Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

1468 zadańStrona 72 z 98

Sortuj:

Zadanie 6

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Równanie \(\frac{1-x}{x}=2x\) w zbiorze liczb całkowitych

nie ma żadnego rozwiązania.

ma dokładnie jedno rozwiązanie.

ma dokładnie dwa rozwiązania.

ma więcej niż dwa rozwiązania.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Dziedzina

Mianownik nie może być zerem, więc wykluczamy zero.

\[x\in\mathbb{Z},\quad x\ne 0\]

2 Przekształcenie równania

Mnożymy obie strony przez niezerowe \(x\), przenosimy wyrazy na jedną stronę i rozkładamy trójmian na czynniki.

\[1-x=2x^2\quad\Longleftrightarrow\quad 2x^2+x-1=0\quad\Longleftrightarrow\quad(2x-1)(x+1)=0\]

3 Wybór rozwiązania całkowitego

Iloczyn jest zerem, gdy jeden z czynników jest zerem. Spośród otrzymanych liczb tylko \(-1\) jest całkowite.

\[x=\frac12\ \text{lub}\ x=-1;\qquad x\in\mathbb{Z}\ \Longrightarrow\ x=-1\]

Odpowiedź

Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie całkowite: −1. Odpowiedź B.

\[x=-1\]

Sprawdzenie

Liczba −1 spełnia warunek dziedziny. Po podstawieniu obie strony równania są równe −2.

\[\frac{1-(-1)}{-1}=-2=2\cdot(-1)\]

Zadanie 7

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Boki trójkąta \(ABC\) są zawarte w prostych o równaniach \(y=\frac{2}{3}x+2\) i \(y=-x+2\) oraz osi \(Ox\) układu współrzędnych (zobacz rysunek).

Pole trójkąta \(ABC\) jest równe

Układ współrzędnych z osiami Ox i Oy oraz dwiema prostymi przecinającymi się w punkcie C na osi y. Punkty A i B leżą na osi x; zaznaczono także początek układu 0.

\(10\)

\(\frac{5}{2}\)

\(5\)

\(\frac{3}{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie podstawy

Punkty A i B leżą na osi Ox, więc w równaniach prostych podstawiamy y=0.

\[0=\frac{2}{3}x+2\Rightarrow x=-3,\qquad 0=-x+2\Rightarrow x=2,\qquad |AB|=2-(-3)=5\]

2 Wyznaczenie wysokości

Obie proste przecinają się na osi Oy w punkcie C=(0,2). Jego odległość od osi Ox jest wysokością trójkąta.

\[h=|2|=2\]

3 Obliczenie pola

Stosujemy wzór na pole trójkąta: połowa iloczynu podstawy i wysokości.

\[P=\frac{1}{2}\cdot|AB|\cdot h=\frac{1}{2}\cdot5\cdot2=5\]

Odpowiedź

Pole wynosi 5. Odpowiedź C.

\[P=5\]

Sprawdzenie

Dla x=−3 pierwsza prosta ma y=0, dla x=2 druga ma y=0, a obie dla x=0 mają y=2. Podstawa ma więc długość 5, a wysokość 2.

\[\frac{1}{2}\cdot5\cdot2=5\]

Zadanie 8

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Punkt \(P=(-3,7)\) leży na wykresie funkcji liniowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=(2m-1)x+5\). Zatem

\(m=\frac{1}{6}\)

\(m=-\frac{1}{6}\)

\(m=\frac{5}{6}\)

\(m=-\frac{5}{6}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie współrzędnych punktu

Ponieważ punkt P leży na wykresie, dla x=-3 wartość funkcji wynosi 7.

\[7=(2m-1)(-3)+5\]

2 Obliczenie parametru

Rozwijamy nawias i rozwiązujemy równanie względem m.

\[7=-6m+8\quad\Rightarrow\quad -1=-6m\quad\Rightarrow\quad m=\frac{1}{6}\]

Odpowiedź

m=1/6, odpowiedź A.

\[m=\frac{1}{6}\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanej wartości m funkcja przyjmuje w punkcie x=-3 wartość 7, więc P leży na jej wykresie.

\[f(-3)=\left(2\cdot\frac{1}{6}-1\right)(-3)+5=\left(-\frac{2}{3}\right)(-3)+5=7\]

Zadanie 9

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Wykresem funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=-x^2+6x+4\) jest parabola o wierzchołku w punkcie \((3,q)\). Liczba \(q\) jest równa

\(4\)

\(7\)

\(9\)

\(13\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie współrzędnej wierzchołka

Wierzchołek leży na wykresie funkcji, więc jego druga współrzędna jest równa wartości funkcji dla \(x=3\).

