Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

1048 zadańStrona 68 z 70

Sortuj:

Zadanie 26

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

Rozwiąż nierówność \(3x^2-9x\leq x-3\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przenieś wyrazy na jedną stronę

Aby wyznaczyć miejsca zerowe i zbadać znak wyrażenia, zapisujemy nierówność z zerem po prawej stronie.

\[3x^2-9x\leq x-3\iff 3x^2-10x+3\leq 0\]

2 Rozłóż trójmian na czynniki

Postać iloczynowa pozwala odczytać miejsca zerowe.

\[3x^2-10x+3=(3x-1)(x-3),\qquad x=\frac13\ \text{lub}\ x=3\]

3 Wyznacz przedział rozwiązań

Iloczyn jest niedodatni między miejscami zerowymi; równość zachodzi także na końcach przedziału.

\[(3x-1)(x-3)\leq 0\iff \frac13\leq x\leq 3\]

Odpowiedź

Zbiorem rozwiązań jest przedział domknięty od jednej trzeciej do trzech.

\[x\in\left[\frac13,3\right]\]

Sprawdzenie

Dla x = 1 iloczyn ma wartość −4, więc nierówność zachodzi. Dla x = 0 ma wartość 3, więc nierówność nie zachodzi poza wskazanym przedziałem. Na obu końcach iloczyn jest równy zeru.

\[(3\cdot1-1)(1-3)=-4\leq0,\qquad(3\cdot0-1)(0-3)=3>0\]

Zadanie 27

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

Rozwiąż równanie \(x(x^2-2x+3)=0\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz drugi czynnik jako sumę kwadratu i liczby dodatniej

Kwadrat jest nieujemny, więc drugi czynnik jest dodatni dla każdej liczby rzeczywistej.

\[x^2-2x+3=(x-1)^2+2>0\]

2 Wyznacz rozwiązanie

Iloczyn może być równy zeru tylko wtedy, gdy pierwszy czynnik jest zerem.

\[x\big((x-1)^2+2\big)=0\iff x=0\]

Odpowiedź

Jedynym rozwiązaniem rzeczywistym jest \(x=0\).

\[x=0\]

Sprawdzenie

Dla \(x=0\) lewa strona wynosi \(0\). Drugi czynnik jest zawsze dodatni, więc innych rozwiązań rzeczywistych nie ma.

\[0\cdot(0^2-2\cdot0+3)=0\]

Zadanie 28

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

Czworokąt \(ABCD\) wpisano w okrąg tak, że bok \(AB\) jest średnicą tego okręgu (zobacz rysunek). Udowodnij, że \(|AD|^2+|BD|^2=|BC|^2+|AC|^2\).

Czworokąt ABCD wpisany w okrąg; AB jest średnicą, O oznacza środek okręgu, a przekątne AC i BD narysowano liniami przerywanymi.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Trójkąt ABD

Kąt ADB jest prosty, ponieważ opiera się na średnicy AB. Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy:

\[|AD|^2+|BD|^2=|AB|^2\]

2 Trójkąt ABC

Kąt ACB również opiera się na średnicy AB, więc jest prosty. Stosujemy twierdzenie Pitagorasa:

\[|BC|^2+|AC|^2=|AB|^2\]

Odpowiedź

Obie sumy są równe kwadratowi długości tej samej średnicy, zatem zachodzi żądana równość.

\[|AD|^2+|BD|^2=|BC|^2+|AC|^2\]

Sprawdzenie

W obu trójkątach bok AB leży naprzeciw kąta prostego, więc jest przeciwprostokątną. Twierdzenie Pitagorasa zostało zastosowane do właściwych boków.

\[|AD|^2+|BD|^2=|AB|^2=|BC|^2+|AC|^2\]

Zadanie 29

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Wyrażenia algebraiczne

Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x\), \(y\) prawdziwa jest nierówność \(3x^2+5y^2-4xy\geq 0\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przedstawienie jako sumy kwadratów

Uzupełniamy wyrażenie do kwadratu, aby móc skorzystać z nieujemności kwadratów liczb rzeczywistych.

