Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

1468 zadańStrona 71 z 98

Sortuj:

Zadanie 26

Matura 2021 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Kombinatoryka

Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych parzystych jest

\(9\cdot 2\cdot 10^3\)

\(9\cdot 5\cdot 10^3\)

\(5\cdot 10^4\)

\(4\cdot 10^5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wybór cyfr

Pierwsza cyfra ma 9 możliwości, bo nie może być zerem. Każda z trzech środkowych cyfr ma 10 możliwości. Ostatnia cyfra ma 5 możliwości, bo liczba parzysta kończy się cyfrą 0, 2, 4, 6 lub 8.

\[9\cdot 10\cdot 10\cdot 10\cdot 5=9\cdot 5\cdot 10^3=45000\]

Odpowiedź

Jest 45 000 takich liczb. Odpowiedź B.

\[9\cdot 5\cdot 10^3=45000\]

Sprawdzenie

Liczb pięciocyfrowych jest 90 000. Dokładnie połowa z nich jest parzysta, więc wynik to 45 000.

\[\frac{99999-10000+1}{2}=45000\]

Zadanie 27

Matura 2021 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

W pudełku znajdują się tylko kule białe i kule czerwone. Stosunek liczby kul białych do liczby kul czerwonych jest równy \(3 : 4\). Wylosowanie każdej kuli z tego pudełka jest jednakowo prawdopodobne. Losujemy jedną kulę. Niech \(A\) oznacza zdarzenie polegające na tym, że wylosowana z pudełka kula będzie biała. Prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) jest równe

\(\frac{1}{4}\)

\(\frac{1}{3}\)

\(\frac{3}{7}\)

\(\frac{3}{4}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie liczby kul

Stosunek 3:4 oznacza, że liczby kul białych i czerwonych są odpowiednio równe 3k i 4k dla pewnego dodatniego k. Wszystkich kul jest 7k.

\[3k+4k=7k\]

2 Obliczenie prawdopodobieństwa

Każda kula ma taką samą szansę wylosowania, więc dzielimy liczbę kul białych przez liczbę wszystkich kul.

\[P(A)=\frac{3k}{7k}=\frac{3}{7}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo wynosi 3/7. Odpowiedź C.

\[P(A)=\frac{3}{7}\]

Sprawdzenie

Udziały kul białych i czerwonych sumują się do 1.

\[\frac{3}{7}+\frac{4}{7}=1\]

Zadanie 28

Matura 2021 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Średnia arytmetyczna pięciu liczb: \(5x+6\), \(6x+7\), \(7x+8\), \(8x+9\), \(9x+10\), jest równa \(8\). Wtedy \(x\) jest równe

\((-35)\)

\(0\)

\(0{,}35\)

\(35\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie średniej

Średnia arytmetyczna to suma pięciu liczb podzielona przez 5, więc przyrównujemy ją do 8.

\[\frac{(5x+6)+(6x+7)+(7x+8)+(8x+9)+(9x+10)}{5}=8\]

2 Obliczenie x

Dodajemy wyrazy podobne i rozwiązujemy równanie.

\[\frac{35x+40}{5}=8\quad\Longrightarrow\quad 7x+8=8\quad\Longrightarrow\quad x=0\]

Odpowiedź

x = 0, odpowiedź B.

\[x=0\]

Sprawdzenie

Dla x = 0 otrzymujemy liczby 6, 7, 8, 9, 10. Ich średnia wynosi 8.

\[\frac{6+7+8+9+10}{5}=\frac{40}{5}=8\]

Zadanie 29

Matura 2021 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

Rozwiąż nierówność: \(x^2-5\geq 4x\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przenieś wyrazy na jedną stronę

Odejmujemy 4x od obu stron, aby porównać trójmian z zerem.

\[x^2-5\geq 4x\iff x^2-4x-5\geq 0\]

2 Rozłóż trójmian na czynniki

Szukamy liczb o iloczynie −5 i sumie −4; są to −5 i 1.

