Otwarte5 pkt
Dany jest ciąg \((a_n)\) określony wzorem \(a_n=\frac{5-3n}{7}\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). Trójwyrazowy ciąg \((a_4,x^2+2,a_{11})\), gdzie \(x\) jest liczbą rzeczywistą, jest geometryczny. Oblicz \(x\) oraz iloraz tego ciągu geometrycznego.
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Obliczenie skrajnych wyrazów
Podstawiamy numery wyrazów do wzoru ciągu, aby poznać pierwszy i trzeci wyraz ciągu geometrycznego.
\[a_4=\frac{5-3\cdot4}{7}=-1,\qquad a_{11}=\frac{5-3\cdot11}{7}=-4\]
2 Wyznaczenie środkowego wyrazu i x
W trójwyrazowym ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu jest iloczynem skrajnych. Ponieważ x jest rzeczywiste, mamy x^2+2\geq2, więc wybieramy dodatni pierwiastek.
\[(x^2+2)^2=a_4a_{11}=4,\qquad x^2+2=2,\qquad x=0\]
3 Obliczenie ilorazu
Iloraz jest ilorazem drugiego wyrazu przez pierwszy, który jest różny od zera.
\[q=\frac{x^2+2}{a_4}=\frac{2}{-1}=-2\]
Odpowiedź
x = 0, a iloraz ciągu geometrycznego wynosi −2.
\[x=0,\qquad q=-2\]
Sprawdzenie
Dla x = 0 wyrazy wynoszą −1, 2, −4. Oba kolejne ilorazy są równe −2.
\[\frac{2}{-1}=-2,\qquad\frac{-4}{2}=-2\]