwiastkiem z 25.

\[3x=5\quad\Rightarrow\quad x=\frac{5}{3}\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[x=\frac{5}{3}\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu otrzymujemy ciąg (15, 5, 5/3). Wszystkie wyrazy są dodatnie, a iloraz kolejnych wyrazów wynosi 1/3.

\[\frac{5}{15}=\frac{\frac{5}{3}}{5}=\frac{1}{3}\]

Zadanie 1

Matura 2020 · termin główny — 9 czerwca (na PDF: 5 maja) · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Wyrażenia algebraiczne

74%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Wartość wyrażenia \(x^2-6x+9\) dla \(x=\sqrt{3}+3\) jest równa

\(1\)

\(3\)

\(1+2\sqrt{3}\)

\(1-2\sqrt{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozpoznanie wzoru

Wyrażenie jest kwadratem różnicy, więc można łatwo podstawić podaną wartość x.

\[x^2-6x+9=(x-3)^2\]

2 Podstawienie

Dla podanej wartości x różnica x−3 jest równa pierwiastkowi z 3.

\[(x-3)^2=(\sqrt{3}+3-3)^2=(\sqrt{3})^2=3\]

Odpowiedź

Wartość wyrażenia wynosi 3. Odpowiedź B.

\[3\]

Sprawdzenie

Po bezpośrednim podstawieniu i uproszczeniu również otrzymujemy 3.

\[(\sqrt{3}+3)^2-6(\sqrt{3}+3)+9=(12+6\sqrt{3})-6\sqrt{3}-18+9=3\]

Zadanie 1

Matura 2019 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

74%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Liczba \(\log_{\sqrt{2}} 2\) jest równa

\(2\)

\(4\)

\(\sqrt{2}\)

\(\frac{1}{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie definicji logarytmu

Szukamy wykładnika, do którego trzeba podnieść podstawę logarytmu, aby otrzymać 2.

\[\log_{\sqrt{2}}2=x\iff(\sqrt{2})^x=2\]

2 Wyznaczenie wykładnika

Ponieważ kwadrat pierwiastka z 2 jest równy 2, szukany wykładnik wynosi 2.

\[(\sqrt{2})^2=2\implies x=2\]

Odpowiedź

Wynik to 2, odpowiedź A.

\[\log_{\sqrt{2}}2=2\]

Sprawdzenie

Podstawa logarytmu jest dodatnia i różna od 1, a podniesienie jej do otrzymanej potęgi daje liczbę logarytmowaną.

\[\sqrt{2}>0,\quad\sqrt{2}\ne1,\quad(\sqrt{2})^2=2\]

Zadanie 24

Matura 2019 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Kombinatoryka

74%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Wszystkich liczb pięciocyfrowych, w których występują wyłącznie cyfry \(0, 2, 5\), jest

\(12\)

\(36\)

\(162\)

\(243\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wybór pierwszej cyfry

Liczba pięciocyfrowa nie może zaczynać się od zera, więc pierwszą cyfrą jest 2 albo 5.

\[2\text{ możliwości}\]

2 Wybór pozostałych cyfr

Na każdym z czterech pozostałych miejsc można niezależnie wpisać 0, 2 albo 5. Mnożymy liczby możliwości.

\[2\cdot 3^4=2\cdot 81=162\]

Odpowiedź

Takich liczb jest 162. Odpowiedź C.

\[162\]

Sprawdzenie

Wszystkich pięciocyfrowych ciągów z tych cyfr jest 243, a 81 zaczyna się od zera. Różnica wynosi 162.

\[3^5-3^4=243-81=162\]

Zadanie 26

Matura 2019 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

74%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Rozwiąż równanie \((x^3-8)(x^2-4x-5)=0\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie zasady iloczynu zerowego

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy zeru.

\[x^3-8=0\quad\text{lub}\quad x^2-4x-5=0\]

2 Rozwiązanie pierwszego równania

Jedyną liczbą rzeczywistą, której sześcian wynosi 8, jest 2.

\[x^3=8\quad\Longrightarrow\quad x=2\]

3 Rozwiązanie drugiego równania

Rozkładamy trójmian na czynniki i ponownie stosujemy zasadę iloczynu zerowego.

