Otwarte2 pkt
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i każdej liczby rzeczywistej \(b\) spełniona jest nierówność \(b(5b-4a)+a^2\geq 0\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Przekształcenie wyrażenia
Rozwijamy nawias i uzupełniamy kwadrat, aby zapisać wyrażenie jako sumę kwadratów.
\[b(5b-4a)+a^2=a^2-4ab+5b^2=(a-2b)^2+b^2\]
2 Uzasadnienie nierówności
Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc suma tych kwadratów również jest nieujemna.
\[(a-2b)^2\geq 0,\quad b^2\geq 0\quad\Longrightarrow\quad b(5b-4a)+a^2\geq 0\]
Odpowiedź
Nierówność zachodzi dla wszystkich liczb rzeczywistych a i b. Równość zachodzi dokładnie wtedy, gdy a=0 i b=0.
\[b(5b-4a)+a^2=(a-2b)^2+b^2\geq 0\]
Sprawdzenie
Po rozwinięciu sumy kwadratów otrzymujemy wyjściowe wyrażenie. Suma jest równa zeru tylko wtedy, gdy oba kwadraty są zerowe: b=0 oraz a−2b=0, czyli a=b=0.
\[(a-2b)^2+b^2=a^2-4ab+4b^2+b^2=a^2-4ab+5b^2\]