Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

1048 zadańStrona 69 z 70

Sortuj:

Zadanie 7

Matura 2015 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Układy równań

Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono interpretację geometryczną układu równań \[\begin{cases}x+3y=-5\\3x-2y=-4\end{cases}\] Wskaż ten rysunek.

Wykres dwóch prostych w układzie współrzędnych

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie równań prostych

Przekształcamy oba równania do postaci kierunkowej, aby odczytać nachylenie prostych i miejsca przecięcia z osią \(y\).

\[x+3y=-5\ \Longrightarrow\ y=-\frac{1}{3}x-\frac{5}{3},\qquad 3x-2y=-4\ \Longrightarrow\ y=\frac{3}{2}x+2\]

2 Wybór rysunku

Szukamy prostej malejącej przecinającej oś \(y\) w \(-\frac{5}{3}\) oraz prostej rosnącej przecinającej tę oś w \(2\). Takie proste przedstawia rysunek A.

\[b_1=-\frac{5}{3},\quad a_1=-\frac{1}{3};\qquad b_2=2,\quad a_2=\frac{3}{2}\]

Odpowiedź

Rysunek A.

\[\boxed{\mathrm{A}}\]

Sprawdzenie

Proste na rysunku A przecinają się w punkcie \((-2,-1)\). Podstawienie tego punktu spełnia oba równania.

\[-2+3(-1)=-5,\qquad 3(-2)-2(-1)=-4\]

Zadanie 8

Matura 2015 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność \(2(x-2)\leq 4(x-1)+1\) jest

\(-2\)

\(-1\)

\(0\)

\(1\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Uproszczenie nierówności

Usuwamy nawiasy i porządkujemy wyrazy, aby wyznaczyć zakres wartości \(x\).

\[2x-4\leq 4x-3\quad\Longleftrightarrow\quad -1\leq 2x\quad\Longleftrightarrow\quad x\geq -\frac{1}{2}\]

2 Wybór liczby całkowitej

Najmniejszą liczbą całkowitą nie mniejszą od \(-\frac{1}{2}\) jest \(0\).

\[x=0\]

Odpowiedź

Odpowiedź C: \(0\).

\[0\]

Sprawdzenie

Dla \(x=0\) otrzymujemy \(-4\leq -3\), więc liczba spełnia nierówność. Poprzednia liczba całkowita, \(-1\), jej nie spełnia, ponieważ \(-6\nleq -7\).

\[2(0-2)=-4\leq -3=4(0-1)+1\]

Zadanie 9

Matura 2015 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Rozwiązaniem równania \(x^2(x+1)=x^2-8\) jest

\(-9\)

\(-2\)

\(2\)

\(7\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Uproszczenie równania

Odejmujemy \(x^2\) od obu stron, aby wyznaczyć sześcian niewiadomej.

\[x^2(x+1)=x^2-8\iff x^3+x^2=x^2-8\iff x^3=-8\]

2 Wyznaczenie niewiadomej

Liczba, której sześcian wynosi \(-8\), to \(-2\).

\[x=\sqrt[3]{-8}=-2\]

Odpowiedź

Rozwiązaniem jest \(-2\), czyli odpowiedź B.

\[x=-2\]

Sprawdzenie

Dla \(x=-2\) obie strony pierwotnego równania są równe \(-4\).

\[(-2)^2(-2+1)=-4=(-2)^2-8\]

Zadanie 10

Matura 2015 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{2x-8}{x}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq 0\). Wówczas wartość funkcji \(f(\sqrt{2})\) jest równa

\(2-4\sqrt{2}\)

\(1-2\sqrt{2}\)

\(1+2\sqrt{2}\)

\(2+4\sqrt{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie argumentu

Ponieważ \(\sqrt{2}\neq 0\), możemy obliczyć wartość funkcji z podanego wzoru.

\[f(\sqrt{2})=\frac{2\sqrt{2}-8}{\sqrt{2}}=2-\frac{8}{\sqrt{2}}\]

2 Usunięcie niewymierności z mianownika

Mnożymy licznik i mianownik ułamka przez \(\sqrt{2}\), aby porównać wynik z odpowiedziami.

