Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

1468 zadańStrona 7 z 98

Sortuj:

Zadanie 9

Matura 2020 · termin główny — 9 czerwca (na PDF: 5 maja) · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

77%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=a(x-1)(x-3)\). Na rysunku przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem tej funkcji. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(2,1)\).

Osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji \(f\) jest prosta o równaniu

Układ współrzędnych z fragmentem paraboli, jej wierzchołkiem W oraz oznaczeniami osi.

\(x=1\)

\(x=2\)

\(y=1\)

\(y=2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie osi symetrii

Oś symetrii paraboli przechodzi przez jej wierzchołek i jest pionowa. Wierzchołek ma pierwszą współrzędną równą 2.

\[W=(2,1)\quad\Rightarrow\quad x=2\]

Odpowiedź

Oś symetrii ma równanie x=2. Odpowiedź B.

\[x=2\]

Sprawdzenie

Miejsca zerowe 1 i 3 leżą w tej samej odległości od prostej x=2.

\[\frac{1+3}{2}=2\]

Zadanie 10

Matura 2020 · termin główny — 9 czerwca (na PDF: 5 maja) · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

77%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Równanie \(x(x-2)=(x-2)^2\) w zbiorze liczb rzeczywistych

nie ma rozwiązań.

ma dokładnie jedno rozwiązanie: \(x=2\).

ma dokładnie jedno rozwiązanie: \(x=0\).

ma dwa różne rozwiązania: \(x=1\) i \(x=2\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przenieś wyrazy na jedną stronę

Aby wyznaczyć miejsca zerowe, odejmujemy prawą stronę równania od obu stron i wyłączamy wspólny czynnik.

\[x(x-2)-(x-2)^2=(x-2)[x-(x-2)]=2(x-2)=0\]

2 Wyznacz rozwiązanie

Ponieważ 2 jest różne od zera, iloczyn jest zerem dokładnie wtedy, gdy x-2=0.

\[x-2=0\quad\Longrightarrow\quad x=2\]

Odpowiedź

Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie: x=2. Odpowiedź B.

\[x=2\]

Sprawdzenie

Dla x=2 obie strony równania są równe zeru. Przekształcenia nie wymagały dzielenia przez wyrażenie zależne od x, więc nie pominięto żadnego rozwiązania.

\[2(2-2)=(2-2)^2=0\]

Zadanie 8

Matura 2018 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

77%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Funkcja liniowa \(f\) określona jest wzorem \(f(x)=\frac{1}{3}x-1\), dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\). Wskaż zdanie prawdziwe.

Funkcja \(f\) jest malejąca i jej wykres przecina oś \(Oy\) w punkcie \(P=\left(0,\frac{1}{3}\right)\).

Funkcja \(f\) jest malejąca i jej wykres przecina oś \(Oy\) w punkcie \(P=(0,-1)\).

Funkcja \(f\) jest rosnąca i jej wykres przecina oś \(Oy\) w punkcie \(P=\left(0,\frac{1}{3}\right)\).

Funkcja \(f\) jest rosnąca i jej wykres przecina oś \(Oy\) w punkcie \(P=(0,-1)\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustal monotoniczność

Współczynnik kierunkowy funkcji liniowej jest dodatni, więc funkcja jest rosnąca.

\[a=\frac{1}{3}>0\]

2 Wyznacz punkt przecięcia z osią Oy

Na osi Oy współrzędna x wynosi 0, dlatego obliczamy wartość funkcji dla x=0.

\[f(0)=\frac{1}{3}\cdot 0-1=-1,\qquad P=(0,-1)\]

Odpowiedź

Prawdziwe jest zdanie D.

\[\boxed{D}\]

Sprawdzenie

Dla 0<1 otrzymujemy f(0)=-1 oraz f(1)=-2/3, więc wartości rosną. Punkt (0,-1) należy do wykresu.

\[f(1)=\frac{1}{3}-1=-\frac{2}{3}>-1=f(0)\]

Zadanie 18

Matura 2015 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

77%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Prosta \(l\) o równaniu \(y=m^2x+3\) jest równoległa do prostej \(k\) o równaniu \(y=(4m-4)x-3\). Zatem

\(m=2\)

\(m=-2\)

\(m=-2-2\sqrt{2}\)

\(m=2+2\sqrt{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Porównanie współczynników kierunkowych

Proste są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe. Dlatego przyrównujemy współczynniki przy \(x\).

\[m^2=4m-4\]

