Otwarte2 pkt
W trójkącie \(ABC\) kąt przy wierzchołku \(A\) jest prosty, a kąt przy wierzchołku \(B\) ma miarę \(30^\circ\). Na boku \(AB\) tego trójkąta obrano punkt \(D\) tak, że miara kąta \(CDA\) jest równa \(60^\circ\) oraz \(|AD|=6\) (zobacz rysunek). Oblicz \(|BD|\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Obliczenie boku AC
Trójkąt ACD jest prostokątny przy A, więc korzystamy z tangensa kąta 60°.
\[\tan 60^\circ=\frac{|AC|}{|AD|},\qquad |AC|=6\sqrt{3}\]
2 Obliczenie boku AB
W trójkącie prostokątnym ABC tangens kąta 30° pozwala wyznaczyć AB z długości AC.
\[\tan 30^\circ=\frac{|AC|}{|AB|},\qquad |AB|=\frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}/3}=18\]
3 Obliczenie odcinka BD
Punkt D leży na boku AB, więc odejmujemy długość AD od długości AB.
\[|BD|=|AB|-|AD|=18-6=12\]
Odpowiedź
Długość odcinka BD wynosi 12.
\[|BD|=12\]
Sprawdzenie
Otrzymane AB jest dłuższe od AD, więc D leży między A i B. Ponadto stosunki boków dają wymagane kąty.
\[\frac{|AC|}{|AD|}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}=\tan 60^\circ,\qquad \frac{|AC|}{|AB|}=\frac{6\sqrt{3}}{18}=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan 30^\circ\]