\[q=f(3)=-(3)^2+6\cdot3+4=-9+18+4=13\]

Odpowiedź

Liczba \(q\) wynosi 13. Odpowiedź D.

\[q=13\]

Sprawdzenie

Po zapisaniu funkcji w postaci kanonicznej widać, że wierzchołek ma współrzędne \((3,13)\).

\[f(x)=-(x-3)^2+13\]

Zadanie 10

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja \(f\) każdej liczbie naturalnej \(n\geq 1\) przyporządkowuje resztę z dzielenia tej liczby przez \(4\). Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest

\(\{0,1,2,3\}\)

\(\{1,2,3,4\}\)

\(\{0,1,2,3,4\}\)

\(\{0,2\}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Możliwe reszty

Reszta z dzielenia przez 4 jest nieujemna i mniejsza od 4, więc może wynosić tylko 0, 1, 2 lub 3.

\[n=4q+r,\quad 0\leq r<4\]

2 Występowanie reszt

Liczby 1, 2, 3 i 4 należą do dziedziny i dają wszystkie cztery możliwe reszty.

\[f(1)=1,\quad f(2)=2,\quad f(3)=3,\quad f(4)=0\]

Odpowiedź

Zbiorem wartości jest {0, 1, 2, 3}. Odpowiedź A.

\[\{0,1,2,3\}\]

Sprawdzenie

Każda wskazana reszta występuje, a reszta 4 nie jest możliwa, ponieważ musi być mniejsza od dzielnika 4.

\[0\leq r<4\]

Zadanie 11

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na rysunku poniżej przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=ax^2+bx+c\).

Stąd wynika, że

Fragment wykresu paraboli skierowanej ramionami w dół, stycznej do dodatniej półosi x, z osiami i oznaczeniami x, y oraz 0.

\(\begin{cases}a<0\\b<0\end{cases}\)

\(\begin{cases}a<0\\b>0\end{cases}\)

\(\begin{cases}a>0\\b<0\end{cases}\)

\(\begin{cases}a>0\\b>0\end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Znak współczynnika a

Ramiona paraboli są skierowane w dół, więc współczynnik przy kwadracie jest ujemny.

\[a<0\]

2 Znak współczynnika b

Wierzchołek leży na dodatniej półosi x. Ponieważ jego pierwsza współrzędna wynosi \(-\frac{b}{2a}\), a \(2a<0\), musi zachodzić \(b>0\).

\[-\frac{b}{2a}>0,\quad a<0\quad\Longrightarrow\quad b>0\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[a<0,\quad b>0\]

Sprawdzenie

Dla a<0 i b>0 iloraz \(-\frac{b}{2a}\) jest dodatni, więc wierzchołek leży po prawej stronie osi y, zgodnie z rysunkiem.

\[-\frac{b}{2a}>0\]

Zadanie 12

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Proste o równaniach \(y=(m-2)x\) oraz \(y=\frac{3}{4}x+7\) są prostopadłe. Wtedy

\(m=-\frac{5}{4}\)

\(m=\frac{2}{3}\)

\(m=\frac{11}{4}\)

\(m=\frac{10}{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie współczynników kierunkowych

W równaniu prostej postaci \(y=ax+b\) współczynnikiem kierunkowym jest liczba \(a\).

\[a_1=m-2,\qquad a_2=\frac{3}{4}\]

2 Zastosowanie warunku prostopadłości

Iloczyn współczynników kierunkowych prostych prostopadłych wynosi \(-1\), więc rozwiązujemy otrzymane równanie.

\[(m-2)\cdot\frac{3}{4}=-1\quad\Rightarrow\quad m-2=-\frac{4}{3}\quad\Rightarrow\quad m=\frac{2}{3}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: \(m=\frac{2}{3}\).

\[m=\frac{2}{3}\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanej wartości iloczyn współczynników kierunkowych wynosi \(-1\), więc proste są prostopadłe.

\[\left(\frac{2}{3}-2\right)\cdot\frac{3}{4}=-\frac{4}{3}\cdot\frac{3}{4}=-1\]

Zadanie 13

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). Czwarty wyraz tego ciągu jest równy \(a_4=2020\). Suma \(a_2+a_6\) jest równa

\(505\)

\(1010\)

\(2020\)

\(4040\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie wyrazów względem czwartego

W ciągu arytmetycznym każde przesunięcie o jeden wyraz zmienia wartość o tę samą różnicę r. Wyrazy drugi i szósty leżą po dwa miejsca od czwartego.

\[a_2=a_4-2r,\qquad a_6=a_4+2r\]

2 Obliczenie sumy

Po dodaniu wyrazów różnice się redukują. Podstawiamy daną wartość czwartego wyrazu.

