Otwarte2 pkt
Rozwiąż nierówność: \(x^2-5\geq 4x\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Przenieś wyrazy na jedną stronę
Odejmujemy 4x od obu stron, aby porównać trójmian z zerem.
\[x^2-5\geq 4x\iff x^2-4x-5\geq 0\]
2 Rozłóż trójmian na czynniki
Szukamy liczb o iloczynie −5 i sumie −4; są to −5 i 1.
\[x^2-4x-5=(x-5)(x+1)\]
3 Wyznacz przedziały
Iloczyn jest nieujemny, gdy oba czynniki mają ten sam znak lub któryś jest zerem.
\[(x-5)(x+1)\geq 0\iff x\leq -1\ \text{lub}\ x\geq 5\]
Odpowiedź
Zbiorem rozwiązań jest suma przedziałów od minus nieskończoności do −1 włącznie oraz od 5 włącznie do plus nieskończoności.
\[x\in(-\infty,-1]\cup[5,\infty)\]
Sprawdzenie
Dla x = −1 i x = 5 iloczyn wynosi 0, więc końce należą do rozwiązania. Między nimi, np. dla x = 0, iloczyn wynosi −5 < 0. Poza nimi oba czynniki mają ten sam znak.
\[(-1-5)(-1+1)=0,\quad(5-5)(5+1)=0,\quad(0-5)(0+1)=-5<0\]