\[x^2-4x-5=(x-5)(x+1)\]

3 Wyznacz przedziały

Iloczyn jest nieujemny, gdy oba czynniki mają ten sam znak lub któryś jest zerem.

\[(x-5)(x+1)\geq 0\iff x\leq -1\ \text{lub}\ x\geq 5\]

Odpowiedź

Zbiorem rozwiązań jest suma przedziałów od minus nieskończoności do −1 włącznie oraz od 5 włącznie do plus nieskończoności.

\[x\in(-\infty,-1]\cup[5,\infty)\]

Sprawdzenie

Dla x = −1 i x = 5 iloczyn wynosi 0, więc końce należą do rozwiązania. Między nimi, np. dla x = 0, iloczyn wynosi −5 < 0. Poza nimi oba czynniki mają ten sam znak.

\[(-1-5)(-1+1)=0,\quad(5-5)(5+1)=0,\quad(0-5)(0+1)=-5<0\]

Zadanie 30

Matura 2021 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

Rozwiąż równanie: \(\frac{x+8}{x-7}=2x\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Dziedzina

Mianownik nie może być zerem, więc wykluczamy tę wartość przed przekształceniem równania.

\[x-7\neq 0,\quad x\neq 7\]

2 Usunięcie mianownika

Mnożymy obie strony przez niezerowe \(x-7\) i przenosimy wyrazy na jedną stronę.

\[x+8=2x(x-7)\iff 2x^2-15x-8=0\]

3 Rozwiązanie równania kwadratowego

Obliczamy wyróżnik i stosujemy wzór na pierwiastki równania kwadratowego.

\[\Delta=(-15)^2-4\cdot2\cdot(-8)=289=17^2,\quad x=\frac{15\pm17}{4},\quad x_1=8,\quad x_2=-\frac12\]

Odpowiedź

Rozwiązaniami są 8 i −1/2.

\[x\in\left\{8,-\frac12\right\}\]

Sprawdzenie

Obie liczby należą do dziedziny. Po podstawieniu każdej z nich lewa strona równa się prawej.

\[x=8:\ \frac{8+8}{8-7}=16=2\cdot8;\qquad x=-\frac12:\ \frac{-\frac12+8}{-\frac12-7}=-1=2\cdot\left(-\frac12\right)\]

Zadanie 31

Matura 2021 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Wyrażenia algebraiczne

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i każdej liczby rzeczywistej \(b\) spełniona jest nierówność \(b(5b-4a)+a^2\geq 0\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przekształcenie wyrażenia

Rozwijamy nawias i uzupełniamy kwadrat, aby zapisać wyrażenie jako sumę kwadratów.

\[b(5b-4a)+a^2=a^2-4ab+5b^2=(a-2b)^2+b^2\]

2 Uzasadnienie nierówności

Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc suma tych kwadratów również jest nieujemna.

\[(a-2b)^2\geq 0,\quad b^2\geq 0\quad\Longrightarrow\quad b(5b-4a)+a^2\geq 0\]

Odpowiedź

Nierówność zachodzi dla wszystkich liczb rzeczywistych a i b. Równość zachodzi dokładnie wtedy, gdy a=0 i b=0.

\[b(5b-4a)+a^2=(a-2b)^2+b^2\geq 0\]

Sprawdzenie

Po rozwinięciu sumy kwadratów otrzymujemy wyjściowe wyrażenie. Suma jest równa zeru tylko wtedy, gdy oba kwadraty są zerowe: b=0 oraz a−2b=0, czyli a=b=0.

\[(a-2b)^2+b^2=a^2-4ab+4b^2+b^2=a^2-4ab+5b^2\]

Zadanie 32

Matura 2021 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Trygonometria

W trójkącie \(ABC\) kąt przy wierzchołku \(A\) jest prosty, a kąt przy wierzchołku \(B\) ma miarę \(30^\circ\). Na boku \(AB\) tego trójkąta obrano punkt \(D\) tak, że miara kąta \(CDA\) jest równa \(60^\circ\) oraz \(|AD|=6\) (zobacz rysunek). Oblicz \(|BD|\).