\[a_2+a_6=(a_4-2r)+(a_4+2r)=2a_4=2\cdot2020=4040\]

Odpowiedź

Suma wynosi 4040. Odpowiedź D.

\[a_2+a_6=4040\]

Sprawdzenie

Dla dowolnej różnicy r składniki −2r i 2r znoszą się, więc suma zawsze jest równa dwukrotności 2020.

\[(2020-2r)+(2020+2r)=4040\]

Zadanie 14

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg geometryczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\) oraz \(a_2=6\) i \(a_5=-48\). Wynika stąd, że

\(a_7>0\)

\(a_7<0\)

\(a_7>a_6\)

\(a_7>a_8\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie ilorazu

W ciągu geometrycznym od wyrazu drugiego do piątego mnożymy trzykrotnie przez iloraz \(q\).

\[a_5=a_2q^3,\quad -48=6q^3,\quad q^3=-8,\quad q=-2\]

2 Obliczenie siódmego wyrazu

Od piątego do siódmego wyrazu mnożymy dwukrotnie przez \(q\).

\[a_7=a_5q^2=-48\cdot(-2)^2=-192<0\]

Odpowiedź

Prawidłowa odpowiedź: B, ponieważ \(a_7<0\).

\[a_7=-192<0\]

Sprawdzenie

Sąsiednie wyrazy wynoszą \(a_6=96\) i \(a_8=384\). Zatem pozostałe nierówności z odpowiedzi A, C i D są fałszywe.

\[a_6=-48\cdot(-2)=96,\quad a_8=-192\cdot(-2)=384;\quad -192<0,\quad -192<96,\quad -192<384\]

Zadanie 15

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Punkty \(A=(80,-1)\) i \(B=(-6,-19)\) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego \(ABC\). W tym trójkącie kąt przy wierzchołku \(C\) jest prosty. Środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie jest punkt o współrzędnych

\((43,-10)\)

\((37,10)\)

\((43,10)\)

\((37,-10)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozpoznanie przeciwprostokątnej

Kąt przy C jest prosty, więc bok AB jest przeciwprostokątną. Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym leży w połowie przeciwprostokątnej.

\[S=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)\]

2 Obliczenie środka

Podstawiamy współrzędne końców odcinka AB do wzoru na jego środek.

\[S=\left(\frac{80+(-6)}{2},\frac{-1+(-19)}{2}\right)=(37,-10)\]

Odpowiedź

Środek okręgu ma współrzędne (37, −10). Odpowiedź D.

\[S=(37,-10)\]

Sprawdzenie

Punkt (37, −10) jest jednakowo odległy od A i B: w obu przypadkach kwadrat odległości wynosi 1930.

\[SA^2=(80-37)^2+(-1+10)^2=1930,\quad SB^2=(-6-37)^2+(-19+10)^2=1930\]

Zadanie 16

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

W trapezie prostokątnym \(ABCD\) są dane długości boków: \(|AB|=8\), \(|BC|=5\), \(|DC|=5\), \(|AD|=4\) (zobacz rysunek).

Tangens kąta ostrego \(ABC\) w tym trapezie jest równy

Trapez prostokątny ABCD z oznaczonym kątem ABC i długościami boków 8, 5, 5, 4

\(\frac{4}{3}\)

\(\frac{4}{5}\)

\(\frac{3}{4}\)

\(\frac{3}{5}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Utworzenie trójkąta prostokątnego

Opuszczamy z punktu C prostopadłą na AB i oznaczamy jej podstawę przez E. Ponieważ AD jest prostopadłe do podstaw, ADCE jest prostokątem. Stąd AE=DC=5 oraz CE=AD=4.

\[|AE|=5,\qquad |CE|=4\]

2 Obliczenie tangensa

Odcinek BE jest różnicą długości podstawy AB i odcinka AE. W trójkącie prostokątnym BCE tangens kąta ABC jest ilorazem przyprostokątnej naprzeciw kąta i przyprostokątnej przy kącie.

\[|BE|=8-5=3,\qquad \tan\angle ABC=\frac{|CE|}{|BE|}=\frac{4}{3}\]

Odpowiedź

Tangens kąta ABC wynosi 4/3. Odpowiedź A.

\[\tan\angle ABC=\frac{4}{3}\]

Sprawdzenie

Obliczone przyprostokątne dają przeciwprostokątną długości 5, zgodną z podaną długością BC. Ponieważ obie przyprostokątne mają dodatnie długości, rozpatrywany kąt jest ostry.

\[|BC|=\sqrt{3^2+4^2}=5\]