\[2-\frac{8}{\sqrt{2}}=2-\frac{8\sqrt{2}}{2}=2-4\sqrt{2}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[f(\sqrt{2})=2-4\sqrt{2}\]

Sprawdzenie

Argument spełnia warunek dziedziny. Po wstawieniu wyniku do wyrażenia z podstawienia otrzymujemy tę samą wartość.

\[\sqrt{2}\neq 0,\qquad \frac{2\sqrt{2}-8}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}(2-4\sqrt{2})}{\sqrt{2}}=2-4\sqrt{2}\]

Zadanie 11

Matura 2015 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Parabola o wierzchołku \(W=(-3,5)\) i ramionach skierowanych w dół może być wykresem funkcji określonej wzorem

\(y=2\cdot(x+3)^2+5\)

\(y=-2\cdot(x-3)^2+5\)

\(y=-2\cdot(x+3)^2+5\)

\(y=-2\cdot(x-3)^2-5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz postać wierzchołkową

W postaci wierzchołkowej \(y=a(x-p)^2+q\) wierzchołek ma współrzędne \((p,q)\). Dla \(W=(-3,5)\) otrzymujemy:

\[y=a(x+3)^2+5\]

2 Ustal znak współczynnika

Ramiona paraboli są skierowane w dół, gdy \(a<0\). Spośród podanych wzorów oba warunki spełnia odpowiedź C.

\[y=-2(x+3)^2+5\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[y=-2(x+3)^2+5\]

Sprawdzenie

Dla \(x=-3\) wartość funkcji wynosi \(5\), więc wierzchołek ma wskazane współrzędne. Ponieważ \(-2<0\), ramiona są skierowane w dół.

\[-2(-3+3)^2+5=5\]

Zadanie 12

Matura 2015 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Wykres funkcji liniowej \(y=2x-3\) przecina oś \(Oy\) w punkcie o współrzędnych

\((0,-3)\)

\((-3,0)\)

\((0,2)\)

\((0,3)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie współrzędnych punktu

Każdy punkt osi \(Oy\) ma pierwszą współrzędną równą zeru. Podstawiamy więc \(x=0\) do wzoru funkcji.

\[x=0,\qquad y=2\cdot 0-3=-3\]

Odpowiedź

Punkt przecięcia to \((0,-3)\), czyli odpowiedź A.

\[(0,-3)\]

Sprawdzenie

Punkt ma pierwszą współrzędną równą zeru, więc leży na osi \(Oy\). Po podstawieniu jej do wzoru funkcji otrzymujemy drugą współrzędną równą \(-3\).

\[2\cdot 0-3=-3\]

Zadanie 13

Matura 2015 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(y=f(x)\) ma współrzędne \((2,2)\). Wówczas wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji \(g(x)=f(x+2)\) ma współrzędne

\((4,2)\)

\((0,2)\)

\((2,0)\)

\((2,4)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz funkcję w postaci kanonicznej

Współrzędne wierzchołka pozwalają zapisać funkcję kwadratową w postaci kanonicznej, gdzie \(a\neq 0\).

\[f(x)=a(x-2)^2+2\]

2 Wyznacz wierzchołek nowej paraboli

Podstawiamy \(x+2\) w miejsce argumentu funkcji i odczytujemy wierzchołek z otrzymanej postaci.

\[g(x)=f(x+2)=a((x+2)-2)^2+2=ax^2+2\]

Odpowiedź

Wierzchołek ma współrzędne \((0,2)\). Odpowiedź B.

\[(0,2)\]

Sprawdzenie

Ponieważ \(g(0)=f(2)=2\), a wyraz kwadratowy \(ax^2\) ma oś symetrii \(x=0\), otrzymany punkt jest wierzchołkiem.

\[g(0)=a\cdot 0^2+2=2\]

Zadanie 14

Matura 2015 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Wszystkie dwucyfrowe liczby naturalne podzielne przez 7 tworzą rosnący ciąg arytmetyczny. Dwunastym wyrazem tego ciągu jest liczba

\(77\)

\(84\)

\(91\)

\(98\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie początku ciągu

Najmniejszą dwucyfrową liczbą podzielną przez 7 jest 14. Kolejne wyrazy różnią się o 7.

\[a_1=14,\quad r=7\]