Trójkąt ABC z kątem prostym przy A. Punkt D leży na boku AB; zaznaczono kąty 60° przy D i 30° przy B oraz długość AD równą 6.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie boku AC

Trójkąt ACD jest prostokątny przy A, więc korzystamy z tangensa kąta 60°.

\[\tan 60^\circ=\frac{|AC|}{|AD|},\qquad |AC|=6\sqrt{3}\]

2 Obliczenie boku AB

W trójkącie prostokątnym ABC tangens kąta 30° pozwala wyznaczyć AB z długości AC.

\[\tan 30^\circ=\frac{|AC|}{|AB|},\qquad |AB|=\frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}/3}=18\]

3 Obliczenie odcinka BD

Punkt D leży na boku AB, więc odejmujemy długość AD od długości AB.

\[|BD|=|AB|-|AD|=18-6=12\]

Odpowiedź

Długość odcinka BD wynosi 12.

\[|BD|=12\]

Sprawdzenie

Otrzymane AB jest dłuższe od AD, więc D leży między A i B. Ponadto stosunki boków dają wymagane kąty.

\[\frac{|AC|}{|AD|}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}=\tan 60^\circ,\qquad \frac{|AC|}{|AB|}=\frac{6\sqrt{3}}{18}=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan 30^\circ\]

Zadanie 33

Matura 2021 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

Dany jest trapez \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\). Przekątne \(AC\) i \(BD\) tego trapezu przecinają się w punkcie \(S\) (zobacz rysunek) tak, że \(\frac{|AS|}{|SC|}=\frac{3}{2}\). Pole trójkąta \(ABS\) jest równe \(12\). Oblicz pole trójkąta \(CDS\).

Trapez ABCD o podstawach AB i CD; przekątne AC i BD przecinają się w punkcie S.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podobieństwo trójkątów

Ponieważ podstawy trapezu są równoległe, trójkąty \(ABS\) i \(CDS\) są podobne. Odpowiadające sobie boki \(AS\) i \(CS\) mają stosunek \(3:2\).

\[\frac{|AS|}{|CS|}=\frac{3}{2}\]

2 Obliczenie pola

Pola figur podobnych są proporcjonalne do kwadratów długości odpowiadających sobie boków.

\[\frac{P_{ABS}}{P_{CDS}}=\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4},\qquad P_{CDS}=12\cdot\frac{4}{9}=\frac{16}{3}\]

Odpowiedź

Pole trójkąta \(CDS\) wynosi \(\frac{16}{3}\).

\[P_{CDS}=\frac{16}{3}\]

Sprawdzenie

Stosunek otrzymanych pól wynosi \(12:\frac{16}{3}=9:4\), czyli kwadrat stosunku odpowiadających sobie boków \(3:2\).

\[\frac{12}{16/3}=\frac{9}{4}=\left(\frac{3}{2}\right)^2\]

Zadanie 34

Matura 2021 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego do sześciu oczek. Niech \(A\) oznacza zdarzenie polegające na tym, że iloczyn liczb oczek wyrzuconych w dwóch rzutach jest równy \(12\). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba możliwych wyników

Wynik zapisujemy jako uporządkowaną parę liczb oczek. Każdy z 6 wyników pierwszego rzutu można połączyć z każdym z 6 wyników drugiego rzutu.

\[|\Omega|=6\cdot 6=36\]

2 Wyniki sprzyjające

Szukamy par liczb od 1 do 6, których iloczyn wynosi 12. Kolejność rzutów ma znaczenie.

\[A=\{(2,6),(6,2),(3,4),(4,3)\},\quad |A|=4\]

3 Prawdopodobieństwo

Wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne, więc dzielimy liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich wyników.

\[P(A)=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi 1/9.