Zadanie 17

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Punkty \(A=(1,-2)\) i \(C=(0,5)\) są końcami przekątnej kwadratu \(ABCD\). Obwód tego kwadratu jest równy

\(12\)

\(20\)

\(28\)

\(48\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie przekątnej

Długość odcinka łączącego punkty obliczamy ze wzoru na odległość punktów w układzie współrzędnych.

\[|AC|=\sqrt{(0-1)^2+(5-(-2))^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\]

2 Obliczenie boku i obwodu

Przekątna kwadratu o boku \(a\) ma długość \(a\sqrt{2}\), a obwód jest równy \(4a\).

\[a=\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=5,\qquad O=4\cdot5=20\]

Odpowiedź

Obwód kwadratu wynosi 20. Odpowiedź B.

\[O=20\]

Sprawdzenie

Dla boku długości 5 przekątna ma długość \(5\sqrt{2}\), zgodną z długością odcinka \(AC\).

\[5\sqrt{2}=|AC|\]

Zadanie 18

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Pole trójkąta równoramiennego jest równe \(25\sqrt{2}\). Miara kąta między ramionami tego trójkąta jest równa \(45^\circ\). Każde z ramion tego trójkąta ma długość

\(10\sqrt{2}\)

\(5\sqrt{2}\)

\(5\)

\(10\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie pola

Oznaczamy długość ramienia przez \(a>0\). Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta z dwóch boków i kąta między nimi.

\[P=\frac12a^2\sin45^\circ=\frac{a^2\sqrt2}{4}\]

2 Obliczenie ramienia

Podstawiamy podane pole, skracamy przez \(\sqrt2\) i wybieramy dodatnią długość.

\[\frac{a^2\sqrt2}{4}=25\sqrt2\;\Longrightarrow\;a^2=100\;\Longrightarrow\;a=10\]

Odpowiedź

Każde ramię ma długość 10. Odpowiedź D.

\[a=10\]

Sprawdzenie

Dla ramion długości 10 i kąta 45° wzór daje dokładnie podane pole.

\[\frac12\cdot10\cdot10\cdot\sin45^\circ=25\sqrt2\]

Zadanie 19

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym przyprostokątna \(BC\) ma długość \(250\) cm, a przyprostokątna \(AC\) ma długość \(91\) cm. Miara \(\beta\) kąta \(ABC\) spełnia warunek

\(19^\circ<\beta<21^\circ\)

\(21^\circ<\beta<23^\circ\)

\(67^\circ<\beta<69^\circ\)

\(69^\circ<\beta<71^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie tangensa

Kąt prosty leży przy C. Dla kąta przy B bok AC jest przeciwległy, a BC przyległy, więc korzystamy z definicji tangensa.

\[\tan\beta=\frac{AC}{BC}=\frac{91}{250}=0{,}364\]

2 Wyznaczenie przedziału

Tangens rośnie dla kątów ostrych. Porównanie wartości na końcach przedziału pozwala ustalić, gdzie leży kąt β.

\[\tan19^\circ\approx0{,}3443<0{,}364<0{,}3839\approx\tan21^\circ\quad\Longrightarrow\quad19^\circ<\beta<21^\circ\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: kąt β jest większy od 19° i mniejszy od 21°.

\[19^\circ<\beta<21^\circ\]

Sprawdzenie

Obliczenie odwrotne daje β ≈ 20,0015°, co należy do przedziału A. Kąt jest ostry, zgodnie z warunkami trójkąta prostokątnego.

\[\beta=\arctan\left(\frac{91}{250}\right)\approx20{,}0015^\circ\]

Zadanie 20

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Tworząca stożka jest o \(2\) dłuższa od promienia jego podstawy, a pole powierzchni bocznej jest o \(2\pi\) większe od pola podstawy. Promień podstawy tego stożka jest równy

\(3\)

\(2\pi\)

\(1\)

\(\pi\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie zależności

Oznaczamy promień przez \(r>0\). Tworząca jest od niego o \(2\) dłuższa.

\[l=r+2\]

2 Obliczenie promienia

Pole boczne stożka wynosi \(\pi rl\), a pole podstawy \(\pi r^2\). Z podanej różnicy pól wyznaczamy \(r\).

\[\pi r(r+2)-\pi r^2=2\pi\;\Longrightarrow\;2\pi r=2\pi\;\Longrightarrow\;r=1\]

Odpowiedź

Promień podstawy wynosi 1. Odpowiedź C.

\[r=1\]

Sprawdzenie

Dla promienia 1 tworząca ma długość 3. Pole boczne wynosi \(3\pi\), a pole podstawy \(\pi\), więc ich różnica to \(2\pi\). Promień jest dodatni.

\[3\pi-\pi=2\pi\]