Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

1048 zadańStrona 67 z 70

Sortuj:

Zadanie 11

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Liczba niewymiernych rozwiązań równania $x^2(x+5)(2x-3)(x^2-7)=0$ jest równa

$0$

$1$

$5$

$2$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie rozwiązań

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy zeru.

\[x^2=0\Rightarrow x=0,\quad x+5=0\Rightarrow x=-5,\quad 2x-3=0\Rightarrow x=\frac32,\quad x^2-7=0\Rightarrow x=\pm\sqrt7\]

2 Policzenie rozwiązań niewymiernych

Liczby 0, −5 i 3/2 są wymierne. Ponieważ 7 nie jest kwadratem liczby całkowitej, obie liczby ±√7 są niewymierne.

\[\sqrt7,\ -\sqrt7\quad\Rightarrow\quad 2\text{ rozwiązania niewymierne}\]

Odpowiedź

D. Liczba rozwiązań niewymiernych wynosi 2.

\[D\;\text{—}\;2\]

Sprawdzenie

Dla obu wskazanych liczb czynnik x²−7 jest równy zeru, więc spełniają równanie. Pozostałe rozwiązania są wymierne.

\[(\pm\sqrt7)^2-7=7-7=0\]

Zadanie 12

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$.

Funkcja $f$ jest rosnąca w przedziale

$Wykres oznaczony $y=f(x)$ w układzie współrzędnych z osiami $x$ i $y$. Odcinki łączą punkty $(-2,6)$, $(1,6)$, $(5,-1)$, $(6,1)$ i $(9,1)$. Punkty końcowe są zaznaczone.$

$\langle-1,1\rangle$

$\langle1,5\rangle$

$\langle5,6\rangle$

$\langle6,8\rangle$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczytanie przedziału wzrostu

Funkcja jest rosnąca tam, gdzie wraz ze wzrostem x rośnie jej wartość. Na wykresie dzieje się tak na odcinku od (5,−1) do (6,1).

\[f(5)=-1<1=f(6),\qquad x\in\langle 5,6\rangle\]

Odpowiedź

Funkcja f jest rosnąca w przedziale ⟨5,6⟩. Odpowiedź C.

\[\boxed{\mathrm{C}:\ \langle 5,6\rangle}\]

Sprawdzenie

Na tym odcinku wykres wznosi się od −1 do 1, więc wartość funkcji rośnie. Pozostałe podane przedziały odpowiadają odcinkom poziomym albo malejącemu.

\[\frac{f(6)-f(5)}{6-5}=\frac{1-(-1)}{1}=2>0\]

Zadanie 13

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg geometryczny $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n=2^n$ dla $n\geq 1$. Suma dziesięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa

$2(1-2^{10})$

$-2(1-2^{10})$

$2(1+2^{10})$

$-2(1+2^{10})$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie pierwszego wyrazu i ilorazu

Korzystamy ze wzoru ciągu, aby zastosować wzór na sumę dziesięciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.

\[a_1=2^1=2,\qquad q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{4}{2}=2\]

2 Obliczenie sumy

Ponieważ iloraz jest różny od 1, stosujemy wzór na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego i upraszczamy wynik.

\[S_{10}=a_1\frac{1-q^{10}}{1-q}=2\frac{1-2^{10}}{1-2}=-2(1-2^{10})=2046\]

Odpowiedź

B. Suma wynosi 2046.

\[S_{10}=-2(1-2^{10})=2046\]

Sprawdzenie

Po rozwinięciu odpowiedzi B otrzymujemy 2¹¹−2=2046, czyli sumę potęg od 2¹ do 2¹⁰.

\[-2(1-2^{10})=2^{11}-2=2046\]

Zadanie 14

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Suma pierwszego i szóstego wyrazu pewnego ciągu arytmetycznego jest równa 13. Wynika stąd, że suma trzeciego i czwartego wyrazu tego ciągu jest równa

$13$

$12$

$7$

$6$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie wyrazów ciągu

W ciągu arytmetycznym każdy kolejny wyraz zwiększa się o tę samą różnicę r.

\[a_6=a_1+5r,\qquad a_3=a_1+2r,\qquad a_4=a_1+3r\]

2 Porównanie sum

Obie sumy mają takie samo wyrażenie algebraiczne, więc są równe.

\[a_1+a_6=2a_1+5r=13,\qquad a_3+a_4=2a_1+5r=13\]