\[P(A)=\frac{1}{9}\]

Sprawdzenie

Iloczyn każdej z czterech wypisanych par wynosi 12. Pozostała para dzielników, 1 i 12, nie jest możliwa na tej kostce, więc lista jest kompletna.

\[2\cdot6=3\cdot4=12,\qquad 12>6\]

Zadanie 35

Matura 2021 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Ciągi

Dany jest ciąg \((a_n)\) określony wzorem \(a_n=\frac{5-3n}{7}\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). Trójwyrazowy ciąg \((a_4,x^2+2,a_{11})\), gdzie \(x\) jest liczbą rzeczywistą, jest geometryczny. Oblicz \(x\) oraz iloraz tego ciągu geometrycznego.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie skrajnych wyrazów

Podstawiamy numery wyrazów do wzoru ciągu, aby poznać pierwszy i trzeci wyraz ciągu geometrycznego.

\[a_4=\frac{5-3\cdot4}{7}=-1,\qquad a_{11}=\frac{5-3\cdot11}{7}=-4\]

2 Wyznaczenie środkowego wyrazu i x

W trójwyrazowym ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu jest iloczynem skrajnych. Ponieważ x jest rzeczywiste, mamy x^2+2\geq2, więc wybieramy dodatni pierwiastek.

\[(x^2+2)^2=a_4a_{11}=4,\qquad x^2+2=2,\qquad x=0\]

3 Obliczenie ilorazu

Iloraz jest ilorazem drugiego wyrazu przez pierwszy, który jest różny od zera.

\[q=\frac{x^2+2}{a_4}=\frac{2}{-1}=-2\]

Odpowiedź

x = 0, a iloraz ciągu geometrycznego wynosi −2.

\[x=0,\qquad q=-2\]

Sprawdzenie

Dla x = 0 wyrazy wynoszą −1, 2, −4. Oba kolejne ilorazy są równe −2.

\[\frac{2}{-1}=-2,\qquad\frac{-4}{2}=-2\]

Zadanie 1

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Równość \(2+a=\frac{9a}{2a+1}\) jest prawdziwa, gdy

\(a=-2\)

\(a=-1\)

\(a=1\)

\(a=2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek

Mianownik musi być różny od zera.

\[2a+1\ne 0\quad\Longrightarrow\quad a\ne-\frac12\]

2 Usunięcie mianownika

Mnożymy obie strony przez niezerowe \(2a+1\), aby otrzymać równanie kwadratowe.

\[(a+2)(2a+1)=9a\quad\Longrightarrow\quad 2a^2-4a+2=0\]

3 Rozwiązanie równania

Wyłączamy wspólny czynnik i korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia.

\[2(a-1)^2=0\quad\Longrightarrow\quad a=1\]

Odpowiedź

Równość jest prawdziwa dla a = 1. Odpowiedź C.

\[a=1\quad(\mathrm{C})\]

Sprawdzenie

Dla a = 1 mianownik wynosi 3, więc jest niezerowy. Lewa i prawa strona równania są równe 3.

\[2+1=3=\frac{9\cdot1}{2\cdot1+1}\]

Zadanie 2

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(1-(2^7-1)^2\) jest równa

\(-2^{14}\)

\(2^8-2^{14}\)

\(2-2^{14}\)

\(-2^{14}-2\cdot 2^7+2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozwiń kwadrat

Korzystamy ze wzoru na kwadrat różnicy, aby usunąć nawias.

\[(2^7-1)^2=2^{14}-2\cdot2^7+1=2^{14}-2^8+1\]

2 Uprość wyrażenie

Odejmujemy otrzymany wynik i redukujemy jedynki.

\[1-(2^7-1)^2=1-2^{14}+2^8-1=2^8-2^{14}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[2^8-2^{14}\]

Sprawdzenie

Ponieważ \(2^7-1=127\), wyjściowe wyrażenie ma wartość \(1-127^2=-16128\). Otrzymany wynik daje \(256-16384=-16128\).

