Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

Filtry zadań

Znajdź zadanie

Więcej filtrów
Wyczyść filtry
1468 zadańStrona 68 z 98
Zadanie 16
Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Planimetria

Na okręgu o środku w punkcie \(O\) leżą punkty \(A\), \(B\) oraz \(C\). Odcinek \(AC\) jest średnicą tego okręgu, a kąt środkowy \(AOB\) ma miarę \(82^\circ\) (zobacz rysunek).

Miara kąta \(OBC\) jest równa

Okrąg o środku O z punktami A, B i C, średnicą AC, odcinkami OB i BC oraz kątem AOB oznaczonym 82°.

A
\(41^\circ\)
B
\(45^\circ\)
C
\(49^\circ\)
D
\(51^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie kąta BOC

Punkty A, O i C leżą na jednej prostej, ponieważ AC jest średnicą. Kąty AOB i BOC tworzą więc kąt półpełny.

\[\angle BOC=180^\circ-82^\circ=98^\circ\]

2 Obliczenie kąta OBC

OB i OC są promieniami okręgu, więc trójkąt OBC jest równoramienny. Jego kąty przy podstawie są równe.

\[\angle OBC=\frac{180^\circ-98^\circ}{2}=41^\circ\]

Odpowiedź

Miara kąta OBC wynosi 41°, odpowiedź A.

\[\angle OBC=41^\circ\]

Sprawdzenie

Suma kątów trójkąta OBC wynosi 180°.

\[41^\circ+41^\circ+98^\circ=180^\circ\]
Zadanie 17
Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Planimetria

Dane są okrąg i prosta styczna do tego okręgu w punkcie \(A\). Punkty \(B\) i \(C\) są położone na okręgu tak, że \(BC\) jest jego średnicą. Cięciwa \(AB\) tworzy ze styczną kąt o mierze \(40^\circ\) (zobacz rysunek).

Miara kąta \(ABC\) jest równa

Okrąg z punktami A, B i C, średnicą BC oraz styczną w punkcie A. Kąt między cięciwą AB a styczną oznaczono jako 40°.

A
\(20^\circ\)
B
\(40^\circ\)
C
\(45^\circ\)
D
\(50^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Kąt między styczną a cięciwą

Z twierdzenia o kącie między styczną a cięciwą wynika, że jest on równy kątowi wpisanemu opartemu na tej samej cięciwie.

\[\angle ACB=40^\circ\]

2 Kąt oparty na średnicy

Kąt wpisany oparty na średnicy BC jest prosty.

\[\angle BAC=90^\circ\]

3 Obliczenie szukanego kąta

Suma kątów w trójkącie ABC wynosi 180°.

\[\angle ABC=180^\circ-90^\circ-40^\circ=50^\circ\]

Odpowiedź

Miara kąta ABC wynosi 50°. Odpowiedź D.

\[\angle ABC=50^\circ\]

Sprawdzenie

Obliczone kąty trójkąta ABC sumują się do 180°.

\[40^\circ+90^\circ+50^\circ=180^\circ\]
Zadanie 18
Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Planimetria

Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\) o bokach \(|AC|=24\), \(|BC|=10\), \(|AB|=26\). Dwusieczne kątów tego trójkąta przecinają się w punkcie \(P\) (zobacz rysunek).

Odległość \(x\) punktu \(P\) od przeciwprostokątnej \(AB\) jest równa

Trójkąt prostokątny ABC z oznaczeniami boków BC = 10, CA = 24 i AB = 26. Dwusieczne kątów przecinają się w punkcie P; odległość punktu P od boku AB oznaczono x.