2 Wyznaczenie parametru

Przenosimy wyrazy na jedną stronę i korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia.

\[m^2-4m+4=0\quad\Longleftrightarrow\quad(m-2)^2=0\quad\Longleftrightarrow\quad m=2\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: \(m=2\).

\[m=2\]

Sprawdzenie

Dla \(m=2\) oba współczynniki kierunkowe wynoszą \(4\). Wyrazy wolne to \(3\) i \(-3\), więc są to dwie różne proste równoległe.

\[m^2=2^2=4,\qquad 4m-4=4\cdot2-4=4\]

Zadanie 2

Matura 2024 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

76%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(\left(\frac{1}{16}\right)^8\cdot 8^{16}\) jest równa

\(2^{24}\)

\(2^{16}\)

\(2^{12}\)

\(2^8\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Sprowadzenie do potęg liczby 2

Zapisujemy obie podstawy jako potęgi liczby 2, aby móc zastosować regułę mnożenia potęg o tej samej podstawie.

\[\left(\frac{1}{16}\right)^8\cdot 8^{16}=(2^{-4})^8\cdot(2^3)^{16}=2^{-32}\cdot2^{48}\]

2 Dodanie wykładników

Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy ich wykładniki.

\[2^{-32}\cdot2^{48}=2^{-32+48}=2^{16}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[2^{16}\]

Sprawdzenie

Można też pogrupować czynniki: iloraz 64 i 16 wynosi 4, więc otrzymujemy ten sam wynik.

\[\left(\frac{1}{16}\right)^8\cdot8^{16}=\left(\frac{8^2}{16}\right)^8=4^8=2^{16}\]

Zadanie 8

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

76%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Równanie \(\frac{(x+1)(x-1)^2}{(x-1)(x+1)^2}=0\) w zbiorze liczb rzeczywistych

nie ma rozwiązania.

ma dokładnie jedno rozwiązanie: \(-1\).

ma dokładnie jedno rozwiązanie: \(1\).

ma dokładnie dwa rozwiązania: \(-1\) oraz \(1\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie dziedziny

Mianownik nie może być równy zeru, więc wykluczamy obie liczby zerujące jego czynniki.

\[(x-1)(x+1)^2\ne 0\quad\Longrightarrow\quad x\ne 1\ \text{i}\ x\ne -1\]

2 Sprawdzenie warunku równości zeru

Ułamek jest równy zeru tylko wtedy, gdy jego licznik jest zerem, a mianownik jest różny od zera. Oba miejsca zerowe licznika są wykluczone z dziedziny.

\[(x+1)(x-1)^2=0\quad\Longrightarrow\quad x=-1\ \text{lub}\ x=1\]

Odpowiedź

Równanie nie ma rozwiązania. Odpowiedź A.

\[\varnothing\]

Sprawdzenie

Dla x = −1 oraz x = 1 mianownik jest równy zeru, więc żadna z tych liczb nie spełnia równania. Dla pozostałych liczb licznik jest różny od zera.

\[x\in\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}\quad\Longrightarrow\quad (x+1)(x-1)^2\ne 0\]

Zadanie 9

Matura 2021 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

76%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Proste o równaniach \(y=3x-5\) oraz \(y=\frac{m-3}{2}x+\frac{9}{2}\) są równoległe, gdy

\(m=1\)

\(m=3\)

\(m=6\)

\(m=9\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Porównanie współczynników kierunkowych

Proste zapisane w postaci y=ax+b są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe. Przyrównujemy więc współczynniki stojące przy x.

\[3=\frac{m-3}{2}\]

2 Wyznaczenie m

Mnożymy obie strony przez 2, a następnie dodajemy 3.

\[6=m-3\quad\Longrightarrow\quad m=9\]

Odpowiedź

m=9, odpowiedź D.

\[m=9\]

Sprawdzenie

Dla m=9 druga prosta ma współczynnik kierunkowy 3. Jej wyraz wolny wynosi 9/2, a pierwszej −5, więc są to dwie różne proste równoległe.

\[\frac{9-3}{2}=3,\qquad \frac{9}{2}\ne -5\]

Zadanie 3

Matura 2020 · termin główny — 9 czerwca (na PDF: 5 maja) · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

76%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Liczba \(\log_{5}\sqrt{125}\) jest równa

\(\frac{2}{3}\)

\(2\)

\(3\)

\(\frac{3}{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz pierwiastek jako potęgę