Odpowiedź

Suma wynosi 13. Odpowiedź A.

\[a_3+a_4=13\]

Sprawdzenie

Od pierwszego do trzeciego wyrazu przybywa 2r, a od czwartego do szóstego także 2r. Zatem przesunięcie pierwszego wyrazu do trzeciego dokładnie równoważy przesunięcie szóstego do czwartego.

\[a_3-a_1=2r=a_6-a_4\quad\Longrightarrow\quad a_3+a_4=a_1+a_6=13\]

Zadanie 15

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Miary kątów wewnętrznych pewnego trójkąta pozostają w stosunku $3:4:5$. Najmniejszy kąt wewnętrzny tego trójkąta ma miarę

$45^\circ$

$90^\circ$

$75^\circ$

$60^\circ$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz miary kątów

Stosunek 3:4:5 oznacza, że kąty mają miary 3x, 4x i 5x dla pewnego x>0.

\[3x,\quad 4x,\quad 5x\]

2 Oblicz x

Suma kątów wewnętrznych trójkąta wynosi 180°.

\[3x+4x+5x=180^\circ\;\Rightarrow\;12x=180^\circ\;\Rightarrow\;x=15^\circ\]

3 Wyznacz najmniejszy kąt

Najmniejszemu kątowi odpowiadają trzy części stosunku.

\[3x=3\cdot15^\circ=45^\circ\]

Odpowiedź

A. Najmniejszy kąt ma miarę 45°.

\[45^\circ\]

Sprawdzenie

Pozostałe kąty mają miary 60° i 75°. Ich suma z 45° wynosi 180°, a stosunek wynosi 3:4:5.

\[45^\circ+60^\circ+75^\circ=180^\circ,\qquad 45:60:75=3:4:5\]

Zadanie 16

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

W trójkącie $ABC$, w którym $|AC|=|BC|$, na boku $AB$ wybrano punkt $D$ taki, że $|BD|=|CD|$ oraz $|\angle ACD|=21^\circ$ (zobacz rysunek).

Wynika stąd, że kąt $BCD$ ma miarę

Trójkąt ABC z punktem D na boku AB, odcinkiem CD i oznaczonym kątem ACD równym 21°.

$57^\circ$

$53^\circ$

$51^\circ$

$55^\circ$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Oznaczenie kąta

Równość boków BD i CD oznacza, że kąty przy podstawie BC trójkąta BCD są równe.

\[x=\angle BCD=\angle DBC\]

2 Kąty przy podstawie ABC

Ponieważ D leży na AB, kąt DBC jest kątem ABC. Z równości AC i BC wynika równość kątów przy podstawie AB.

\[\angle ABC=\angle BAC=x\]

3 Suma kątów

Kąty ADC i CDB są przyległe. Obliczamy je z sumy kątów trójkąta ACD, a następnie stosujemy sumę kątów trójkąta BCD.

\[\angle ADC=180^\circ-x-21^\circ=159^\circ-x,\quad \angle CDB=21^\circ+x;\quad x+x+(21^\circ+x)=180^\circ,\quad x=53^\circ\]

Odpowiedź

Kąt BCD ma miarę 53°, odpowiedź B.

\[\angle BCD=53^\circ\]

Sprawdzenie

W trójkącie BCD kąty mają miary 53°, 53° i 74°, więc ich suma wynosi 180°. W trójkącie ABC kąty przy podstawie mają po 53°, a kąt przy C wynosi 21° + 53° = 74°; ich suma także wynosi 180°.

\[53^\circ+53^\circ+74^\circ=180^\circ\]

Zadanie 17

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Długości boków trójkąta są liczbami całkowitymi. Jeden bok ma 7 cm, a drugi ma 2 cm. Trzeci bok tego trójkąta może mieć długość

12 cm

9 cm

6 cm

3 cm

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie możliwych długości

W trójkącie trzeci bok musi być dłuższy od różnicy pozostałych boków i krótszy od ich sumy.

\[|7-2|<x<7+2\quad\Longrightarrow\quad 5<x<9\]

2 Wybór odpowiedzi

Spośród podanych długości tylko 6 cm jest liczbą całkowitą spełniającą ten warunek.

\[x=6\,\text{cm}\]

Odpowiedź

Trzeci bok może mieć długość 6 cm. Odpowiedź C.

\[x=6\,\text{cm}\quad(\text{C})\]