A
\(2\)
B
\(4\)
C
\(\frac{5}{2}\)
D
\(\frac{13}{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Pole i półobwód

Przyprostokątne mają długości 10 i 24, więc obliczamy pole trójkąta oraz jego półobwód.

\[S=\frac{10\cdot24}{2}=120,\qquad s=\frac{10+24+26}{2}=30\]

2 Odległość punktu P od boku

Punkt przecięcia dwusiecznych jest środkiem okręgu wpisanego, dlatego jego odległość od każdego boku wynosi x. Pole trójkąta jest równe iloczynowi półobwodu i tej odległości.

\[S=sx,\qquad 120=30x,\qquad x=4\]

Odpowiedź

Odległość wynosi 4. Odpowiedź B.

\[x=4\]

Sprawdzenie

Dla x = 4 wzór na pole daje 120, czyli tyle samo co wzór wykorzystujący przyprostokątne.

\[\frac{10+24+26}{2}\cdot4=120=\frac{10\cdot24}{2}\]
Zadanie 19
Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Planimetria

Jeden z boków równoległoboku ma długość równą \(5\). Przekątne tego równoległoboku mogą mieć długości

A
\(4\) i \(6\)
B
\(4\) i \(3\)
C
\(10\) i \(10\)
D
\(5\) i \(5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek na długości przekątnych

Przekątne równoległoboku dzielą się na połowy. Ich połówki oraz bok długości 5 tworzą trójkąt, więc suma długości połówek musi być większa od 5.

\[\frac{p}{2}+\frac{q}{2}>5,\quad\text{czyli}\quad p+q>10\]

2 Sprawdzenie odpowiedzi

W odpowiedziach A i D suma wynosi 10, a w B jest mniejsza od 10. Odpowiedź C spełnia warunek i jest możliwa: prostokąt o bokach 5 oraz \(5\sqrt{3}\) ma obie przekątne długości 10.

\[\sqrt{5^2+(5\sqrt{3})^2}=\sqrt{25+75}=10\]

Odpowiedź

C — przekątne mogą mieć długości 10 i 10.

\[p=q=10\]

Sprawdzenie

W skonstruowanym prostokącie jeden bok ma długość 5, a obie przekątne mają długość 10. Pozostałe pary odpadają, ponieważ ich sumy wynoszą odpowiednio 10, 7 i 10, więc nie spełniają ostrej nierówności trójkąta.

\[4+6=10,\quad 4+3=7,\quad 5+5=10\]
Zadanie 20
Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Planimetria

W pewnym trójkącie równoramiennym największy kąt ma miarę \(120^\circ\), a najdłuższy bok ma długość \(12\) (zobacz rysunek).

Najkrótsza wysokość tego trójkąta ma długość równą

Trójkąt równoramienny z kątem przy wierzchołku oznaczonym 120° i podstawą oznaczoną 12.

A
\(6\)
B
\(2\sqrt{3}\)
C
\(4\sqrt{3}\)
D
\(6\sqrt{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wybór wysokości

Pole trójkąta jest równe połowie iloczynu boku i opuszczonej na niego wysokości. Najkrótsza wysokość pada więc na najdłuższy bok, czyli podstawę długości 12.

\[P=\frac12 ah_a,\qquad h_a=\frac{2P}{a}\]

2 Podział trójkąta

W trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona z wierzchołka dzieli podstawę i kąt przy wierzchołku na połowy.

\[\frac{12}{2}=6,\qquad \frac{120^\circ}{2}=60^\circ\]

3 Obliczenie wysokości

W powstałym trójkącie prostokątnym korzystamy z tangensa kąta 60°.

\[\tan 60^\circ=\frac{6}{h}=\sqrt{3},\qquad h=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\]

Odpowiedź

Najkrótsza wysokość ma długość 2√3. Odpowiedź B.

\[h=2\sqrt{3}\quad\text{(B)}\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanej wysokości stosunek połowy podstawy do wysokości wynosi √3, czyli tangens kąta 60°. Obie połówki tworzą zatem kąt 120° przy wierzchołku.

\[\frac{6}{2\sqrt{3}}=\sqrt{3}=\tan 60^\circ\]
Zadanie 21
Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Prosta przechodząca przez punkty \((-4,-1)\) oraz \((5,5)\) ma równanie