\[3x^2+5y^2-4xy=(x-2y)^2+2x^2+y^2\]

2 Wykazanie nierówności

Każdy składnik otrzymanej sumy jest nieujemny dla liczb rzeczywistych, więc cała suma jest nieujemna.

\[(x-2y)^2+2x^2+y^2\geq 0\]

Odpowiedź

Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich liczb rzeczywistych x i y. Równość zachodzi tylko dla x=y=0.

\[3x^2+5y^2-4xy\geq 0\]

Sprawdzenie

Po rozwinięciu kwadratu otrzymujemy wyjściowe wyrażenie. Suma jest równa zeru tylko wtedy, gdy x=0 i y=0; po podstawieniu rzeczywiście otrzymujemy 0.

\[(x-2y)^2+2x^2+y^2=x^2-4xy+4y^2+2x^2+y^2=3x^2+5y^2-4xy\]

Zadanie 30

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Funkcje

Funkcja kwadratowa, \(f\) dla \(x=-3\) przyjmuje wartość największą równą \(4\). Do wykresu funkcji \(f\) należy punkt \(A=(-1,3)\). Zapisz wzór funkcji kwadratowej \(f\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Postać kanoniczna

Wartość największa 4 jest osiągana dla x=-3, więc wierzchołek paraboli ma współrzędne (-3,4).

\[f(x)=a(x+3)^2+4,\quad a<0\]

2 Wyznaczenie współczynnika

Podstawiamy współrzędne punktu A=(-1,3), który należy do wykresu.

\[3=a(-1+3)^2+4=4a+4,\quad a=-\frac14\]

Odpowiedź

Wzór funkcji to f(x)=-¼(x+3)²+4.

\[f(x)=-\frac14(x+3)^2+4\]

Sprawdzenie

Współczynnik przy kwadracie jest ujemny, więc funkcja osiąga maksimum 4 dla x=-3. Ponadto dla x=-1 przyjmuje wartość 3.

\[f(-3)=4,\qquad f(-1)=-\frac14\cdot 2^2+4=3\]

Zadanie 31

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych losowo wybieramy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że otrzymamy liczbę podzielną przez \(8\) lub liczbę podzielną przez \(12\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba możliwych wyników

Każda liczba dwucyfrowa od 10 do 99 ma jednakową szansę wyboru.

\[99-10+1=90\]

2 Liczby spełniające warunek

Liczymy wielokrotności 8 i 12, odejmując liczby policzone dwa razy. Są to wielokrotności najmniejszej wspólnej wielokrotności 8 i 12, czyli 24.

\[\left(\left\lfloor\frac{99}{8}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{9}{8}\right\rfloor\right)+\left(\left\lfloor\frac{99}{12}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{9}{12}\right\rfloor\right)-\left(\left\lfloor\frac{99}{24}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{9}{24}\right\rfloor\right)=11+8-4=15\]

3 Obliczenie prawdopodobieństwa

Dzielimy liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich możliwych wyników.

\[P(A)=\frac{15}{90}=\frac{1}{6}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi \(\frac{1}{6}\).

\[P(A)=\frac{1}{6}\]

Sprawdzenie

Wspólne wielokrotności dwucyfrowe to 24, 48, 72 i 96 — dokładnie cztery. Po ich jednokrotnym odjęciu otrzymujemy 15 różnych liczb sprzyjających; \(90\cdot\frac{1}{6}=15\).

\[11+8-4=15=90\cdot\frac{1}{6}\]

Zadanie 32

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Ciągi

Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny \((a_n)\), dla \(n\geq 1\) taki, że \(a_5=18\). Wyrazy \(a_1\), \(a_3\) oraz \(a_{13}\) tego ciągu są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem pewnego ciągu geometrycznego. Wyznacz wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu \((a_n)\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie wyrazów przez różnicę

W ciągu arytmetycznym każdy kolejny wyraz jest większy o stałą różnicę \(r>0\). Korzystając z \(a_5=18\), zapisujemy wyrazy występujące w warunku zadania.