Sprawdzenie

Boki 7 cm, 2 cm i 6 cm spełniają nierówności trójkąta: suma każdych dwóch jest większa od trzeciego.

\[7+2>6,\quad 7+6>2,\quad 2+6>7\]

Zadanie 18

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Boki trójkąta mają długości 20 i 12, a kąt między tymi bokami ma miarę $120^\circ$. Pole tego trójkąta jest równe

$60$

$120$

$60\sqrt{3}$

$120\sqrt{3}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie sinusa kąta

Kąt 120° jest rozwarty, a jego sinus jest równy sinusowi kąta 60°.

\[\sin 120^\circ=\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\]

2 Obliczenie pola

Stosujemy wzór na pole trójkąta z dwóch boków i kąta między nimi.

\[P=\frac{1}{2}\cdot 20\cdot 12\cdot\sin 120^\circ=120\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=60\sqrt{3}\]

Odpowiedź

Pole wynosi 60√3. Odpowiedź C.

\[P=60\sqrt{3}\]

Sprawdzenie

Wysokość opuszczona na bok długości 20 wynosi 6√3, więc obliczenie pola daje ten sam wynik.

\[h=12\sin 120^\circ=6\sqrt{3},\qquad P=\frac{20\cdot 6\sqrt{3}}{2}=60\sqrt{3}\]

Zadanie 19

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Tworząca stożka o promieniu podstawy 3 ma długość 6 (zobacz rysunek).

Kąt $\alpha$ rozwarcia tego stożka jest równy

Stożek z zaznaczonym kątem rozwarcia α przy wierzchołku.

$30^\circ$

$45^\circ$

$60^\circ$

$90^\circ$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przekrój osiowy

Przekrój stożka przez jego oś jest trójkątem równoramiennym. Jego ramiona są tworzącymi, a podstawa jest średnicą podstawy stożka.

\[l=6,\qquad d=2r=2\cdot3=6\]

2 Wyznaczenie kąta

Wszystkie trzy boki przekroju mają długość 6, więc jest on trójkątem równobocznym. Kąt przy wierzchołku stożka ma zatem 60 stopni.

\[\alpha=60^\circ\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[\alpha=60^\circ\]

Sprawdzenie

W trójkącie równobocznym o boku 6 wysokość dzieli podstawę na odcinki długości 3, zgodne z podanym promieniem stożka.

\[\frac{d}{2}=\frac{6}{2}=3=r\]

Zadanie 20

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Graniastosłup o podstawie ośmiokąta ma dokładnie

16 wierzchołków.

9 wierzchołków.

16 krawędzi.

8 krawędzi.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Policz wierzchołki

Graniastosłup ma dwie podstawy. Każda z nich jest ośmiokątem, więc ma 8 wierzchołków.

\[2\cdot 8=16\]

Odpowiedź

A — 16 wierzchołków.

\[16\]

Sprawdzenie

Dwie podstawy dają łącznie 16 wierzchołków. Krawędzi jest 24, więc odpowiedzi dotyczące 8 lub 16 krawędzi są błędne.

\[8+8=16,\qquad 8+8+8=24\]

Zadanie 21

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

W ostrosłupie czworokątnym, w którym wszystkie krawędzie mają tę samą długość, kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy ma miarę

$30^\circ$

$45^\circ$

$60^\circ$

$75^\circ$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustalenie kształtu podstawy

Równe krawędzie podstawy tworzą romb. Równe krawędzie boczne oznaczają, że wierzchołki podstawy leżą na jednym okręgu, więc romb jest kwadratem.

\[AB=BC=CD=DA=SA=SB=SC=SD=a\]

2 Obliczenie kąta nachylenia

Rzutem wierzchołka ostrosłupa na podstawę jest środek kwadratu O. Odcinek AO jest rzutem krawędzi SA, więc szukanym kątem jest kąt SAO. Połowa przekątnej kwadratu ma długość $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

\[AO=\frac{a\sqrt{2}}{2},\qquad \cos\angle SAO=\frac{AO}{SA}=\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \angle SAO=45^\circ\]

Odpowiedź

Kąt ma miarę 45°, odpowiedź B.

\[45^\circ\quad\text{(B)}\]

Sprawdzenie

Z twierdzenia Pitagorasa wysokość SO wynosi $\frac{a\sqrt{2}}{2}$. Jest równa AO, zatem trójkąt prostokątny SAO ma dwa równe kąty ostre, po 45°.