A
\(y=x+3\)
B
\(y=\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}\)
C
\(y=x-3\)
D
\(y=\frac{2}{3}x+\frac{11}{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie współczynnika kierunkowego

Dla dwóch punktów dzielimy różnicę ich współrzędnych y przez różnicę współrzędnych x.

\[a=\frac{5-(-1)}{5-(-4)}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}\]

2 Wyznaczenie wyrazu wolnego

Podstawiamy punkt (5,5) do równania y=ax+b, aby obliczyć b.

\[5=\frac{2}{3}\cdot5+b,\quad b=5-\frac{10}{3}=\frac{5}{3}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[y=\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu obu podanych punktów otrzymujemy ich współrzędne y.

\[x=-4:\ \frac{2}{3}(-4)+\frac{5}{3}=-1;\qquad x=5:\ \frac{2}{3}\cdot5+\frac{5}{3}=5\]
Zadanie 22
Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Proste o równaniach \(y=-\frac{1}{m-2}x-1\) i \(y=\frac{1}{3}x+1\) są równoległe. Wynika stąd, że

A
\(m=\frac{5}{3}\)
B
\(m=-1\)
C
\(m=\frac{7}{3}\)
D
\(m=5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Porównanie współczynników kierunkowych

Proste są równoległe, więc mają równe współczynniki kierunkowe. Pierwsze równanie wymaga \(m\ne 2\).

\[-\frac{1}{m-2}=\frac{1}{3},\quad m\ne 2\]

2 Wyznaczenie parametru

Mnożymy równanie przez \(3(m-2)\) i rozwiązujemy je.

\[-3=m-2\quad\Rightarrow\quad m=-1\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: \(m=-1\).

\[m=-1\]

Sprawdzenie

Dla \(m=-1\) pierwszy współczynnik kierunkowy wynosi \(\frac13\), a warunek \(m\ne2\) jest spełniony. Wyrazy wolne są różne, więc są to dwie różne proste równoległe.

\[-\frac{1}{-1-2}=\frac13,\qquad -1\ne1\]
Zadanie 23
Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W prostokącie \(ABCD\) dane są wierzchołki \(C=(-3,1)\) oraz \(D=(2,1)\). Bok \(AD\) ma długość \(6\). Pole tego prostokąta jest równe

A
\(6\sqrt{29}\)
B
\(12\sqrt{2}\)
C
\(24\)
D
\(30\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Długość boku CD

Punkty C i D mają tę samą drugą współrzędną, więc długość poziomego boku jest różnicą ich pierwszych współrzędnych.

\[|CD|=|2-(-3)|=5\]

2 Pole prostokąta

Boki CD i AD są sąsiednimi bokami prostokąta, dlatego mnożymy ich długości.

\[P=|CD|\cdot|AD|=5\cdot6=30\]

Odpowiedź

Pole wynosi 30. Odpowiedź D.

\[P=30\]

Sprawdzenie

Sąsiednie boki mają długości 5 i 6, więc ich iloczyn wynosi 30, zgodnie z odpowiedzią D.

\[5\cdot6=30\]
Zadanie 24
Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Obrazem prostej o równaniu \(x-2y+3=0\) w symetrii osiowej względem osi \(Oy\) jest prosta o równaniu

A
\(-x+2y+3=0\)
B
\(-x+2y-3=0\)
C
\(x+2y-3=0\)
D
\(x+2y+3=0\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie symetrii

W symetrii względem osi \(Oy\) współrzędna \(x\) zmienia znak, a \(y\) pozostaje bez zmian. Podstawiamy więc \(-x\) za \(x\) w równaniu prostej.

\[-x-2y+3=0\quad\Longleftrightarrow\quad x+2y-3=0\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[x+2y-3=0\]