Ponieważ \(125=5^3\), stosujemy własność pierwiastka: \(\sqrt{a}=a^{1/2}\) dla \(a\geq 0\).

\[\sqrt{125}=\sqrt{5^3}=(5^3)^{1/2}=5^{3/2}\]

2 Oblicz logarytm

Logarytm o podstawie \(5\) z potęgi liczby \(5\) jest jej wykładnikiem.

\[\log_5\sqrt{125}=\log_5 5^{3/2}=\frac{3}{2}\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[\frac{3}{2}\]

Sprawdzenie

Podstawa logarytmu spełnia warunki \(5>0\) i \(5\ne 1\), a liczba logarytmowana jest dodatnia. Ponadto \((5^{3/2})^2=5^3=125\), więc \(5^{3/2}=\sqrt{125}\).

\[(5^{3/2})^2=125\]

Zadanie 27

Matura 2019 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

76%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Rozwiąż nierówność \(3x^2-16x+16>0\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie miejsc zerowych

Miejsca zerowe dzielą oś liczbową na przedziały, w których trójmian ma stały znak. Obliczamy je ze wzoru kwadratowego.

\[\Delta=(-16)^2-4\cdot3\cdot16=64,\quad x_1=\frac{16-8}{6}=\frac43,\quad x_2=\frac{16+8}{6}=4\]

2 Ustalenie znaku

Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, więc trójmian jest dodatni poza miejscami zerowymi. Nierówność jest ostra, dlatego końce przedziałów wykluczamy.

\[3x^2-16x+16>0\iff x<\frac43\ \text{lub}\ x>4\]

Odpowiedź

Rozwiązaniem jest suma przedziałów od minus nieskończoności do 4/3 oraz od 4 do plus nieskończoności, bez końców.

\[x\in\left(-\infty,\frac43\right)\cup(4,\infty)\]

Sprawdzenie

Dla x = 0 i x = 5 trójmian jest dodatni, a dla x = 2 ujemny. W obu miejscach zerowych ma wartość 0, więc ich wykluczenie jest konieczne.

\[f(0)=16>0,\quad f(2)=-4<0,\quad f(5)=11>0,\quad f\left(\frac43\right)=f(4)=0\]

Zadanie 22

Matura 2017 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

76%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Promień \(AS\) podstawy walca jest równy wysokości \(OS\) tego walca. Sinus kąta \(OAS\) (zobacz rysunek) jest równy

Walec z oznaczonymi punktami O, S i A oraz odcinkami OS, SA i OA

\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\frac{1}{2}\)

\(1\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustalenie trójkąta

Wysokość walca jest prostopadła do płaszczyzny podstawy, więc trójkąt \(OAS\) jest prostokątny w punkcie \(S\). Oznaczamy równe odcinki przez \(r>0\).

\[OS\perp AS,\qquad OS=AS=r\]

2 Obliczenie sinusa

Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy przeciwprostokątną. Następnie dzielimy przyprostokątną leżącą naprzeciw kąta \(OAS\) przez przeciwprostokątną.

\[OA=\sqrt{r^2+r^2}=r\sqrt{2},\qquad \sin\angle OAS=\frac{OS}{OA}=\frac{r}{r\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[\sin\angle OAS=\frac{\sqrt{2}}{2}\]

Sprawdzenie

Równe przyprostokątne dają dwa kąty ostre po \(45^\circ\), a sinus takiego kąta wynosi \(\frac{\sqrt{2}}{2}\).

\[\sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}\]

Zadanie 1

Matura 2016 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

76%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dla każdej dodatniej liczby \(a\) iloraz \(\frac{a^{-2,6}}{a^{1,3}}\) jest równy

\(a^{-3,9}\)

\(a^{-2}\)

\(a^{-1,3}\)

\(a^{1,3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie własności potęg

Przy dzieleniu potęg o tej samej dodatniej podstawie odejmujemy wykładniki.

\[\frac{a^{-2,6}}{a^{1,3}}=a^{-2,6-1,3}=a^{-3,9}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[a^{-3,9}\]

Sprawdzenie

Po pomnożeniu wyniku przez dzielnik otrzymujemy licznik.

\[a^{-3,9}\cdot a^{1,3}=a^{-2,6}\]

Zadanie 14.1

Matura 2025 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

75%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Ciąg \((a_n)\) jest określony następująco:

\(\begin{cases}a_1=2\\a_{n+1}=2a_n+1\end{cases}\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Trzeci wyraz ciągu \((a_n)\) jest równy

\(4\)