2 Obliczenie dwunastego wyrazu

Korzystamy ze wzoru na wyraz ciągu arytmetycznego.

\[a_{12}=a_1+11r=14+11\cdot7=91\]

Odpowiedź

Dwunastym wyrazem jest 91 — odpowiedź C.

\[a_{12}=91\]

Sprawdzenie

Liczba 91 jest dwucyfrowa i podzielna przez 7. Od 14 do 91 włącznie jest 12 wielokrotności liczby 7.

\[91=13\cdot7,\quad 13-2+1=12\]

Zadanie 15

Matura 2015 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg liczbowy określony jest wzorem \(a_n=\frac{2^n-1}{2^n+1}\), dla \(n\geq 1\). Piąty wyraz tego ciągu jest równy

\(-1\)

\(\frac{31}{33}\)

\(\frac{9}{11}\)

\(1\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie numeru wyrazu

Piąty wyraz obliczamy, podstawiając \(n=5\) do wzoru ciągu.

\[a_5=\frac{2^5-1}{2^5+1}\]

2 Obliczenie wartości

Ponieważ \(2^5=32\), obliczamy licznik i mianownik.

\[a_5=\frac{32-1}{32+1}=\frac{31}{33}\]

Odpowiedź

Piąty wyraz wynosi \(\frac{31}{33}\). Odpowiedź B.

\[a_5=\frac{31}{33}\]

Sprawdzenie

Dla \(n=5\) mianownik wynosi \(33\), więc jest różny od zera. Licznik \(31\) jest od niego o \(2\) mniejszy, zgodnie ze wzorem.

\[(2^5+1)-(2^5-1)=33-31=2\]

Zadanie 16

Matura 2015 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Sinus kąta ostrego \(\alpha\) jest równy \(\frac{3}{4}\). Wówczas

\(\cos\alpha=\frac{1}{4}\)

\(\cos\alpha=\frac{\sqrt{7}}{4}\)

\(\cos\alpha=\frac{7}{16}\)

\(\cos\alpha=\frac{\sqrt{13}}{16}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie jedynki trygonometrycznej

Ponieważ suma kwadratów sinusa i cosinusa wynosi 1, obliczamy kwadrat cosinusa.

\[\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-\left(\frac{3}{4}\right)^2=\frac{7}{16}\]

2 Wybór znaku

Kąt \(\alpha\) jest ostry, więc jego cosinus jest dodatni.

\[\cos\alpha=\sqrt{\frac{7}{16}}=\frac{\sqrt{7}}{4}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[\cos\alpha=\frac{\sqrt{7}}{4}\]

Sprawdzenie

Otrzymane wartości spełniają jedynkę trygonometryczną, a cosinus jest dodatni, zgodnie z warunkiem, że kąt jest ostry.

\[\left(\frac{3}{4}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{7}}{4}\right)^2=\frac{9}{16}+\frac{7}{16}=1\]

Zadanie 17

Matura 2015 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

W trójkącie prostokątnym o długościach przyprostokątnych \(2\) i \(5\) cosinus większego z kątów ostrych jest równy

\(\frac{5}{2}\)

\(\frac{2}{5}\)

\(\frac{2}{\sqrt{29}}\)

\(\frac{5}{\sqrt{29}}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie przeciwprostokątnej

Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość przeciwprostokątnej.

\[c=\sqrt{2^2+5^2}=\sqrt{29}\]

2 Cosinus większego kąta

Większy kąt ostry leży naprzeciw dłuższej przyprostokątnej, czyli boku 5. Jego przyprostokątna przyległa ma długość 2, więc dzielimy ją przez przeciwprostokątną.

\[\cos\alpha=\frac{2}{\sqrt{29}}\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[\frac{2}{\sqrt{29}}\]

Sprawdzenie

Bok 5 jest dłuższy od boku 2, więc kąt naprzeciw niego jest większy. Otrzymany cosinus jest mniejszy od 1, a jego licznik to długość boku przyległego do tego kąta.

\[0<\frac{2}{\sqrt{29}}<1\]

Zadanie 18

Matura 2015 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Pole rombu o boku \(6\) i kącie rozwartym \(150^\circ\) jest równe

\(18\sqrt{2}\)