\[a_1=18-4r,\quad a_3=18-2r,\quad a_{13}=18+8r\]

2 Wykorzystanie warunku ciągu geometrycznego

Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego kwadrat środkowego jest iloczynem skrajnych. Po podstawieniu otrzymujemy równanie dla \(r\).

\[(18-2r)^2=(18-4r)(18+8r)\quad\Longrightarrow\quad 36r(r-4)=0\]

3 Wyznaczenie wzoru ciągu

Ciąg jest rosnący, więc \(r>0\); stąd \(r=4\). Obliczamy pierwszy wyraz i stosujemy wzór ciągu arytmetycznego.

\[a_1=18-4\cdot4=2,\qquad a_n=a_1+(n-1)r=2+4(n-1)=4n-2\]

Odpowiedź

Wzór na n-ty wyraz ciągu to \(a_n=4n-2\) dla \(n\geq1\).

\[a_n=4n-2\quad(n\geq1)\]

Sprawdzenie

Ze wzoru otrzymujemy \(a_5=18\), a wyrazy \(a_1=2\), \(a_3=10\), \(a_{13}=50\) tworzą ciąg geometryczny o ilorazie 5. Różnica ciągu arytmetycznego wynosi 4, więc ciąg jest rosnący.

\[a_5=4\cdot5-2=18,\qquad \frac{a_3}{a_1}=\frac{10}{2}=5=\frac{50}{10}=\frac{a_{13}}{a_3},\qquad a_{n+1}-a_n=4>0\]

Zadanie 33

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Ponadto wiadomo, że \(A=(-2,4)\) i \(B=(6,-2)\). Wierzchołek \(C\) należy do osi \(Oy\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie współrzędnych C

Ponieważ C leży na osi Oy, jego pierwsza współrzędna jest równa zero.

\[C=(0,y)\]

2 Porównanie długości ramion

Korzystamy ze wzoru na odległość punktów i warunku równości ramion. Porównanie kwadratów długości pozwala uniknąć pierwiastków.

\[|AC|^2=|BC|^2\quad\Longleftrightarrow\quad (0+2)^2+(y-4)^2=(0-6)^2+(y+2)^2\]

3 Obliczenie współrzędnej y

Rozwijamy kwadraty i rozwiązujemy otrzymane równanie liniowe.

\[4+y^2-8y+16=36+y^2+4y+4\quad\Longleftrightarrow\quad -12y=20\quad\Longleftrightarrow\quad y=-\frac{5}{3}\]

Odpowiedź

Wierzchołek C ma współrzędne \(\left(0,-\frac{5}{3}\right)\).

\[C=\left(0,-\frac{5}{3}\right)\]

Sprawdzenie

Pierwsza współrzędna C wynosi zero, więc punkt leży na osi Oy. Kwadraty długości AC i BC są równe.

\[|AC|^2=4+\left(-\frac{5}{3}-4\right)^2=\frac{325}{9},\qquad |BC|^2=36+\left(-\frac{5}{3}+2\right)^2=\frac{325}{9}\]

Zadanie 34

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Stereometria

Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego \(ABCS\) jest równa \(27\sqrt{3}\). Długość krawędzi \(AB\) podstawy ostrosłupa jest równa \(6\) (zobacz rysunek). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

Ostrosłup trójkątny ABCS z zaznaczonym środkiem podstawy O i wysokością SO.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Pole podstawy

Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest trójkąt równoboczny o boku 6.

\[P_p=\frac{6^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}\]

2 Wysokość ostrosłupa

Z wzoru na objętość wyznaczamy wysokość SO.

\[27\sqrt{3}=\frac{1}{3}\cdot9\sqrt{3}\cdot SO\quad\Rightarrow\quad SO=9\]

3 Wysokość ściany bocznej

Odległość środka podstawy O od boku AB wynosi jedną trzecią wysokości trójkąta równobocznego. Wysokość ściany bocznej obliczamy z twierdzenia Pitagorasa.

\[r=\frac{1}{3}\cdot\frac{6\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3},\qquad h_b=\sqrt{SO^2+r^2}=\sqrt{81+3}=2\sqrt{21}\]