\(5\)

\(7\)

\(11\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie drugiego wyrazu

Podstawiamy n=1 do wzoru rekurencyjnego, ponieważ znamy pierwszy wyraz.

\[a_2=2a_1+1=2\cdot 2+1=5\]

2 Obliczenie trzeciego wyrazu

Stosujemy ten sam wzór dla n=2.

\[a_3=2a_2+1=2\cdot 5+1=11\]

Odpowiedź

Trzeci wyraz jest równy 11. Odpowiedź D.

\[a_3=11\]

Sprawdzenie

Dla a₂=5 wzór rekurencyjny daje a₃=11, zgodnie z wybraną odpowiedzią.

\[2a_2+1=2\cdot 5+1=11\]

Zadanie 5

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Wyrażenia algebraiczne

75%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) wyrażenie \((2a-3)^2-(2a+3)^2\) jest równe

\(-24a\)

\(0\)

\(18\)

\(16a^2-24a\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie wzoru na różnicę kwadratów

Różnicę kwadratów zamieniamy na iloczyn, aby uprościć wyrażenie.

\[(2a-3)^2-(2a+3)^2=((2a-3)-(2a+3))((2a-3)+(2a+3))\]

2 Uproszczenie iloczynu

Redukujemy wyrazy podobne w obu nawiasach i mnożymy.

\[(-6)\cdot 4a=-24a\]

Odpowiedź

Wyrażenie jest równe −24a. Odpowiedź A.

\[-24a\]

Sprawdzenie

Po rozwinięciu obu kwadratów wyrazy z kwadratem a i wyrazy stałe się redukują, więc wynik jest taki sam dla każdego rzeczywistego a.

\[(4a^2-12a+9)-(4a^2+12a+9)=-24a\]

Zadanie 22

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

75%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Trójkąty prostokątne \(T_1\) i \(T_2\) są podobne. Przyprostokątne trójkąta \(T_1\) mają długości \(5\) i \(12\). Przeciwprostokątna trójkąta \(T_2\) ma długość \(26\).

Oblicz pole trójkąta \(T_2\). Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie przeciwprostokątnej

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta T₁.

\[c_1=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13\]

2 Wyznaczenie przyprostokątnych T₂

Trójkąty są podobne, więc wszystkie boki T₂ są dwa razy dłuższe.

\[k=\frac{26}{13}=2,\qquad a_2=2\cdot5=10,\qquad b_2=2\cdot12=24\]

3 Obliczenie pola

Pole trójkąta prostokątnego jest połową iloczynu jego przyprostokątnych.

\[P_2=\frac{10\cdot24}{2}=120\]

Odpowiedź

Pole trójkąta T₂ wynosi 120 jednostek kwadratowych.

\[P_2=120\]

Sprawdzenie

Boki 10 i 24 dają przeciwprostokątną 26, zgodnie z treścią zadania.

\[10^2+24^2=676=26^2\]

Zadanie 23

Matura 2023 · maj · F-2023 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

75%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dane są proste \(k\) oraz \(l\) o równaniach

\(k:\ y=\frac{2}{3}x\)

\(l:\ y=-\frac{3}{2}x+13\)

Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A albo B oraz odpowiedź 1., 2. albo 3.

Proste \(k\) oraz \(l\) … i przecinają się w punkcie \(P\) o współrzędnych …

są prostopadłe

nie są prostopadłe

\((-6,-4)\)

\((6,4)\)

\((-6,4)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Sprawdzenie prostopadłości

Dwie proste o współczynnikach kierunkowych, których iloczyn wynosi −1, są prostopadłe.

\[\frac{2}{3}\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)=-1\]

2 Wyznaczenie punktu przecięcia

W punkcie przecięcia obie proste mają tę samą wartość y. Przyrównujemy więc prawe strony równań i obliczamy współrzędne.

\[\frac{2}{3}x=-\frac{3}{2}x+13\quad\Longrightarrow\quad\frac{13}{6}x=13\quad\Longrightarrow\quad x=6,\qquad y=\frac{2}{3}\cdot6=4\]

Odpowiedź

Proste są prostopadłe i przecinają się w punkcie P=(6,4). Odpowiedzi: A oraz 2.

\[P=(6,4)\]

Sprawdzenie

Dla x=6 druga prosta ma wartość y=−9+13=4, więc punkt (6,4) należy do obu prostych.

\[-\frac{3}{2}\cdot6+13=4=\frac{2}{3}\cdot6\]