Sprawdzenie

Punkt \((-3,0)\) leży na danej prostej. Jego obraz \((3,0)\) spełnia otrzymane równanie, a zmiana znaku współrzędnej \(x\) jest dokładnie symetrią względem osi \(Oy\).

\[-3-2\cdot0+3=0,\qquad 3+2\cdot0-3=0\]
Zadanie 25
Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Stereometria

Graniastosłup prawidłowy ma \(36\) krawędzi. Długość każdej z tych krawędzi jest równa \(4\). Pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa jest równe

A
\(176\)
B
\(192\)
C
\(224\)
D
\(288\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba boków podstawy

Graniastosłup o podstawie n-kąta ma po n krawędzi w każdej podstawie oraz n krawędzi bocznych, więc łącznie 3n krawędzi.

\[3n=36\quad\Rightarrow\quad n=12\]

2 Pole powierzchni bocznej

Pole boczne jest iloczynem obwodu podstawy i wysokości. Wszystkie krawędzie mają długość 4, więc bok podstawy i wysokość są równe 4.

\[P_b=(12\cdot4)\cdot4=192\]

Odpowiedź

192, odpowiedź B.

\[P_b=192\]

Sprawdzenie

Dwanaście ścian bocznych to prostokąty o bokach 4 i 4. Ich łączne pole wynosi 12 · 16 = 192.

\[12\cdot(4\cdot4)=192\]
Zadanie 26
Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Stereometria

Wysokość ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego jest \(2\) razy dłuższa od krawędzi jego podstawy. Stosunek pola powierzchni bocznej tego ostrosłupa do pola jego podstawy jest równy

A
\(\frac{1}{2}\)
B
\(\frac{4\sqrt{3}}{3}\)
C
\(1\)
D
\(\frac{\sqrt{3}}{4}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Pole powierzchni bocznej

Oznaczamy krawędź podstawy przez \(a>0\). Każda z sześciu ścian bocznych jest trójkątem o podstawie \(a\) i wysokości \(2a\).

\[P_b=6\cdot\frac{a\cdot 2a}{2}=6a^2\]

2 Pole podstawy

Sześciokąt foremny składa się z sześciu trójkątów równobocznych o boku \(a\).

\[P_p=6\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2\]

3 Obliczenie stosunku

Dzielimy pola i skracamy przez \(a^2\), ponieważ \(a>0\).

\[\frac{P_b}{P_p}=\frac{6a^2}{\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2}=\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[\frac{4\sqrt{3}}{3}\]

Sprawdzenie

Dla a = 1 pola wynoszą odpowiednio 6 i 3√3/2, więc ich iloraz jest równy otrzymanemu wynikowi.

\[\frac{6}{3\sqrt{3}/2}=\frac{4\sqrt{3}}{3}\]
Zadanie 27
Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

W pudełku znajdują się płytki z literami. Na każdej płytce jest wydrukowana jedna litera – spółgłoskowa albo samogłoskowa. Płytek z literami spółgłoskowymi jest o \(25\%\) więcej niż płytek z literami samogłoskowymi. Losujemy jedną płytkę. Prawdopodobieństwo wylosowania płytki z literą samogłoskową jest równe

A
\(0{,}75\)
B
\(0{,}25\)
C
\(\frac{4}{9}\)
D
\(\frac{5}{9}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustalenie liczby płytek

Oznaczamy liczbę płytek z samogłoskami przez x. Spółgłosek jest o 25% więcej, więc ich liczba wynosi 1,25x.

\[S=x,\qquad P=1{,}25x=\frac{5}{4}x\]

2 Obliczenie prawdopodobieństwa

Dzielimy liczbę płytek z samogłoskami przez liczbę wszystkich płytek.

\[\Pr(\text{samogłoska})=\frac{x}{x+\frac{5}{4}x}=\frac{x}{\frac{9}{4}x}=\frac{4}{9}\]

Odpowiedź

C — prawdopodobieństwo wynosi 4/9.

\[\frac{4}{9}\]