\[x^2-4x-5=(x-5)(x+1)=0\quad\Longrightarrow\quad x=5\ \text{lub}\ x=-1\]

Odpowiedź

Rozwiązaniami równania są −1, 2 i 5.

\[x\in\{-1,2,5\}\]

Sprawdzenie

Dla −1 i 5 drugi czynnik równania wynosi zero, a dla 2 pierwszy czynnik wynosi zero. Każda z tych liczb spełnia więc równanie; rozpatrzenie obu czynników daje wszystkie rozwiązania.

\[(-1)^2-4(-1)-5=0,\quad 2^3-8=0,\quad 5^2-4\cdot5-5=0\]

Zadanie 1

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

74%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Liczba \(5^8\cdot16^{-2}\) jest równa

\(\left(\frac{5}{2}\right)^8\)

\(\frac{5}{2}\)

\(10^8\)

\(10\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zamiana podstawy potęgi

Zapisujemy 16 jako potęgę liczby 2, aby otrzymać ten sam wykładnik w obu czynnikach.

\[16^{-2}=(2^4)^{-2}=2^{-8}=\frac{1}{2^8}\]

2 Połączenie potęg

Potęgi o jednakowym wykładniku można połączyć w jedną potęgę ilorazu.

\[5^8\cdot16^{-2}=\frac{5^8}{2^8}=\left(\frac{5}{2}\right)^8\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[\left(\frac{5}{2}\right)^8\]

Sprawdzenie

Ponieważ 16² = 256 = 2⁸, obie postacie mają wartość 390625/256.

\[5^8\cdot16^{-2}=\frac{390625}{256}=\left(\frac{5}{2}\right)^8\]

Zadanie 13

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

74%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny \((24, 6, a-1)\). Stąd wynika, że

\(a=\frac{5}{2}\)

\(a=\frac{2}{5}\)

\(a=\frac{3}{2}\)

\(a=\frac{2}{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie ilorazu

W ciągu geometrycznym iloraz kolejnych wyrazów jest stały.

\[q=\frac{6}{24}=\frac{1}{4}\]

2 Wyznaczenie a

Trzeci wyraz jest iloczynem drugiego wyrazu i ilorazu.

\[a-1=6\cdot\frac{1}{4}=\frac{3}{2},\qquad a=\frac{5}{2}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[a=\frac{5}{2}\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanej wartości trzeci wyraz wynosi \(\frac{3}{2}\), a iloraz trzeciego wyrazu przez drugi jest równy \(\frac{1}{4}\).

\[\frac{a-1}{6}=\frac{\frac{5}{2}-1}{6}=\frac{1}{4}=\frac{6}{24}\]

Zadanie 21

Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

74%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym \(EFGHIJKL\) wierzchołki \(E\), \(G\), \(L\) połączono odcinkami (tak jak na rysunku).

Wskaż kąt między wysokością \(OL\) trójkąta \(EGL\) i płaszczyzną podstawy tego graniastosłupa.

Rysunek graniastosłupa prawidłowego czworokątnego EFGHIJKL z odcinkami EG, EL i GL oraz punktem O na odcinku EG.

\(\angle HOL\)

\(\angle OGL\)

\(\angle HLO\)

\(\angle OHL\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie rzutu odcinka

W graniastosłupie prawidłowym krawędź \(LH\) jest prostopadła do płaszczyzny podstawy, więc rzutem punktu \(L\) na tę płaszczyznę jest \(H\). Punkt \(O\) leży na przekątnej podstawy \(EG\), zatem jego rzutem jest on sam. Rzutem odcinka \(OL\) jest więc \(OH\).

\[L\mapsto H,\quad O\mapsto O,\quad OL\mapsto OH\]

2 Wskazanie kąta

Kąt między prostą a płaszczyzną to kąt między tą prostą a jej rzutem prostokątnym na płaszczyznę.

\[\angle(OL,\text{płaszczyzna podstawy})=\angle HOL\]

Odpowiedź

A — kąt HOL.

\[\boxed{\angle HOL}\]

Sprawdzenie

Oba ramiona kąta wychodzą z punktu O: OL jest wskazaną wysokością trójkąta, a OH leży w podstawie i jest rzutem OL. Kąt HOL spełnia więc definicję szukanego kąta.

\[LH\perp(EFGH),\quad OH\subset(EFGH)\]