4 Pole całkowite

Trzy jednakowe ściany boczne są trójkątami o podstawie 6 i wysokości \(h_b\). Dodajemy ich pola do pola podstawy.

\[P_c=P_p+3\cdot\frac{6h_b}{2}=9\sqrt{3}+3\cdot6\sqrt{21}=9\sqrt{3}+18\sqrt{21}\]

Odpowiedź

Pole powierzchni całkowitej wynosi \(9\sqrt{3}+18\sqrt{21}\) jednostek kwadratowych.

\[P_c=9\sqrt{3}+18\sqrt{21}\]

Sprawdzenie

Pole podstawy i obliczona wysokość dają objętość \(27\sqrt{3}\), zgodną z treścią zadania.

\[V=\frac{1}{3}\cdot9\sqrt{3}\cdot9=27\sqrt{3}\]

Zadanie 1

Matura 2015 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Jeśli \(a=\frac{3}{2}\) i \(b=2\), to wartość wyrażenia \(\frac{a\cdot b}{a+b}\) jest równa

\(\frac{2}{3}\)

\(1\)

\(\frac{6}{7}\)

\(\frac{27}{6}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie licznika i mianownika

Podstawiamy podane wartości, aby obliczyć obie części ułamka.

\[a\cdot b=\frac{3}{2}\cdot2=3,\qquad a+b=\frac{3}{2}+2=\frac{7}{2}\]

2 Obliczenie wartości wyrażenia

Dzielimy licznik przez niezerowy mianownik, mnożąc przez odwrotność.

\[\frac{a\cdot b}{a+b}=\frac{3}{\frac{7}{2}}=3\cdot\frac{2}{7}=\frac{6}{7}\]

Odpowiedź

Wynik to \(\frac{6}{7}\), czyli odpowiedź C.

\[\frac{6}{7}\]

Sprawdzenie

Mianownik jest różny od zera. Kontrola: iloczyn wyniku i mianownika daje obliczony licznik.

\[a+b=\frac{7}{2}\ne0,\qquad \frac{6}{7}\cdot\frac{7}{2}=3=a\cdot b\]

Zadanie 2

Matura 2015 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Dany jest prostokąt o wymiarach \(40\,\mathrm{cm}\times100\,\mathrm{cm}\). Jeżeli każdy z dłuższych boków tego prostokąta wydłużymy o \(20\%\), a każdy z krótszych boków skrócimy o \(20\%\), to w wyniku obu przekształceń pole tego prostokąta

zwiększy się o \(8\%\).

zwiększy się o \(4\%\).

zmniejszy się o \(8\%\).

zmniejszy się o \(4\%\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Nowe wymiary

Wydłużenie o 20% oznacza pomnożenie długości przez 1,2, a skrócenie o 20% — przez 0,8.

\[100\cdot1{,}2=120\,\mathrm{cm},\qquad40\cdot0{,}8=32\,\mathrm{cm}\]

2 Porównanie pól

Obliczamy oba pola i odnosimy ich różnicę do pola początkowego.

\[P_0=40\cdot100=4000\,\mathrm{cm}^2,\quad P_1=120\cdot32=3840\,\mathrm{cm}^2,\quad\frac{P_0-P_1}{P_0}=\frac{160}{4000}=4\%\]

Odpowiedź

Pole zmniejszy się o 4%. Odpowiedź D.

\[P_1=96\%P_0\]

Sprawdzenie

Iloczyn zmian długości boków wynosi 0,96, więc nowe pole stanowi 96% początkowego, zgodnie z obliczeniem.

\[1{,}2\cdot0{,}8=0{,}96=1-0{,}04\]

Zadanie 3

Matura 2015 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(\frac{9^5\cdot5^9}{45^5}\) jest równa

\(45^{40}\)

\(45^9\)

\(9^4\)

\(5^4\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozłóż mianownik

Ponieważ \(45=9\cdot5\), stosujemy wzór na potęgę iloczynu.