\(18\)

\(36\sqrt{2}\)

\(36\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie wysokości

Wysokość rombu opuszczona na bok długości 6 jest przyprostokątną w trójkącie prostokątnym, więc korzystamy z sinusa kąta 150°.

\[h=6\sin150^\circ=6\cdot\frac12=3\]

2 Obliczenie pola

Pole rombu jest iloczynem długości boku i odpowiadającej mu wysokości.

\[P=6\cdot3=18\]

Odpowiedź

Pole rombu wynosi 18. Odpowiedź B.

\[P=18\]

Sprawdzenie

Kąt ostry rombu ma 30°, a jego sinus także wynosi 1/2. Daje to tę samą wysokość 3 i pole 18.

\[180^\circ-150^\circ=30^\circ,\quad 6\cdot6\sin30^\circ=36\cdot\frac12=18\]

Zadanie 19

Matura 2015 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

W okręgu o środku \(O\) dany jest kąt o mierze \(50^\circ\), zaznaczony na rysunku.

Miara kąta oznaczonego na rysunku literą \(\alpha\) jest równa

Okrąg o środku O z cięciwami, zaznaczonym kątem 50° i kątem α.

\(40^\circ\)

\(50^\circ\)

\(20^\circ\)

\(25^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Kąt oparty na średnicy

Oznaczmy punkty na okręgu: lewy przez A, górny przez B, prawy przez C, dolny przez D. Odcinek AC przechodzi przez środek O, więc jest średnicą. Kąt wpisany ABC oparty na średnicy jest prosty.

\[\angle ABC=90^\circ\]

2 Obliczenie kąta przy A

Suma kątów w trójkącie ABC wynosi 180°, a zaznaczony kąt przy C ma 50°.

\[\angle BAC=180^\circ-90^\circ-50^\circ=40^\circ\]

3 Wyznaczenie kąta α

Kąty BAC i BDC są wpisane oraz oparte na tym samym łuku BC, więc mają równe miary.

\[\alpha=\angle BDC=\angle BAC=40^\circ\]

Odpowiedź

A. Miara kąta α wynosi 40°.

\[\alpha=40^\circ\]

Sprawdzenie

Kąty przy A i D opierają się na tym samym łuku BC, zatem obliczona miara 40° pasuje także do kąta α.

\[\angle BAC=\angle BDC=40^\circ\]

Zadanie 20

Matura 2015 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Współczynnik kierunkowy prostej, na której leżą punkty \(A=(-4,3)\) oraz \(B=(8,7)\), jest równy

\(a=3\)

\(a=-1\)

\(a=\frac{5}{6}\)

\(a=\frac{1}{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie współczynnika kierunkowego

Dla dwóch punktów o różnych współrzędnych x współczynnik kierunkowy jest ilorazem różnicy współrzędnych y i różnicy współrzędnych x. Ponieważ 8−(−4)=12≠0, możemy zastosować ten wzór.

\[a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{7-3}{8-(-4)}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}\]

Odpowiedź

Współczynnik kierunkowy wynosi 1/3. Odpowiedź D.

\[a=\frac{1}{3}\]

Sprawdzenie

Przy wzroście x o 12 wartość y wzrasta o 4, więc nachylenie wynosi 4/12=1/3.

\[\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}\]

Zadanie 21

Matura 2015 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Punkt \(S=(2,-5)\) jest środkiem odcinka \(AB\), gdzie \(A=(-4,3)\) i \(B=(8,b)\). Wtedy

\(b=-13\)

\(b=-2\)

\(b=-1\)

\(b=6\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wzór na środek odcinka

Współrzędna pionowa środka jest średnią współrzędnych pionowych końców odcinka, więc układamy równanie dla b.

\[\frac{3+b}{2}=-5\]

2 Obliczenie b

Mnożymy obie strony przez 2 i odejmujemy 3.

\[3+b=-10\quad\Rightarrow\quad b=-13\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: b = −13.

\[b=-13\]

Sprawdzenie

Dla b = −13 średnie obu par współrzędnych wynoszą odpowiednio 2 i −5, więc otrzymujemy punkt S.

\[\left(\frac{-4+8}{2},\frac{3+(-13)}{2}\right)=(2,-5)\]