Otwarte2 pkt
Dany jest trapez \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\). Przekątne \(AC\) i \(BD\) tego trapezu przecinają się w punkcie \(S\) (zobacz rysunek) tak, że \(\frac{|AS|}{|SC|}=\frac{3}{2}\). Pole trójkąta \(ABS\) jest równe \(12\). Oblicz pole trójkąta \(CDS\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Podobieństwo trójkątów
Ponieważ podstawy trapezu są równoległe, trójkąty \(ABS\) i \(CDS\) są podobne. Odpowiadające sobie boki \(AS\) i \(CS\) mają stosunek \(3:2\).
\[\frac{|AS|}{|CS|}=\frac{3}{2}\]
2 Obliczenie pola
Pola figur podobnych są proporcjonalne do kwadratów długości odpowiadających sobie boków.
\[\frac{P_{ABS}}{P_{CDS}}=\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4},\qquad P_{CDS}=12\cdot\frac{4}{9}=\frac{16}{3}\]
Odpowiedź
Pole trójkąta \(CDS\) wynosi \(\frac{16}{3}\).
\[P_{CDS}=\frac{16}{3}\]
Sprawdzenie
Stosunek otrzymanych pól wynosi \(12:\frac{16}{3}=9:4\), czyli kwadrat stosunku odpowiadających sobie boków \(3:2\).
\[\frac{12}{16/3}=\frac{9}{4}=\left(\frac{3}{2}\right)^2\]