Sprawdzenie

Przy 4 płytkach z samogłoskami spółgłoskowych jest 5, czyli o 25% więcej. Spośród 9 płytek 4 mają samogłoski.

\[\frac{5-4}{4}=25\%,\qquad \frac{4}{4+5}=\frac{4}{9}\]
Zadanie 28
Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy
Zamknięte1 pkt
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Średnia arytmetyczna czterech liczb dodatnich: \(2\), \(3x\), \(3x+2\), \(3x+4\) jest równa \(\frac{13}{2}\). Wynika stąd, że

A
\(x=9\)
B
\(x=\frac{13}{2}\)
C
\(x=\frac{5}{9}\)
D
\(x=2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ułożenie równania

Średnia arytmetyczna to suma liczb podzielona przez ich liczbę.

\[\frac{2+3x+(3x+2)+(3x+4)}{4}=\frac{13}{2}\]

2 Obliczenie x

Sumujemy wyrazy podobne, mnożymy równanie przez 4 i rozwiązujemy je.

\[\frac{9x+8}{4}=\frac{13}{2}\quad\Longrightarrow\quad 9x+8=26\quad\Longrightarrow\quad x=2\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: x = 2.

\[x=2\]

Sprawdzenie

Dla x = 2 otrzymujemy liczby 2, 6, 8 i 10. Wszystkie są dodatnie, a ich średnia wynosi 13/2.

\[\frac{2+6+8+10}{4}=\frac{26}{4}=\frac{13}{2}\]
Zadanie 29
Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy
Otwarte2 pkt

Rozwiąż nierówność: \(2(x+1)(x-3) \lt x^2-9\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przenieś wyrazy na jedną stronę

Rozwijamy nawiasy i odejmujemy prawą stronę, aby otrzymać nierówność kwadratową.

\[2(x^2-2x-3)-(x^2-9)<0\iff x^2-4x+3<0\]

2 Wyznacz przedział rozwiązań

Rozkładamy trójmian na czynniki. Iloczyn dwóch czynników liniowych jest ujemny między jego miejscami zerowymi.

\[(x-1)(x-3)<0\iff 1<x<3\]

Odpowiedź

Rozwiązaniem jest przedział \((1,3)\).

\[x\in(1,3)\]

Sprawdzenie

Dla x = 2 nierówność jest prawdziwa: −6 < −5. Dla x = 1 i x = 3 zachodzi równość, więc końce przedziału są wykluczone.

\[x=2:\quad 2(2+1)(2-3)=-6<-5=2^2-9;\qquad x=1,3:\quad (x-1)(x-3)=0\]
Zadanie 30
Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy
Otwarte2 pkt

Wykaż, że dla wszystkich liczb rzeczywistych \(a\), \(b\) i \(c\) takich, że \(\frac{a+b}{2}>c\) i \(\frac{b+c}{2}>a\), prawdziwa jest nierówność \(\frac{a+c}{2}\lt b\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Usunięcie mianowników

Mnożymy obie założone nierówności przez dodatnią liczbę 2, więc ich zwroty się nie zmieniają.

\[a+b>2c,\qquad b+c>2a\]

2 Dodanie nierówności

Dodając stronami nierówności o tym samym zwrocie, otrzymujemy nierówność, z której wynika teza.

\[a+2b+c>2a+2c\quad\Longrightarrow\quad 2b>a+c\quad\Longrightarrow\quad b>\frac{a+c}{2}\]

Odpowiedź

Dla wszystkich liczb spełniających założenia zachodzi \(\frac{a+c}{2}<b\).

\[\frac{a+c}{2}<b\]

Sprawdzenie

Obie różnice wynikające z założeń są dodatnie. Ich suma wynosi \(2b-a-c\), więc \(b-\frac{a+c}{2}>0\), zgodnie z tezą.

\[(a+b-2c)+(b+c-2a)=2b-a-c>0\]

2026 Utworzone przez zespół MaturaPodKlucz