\[1-127^2=-16128=2^8-2^{14}\]

Zadanie 3

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(\log_{\sqrt{2}}4^8\) jest równa

\(2\)

\(4\)

\(32\)

\(16\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie jako potęg liczby 2

Sprowadzamy podstawę i liczbę logarytmowaną do tej samej podstawy, aby zastosować własność logarytmu.

\[\sqrt{2}=2^{\frac12},\qquad 4^8=(2^2)^8=2^{16}\]

2 Obliczenie logarytmu

Korzystamy z własności \(\log_{a^m}a^n=\frac{n}{m}\), gdzie \(a>0\) i \(a\neq1\).

\[\log_{\sqrt{2}}4^8=\log_{2^{\frac12}}2^{16}=\frac{16}{\frac12}=32\]

Odpowiedź

Wynik to 32, odpowiedź C.

\[\boxed{32\text{ — C}}\]

Sprawdzenie

Podstawa logarytmu jest dodatnia i różna od 1. Ponieważ podniesienie jej do potęgi 32 daje liczbę logarytmowaną, wynik jest poprawny.

\[(\sqrt{2})^{32}=(2^{\frac12})^{32}=2^{16}=4^8\]

Zadanie 4

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Masę Słońca równą \(1{,}989\cdot 10^{30}\,\mathrm{kg}\) przybliżono do \(2\cdot 10^{30}\,\mathrm{kg}\). Błąd bezwzględny tego przybliżenia jest równy

\(0{,}0011\cdot 10^{30}\,\mathrm{kg}\)

\(1{,}1\cdot 10^{30}\,\mathrm{kg}\)

\(0{,}11\cdot 10^{30}\,\mathrm{kg}\)

\(0{,}011\cdot 10^{30}\,\mathrm{kg}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie błędu bezwzględnego

Błąd bezwzględny to wartość bezwzględna różnicy między przybliżeniem a dokładną masą.

\[\left|2\cdot10^{30}-1{,}989\cdot10^{30}\right|=\left|2-1{,}989\right|\cdot10^{30}=0{,}011\cdot10^{30}\,\mathrm{kg}\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[0{,}011\cdot10^{30}\,\mathrm{kg}\]

Sprawdzenie

Dodanie obliczonej różnicy do dokładnej masy daje podane przybliżenie.

\[1{,}989\cdot10^{30}+0{,}011\cdot10^{30}=2\cdot10^{30}\,\mathrm{kg}\]

Zadanie 5

Matura 2020 · termin dodatkowy — lipiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Największą liczbą całkowitą spełniającą nierówność \(\frac{1}{6}-x\geq\frac{2}{3}x+4\) jest

\(-3\)

\(-2\)

\(2\)

\(3\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przenieś wyrazy

Zbieramy wyrazy z \(x\) po prawej stronie, a liczby po lewej.

\[\frac{1}{6}-4\geq x+\frac{2}{3}x\quad\Longrightarrow\quad-\frac{23}{6}\geq\frac{5}{3}x\]

2 Wyznacz granicę

Dzielimy obie strony przez dodatnią liczbę \(\frac{5}{3}\), więc znak nierówności się nie zmienia.

\[x\leq-\frac{23}{6}\cdot\frac{3}{5}=-\frac{23}{10}=-2{,}3\]

3 Wybierz liczbę całkowitą

Największą liczbą całkowitą nie większą niż \(-2{,}3\) jest \(-3\).

\[x_{\max}=-3\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: \(-3\).

\[-3\]

Sprawdzenie

Dla \(x=-3\) lewa strona wynosi \(\frac{19}{6}\), a prawa \(2\), więc nierówność jest spełniona. Następna większa liczba całkowita, \(-2\), jej nie spełnia: \(\frac{13}{6}<\frac{8}{3}\).

\[\frac{19}{6}\geq 2,\qquad \frac{13}{6}<\frac{8}{3}\]