\[45^5=(9\cdot5)^5=9^5\cdot5^5\]

2 Skróć ułamek

Skracamy jednakowe potęgi, a przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie odejmujemy wykładniki.

\[\frac{9^5\cdot5^9}{9^5\cdot5^5}=5^{9-5}=5^4\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: \(5^4\).

\[5^4\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu \(45^5=9^5\cdot5^5\) do wyrażenia początkowego otrzymujemy \(5^4=625\).

\[\frac{9^5\cdot5^9}{45^5}=\frac{9^5\cdot5^9}{9^5\cdot5^5}=5^4=625\]

Zadanie 4

Matura 2015 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(\sqrt{\frac{9}{7}}+\sqrt{\frac{7}{9}}\) jest równa

\(\sqrt{\frac{16}{63}}\)

\(\frac{16}{3\sqrt{7}}\)

\(1\)

\(\frac{3+\sqrt{7}}{3\sqrt{7}}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Uproszczenie pierwiastków

Pierwiastki z ilorazów liczb dodatnich zapisujemy jako ilorazy pierwiastków.

\[\sqrt{\frac{9}{7}}=\frac{3}{\sqrt{7}},\qquad \sqrt{\frac{7}{9}}=\frac{\sqrt{7}}{3}\]

2 Dodanie ułamków

Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika \(3\sqrt{7}\).

\[\frac{3}{\sqrt{7}}+\frac{\sqrt{7}}{3}=\frac{9}{3\sqrt{7}}+\frac{7}{3\sqrt{7}}=\frac{16}{3\sqrt{7}}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[\frac{16}{3\sqrt{7}}\]

Sprawdzenie

Po rozdzieleniu otrzymanego ułamka na składniki wracamy do liczby z treści zadania.

\[\frac{16}{3\sqrt{7}}=\frac{9}{3\sqrt{7}}+\frac{7}{3\sqrt{7}}=\sqrt{\frac{9}{7}}+\sqrt{\frac{7}{9}}\]

Zadanie 5

Matura 2015 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Wartość wyrażenia \(\log_5 0{,}04-\frac{1}{2}\log_{25}5\cdot\log_{25}1\) jest równa

\(-3\)

\(-2\frac{1}{4}\)

\(-2\)

\(0\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie pierwszego logarytmu

Zapisujemy liczbę 0,04 jako potęgę 5, aby skorzystać z definicji logarytmu.

\[0{,}04=\frac{1}{25}=5^{-2},\qquad \log_5 0{,}04=-2\]

2 Obliczenie wartości wyrażenia

Ponieważ każda dodatnia podstawa podniesiona do potęgi zerowej daje 1, drugi składnik jest równy zeru.

\[\log_{25}1=0,\qquad -2-\frac12\log_{25}5\cdot 0=-2\]

Odpowiedź

Odpowiedź C: −2.

\[-2\]

Sprawdzenie

Rzeczywiście 5 do potęgi −2 daje 0,04, a 25 do potęgi 0 daje 1. Podstawy logarytmów są dodatnie i różne od 1, więc wynik spełnia warunki.

\[5^{-2}=0{,}04,\qquad 25^0=1\]

Zadanie 6

Matura 2015 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Wyrażenia algebraiczne

Wartość wyrażenia \((a+5)^2\) jest większa od wartości wyrażenia \((a^2+10a)\) o

\(50\)

\(10\)

\(5\)

\(25\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie różnicy

Aby ustalić, o ile pierwsze wyrażenie jest większe, odejmujemy od niego drugie. Korzystamy ze wzoru na kwadrat sumy.

\[(a+5)^2-(a^2+10a)=a^2+10a+25-a^2-10a=25\]

Odpowiedź

Wartość pierwszego wyrażenia jest większa o 25. Odpowiedź D.

\[25\]

Sprawdzenie

Dla a=0 pierwsze wyrażenie ma wartość 25, a drugie 0, więc różnica wynosi 25. Przekształcenie pokazuje, że ta różnica jest taka sama dla każdego a.

\[(0+5)^2-(0^2+10\cdot 0)=25\]