\[SO=\sqrt{SA^2-AO^2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}=AO\]

Zadanie 22

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba $0{,}3$ jest jednym z przybliżeń liczby $\frac{5}{16}$. Błąd względny tego przybliżenia, wyrażony w procentach, jest równy

$4\%$

$0{,}04\%$

$2{,}5\%$

$0{,}025\%$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie błędu bezwzględnego

Odejmujemy przybliżenie od dokładnej wartości i bierzemy wartość bezwzględną.

\[\left|\frac{5}{16}-0{,}3\right|=\left|\frac{5}{16}-\frac{3}{10}\right|=\frac{1}{80}\]

2 Obliczenie błędu względnego

Dzielimy błąd bezwzględny przez dokładną wartość liczby, a następnie zamieniamy wynik na procenty.

\[\frac{\frac{1}{80}}{\frac{5}{16}}=\frac{1}{25}=0{,}04=4\%\]

Odpowiedź

Błąd względny wynosi 4%, więc poprawna odpowiedź to A.

\[4\%\]

Sprawdzenie

Dokładna wartość to 0,3125, a różnica względem 0,3 wynosi 0,0125. Iloraz 0,0125 przez 0,3125 daje 0,04, czyli 4%.

\[\frac{0{,}0125}{0{,}3125}=0{,}04=4\%\]

Zadanie 23

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Średnia arytmetyczna zestawu danych: $2,\ 4,\ 7,\ 8,\ x$ jest równa $n$, natomiast średnia arytmetyczna zestawu danych: $2,\ 4,\ 7,\ 8,\ x,\ 2x$ jest równa $2n$. Wynika stąd, że

$x=49$

$x=21$

$x=14$

$x=7$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie średnich

Średnia arytmetyczna to suma danych podzielona przez ich liczbę. Ponieważ $2+4+7+8=21$, zapisujemy obie średnie.

\[n=\frac{21+x}{5},\qquad 2n=\frac{21+3x}{6}\]

2 Wyznaczenie x

Podstawiamy pierwszą równość do drugiej i mnożymy przez 30, aby usunąć mianowniki.

\[\frac{21+3x}{6}=2\cdot\frac{21+x}{5}\quad\Longrightarrow\quad 5(21+3x)=12(21+x)\quad\Longrightarrow\quad 105+15x=252+12x\quad\Longrightarrow\quad x=49\]

Odpowiedź

A. x = 49.

\[x=49\]

Sprawdzenie

Dla x = 49 pierwsza średnia wynosi 14, a druga 28, czyli jest dwa razy większa.

\[\frac{21+49}{5}=14,\qquad \frac{21+3\cdot49}{6}=28=2\cdot14\]

Zadanie 24

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Kombinatoryka

Ile jest wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez 6 i niepodzielnych przez 9?

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Policz wielokrotności 6

Dwucyfrowe wielokrotności 6 tworzą ciąg od 12 do 96, o różnicy 6. Liczymy jego wyrazy.

\[\frac{96-12}{6}+1=15\]

2 Odejmij wielokrotności 9

Liczba podzielna jednocześnie przez 6 i 9 jest podzielna przez ich najmniejszą wspólną wielokrotność, czyli 18. Dwucyfrowych wielokrotności 18 jest pięć.

\[\operatorname{NWW}(6,9)=18,\qquad \frac{90-18}{18}+1=5,\qquad 15-5=10\]

Odpowiedź

Takich liczb jest 10. Odpowiedź B.

\[10\]

Sprawdzenie

Są to liczby 12, 24, 30, 42, 48, 60, 66, 78, 84 i 96. Każda jest dwucyfrowa i podzielna przez 6; żadna nie jest podzielna przez 9. Lista zawiera 10 liczb.

\[10\]

Zadanie 25

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Na loterię przygotowano pulę 100 losów, w tym 4 wygrywające. Po wylosowaniu pewnej liczby losów, wśród których był dokładnie jeden wygrywający, szansa na wygraną była taka sama jak przed rozpoczęciem loterii. Stąd wynika, że wylosowano

4 losy.

20 losów.

50 losów.

25 losów.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Prawdopodobieństwo początkowe

Przed losowaniem 4 ze 100 losów dawały wygraną.

\[P_0=\frac{4}{100}\]

2 Prawdopodobieństwo po losowaniu

Jeśli wylosowano n losów, pozostało 100−n losów, w tym 3 wygrywające. Przyrównujemy oba prawdopodobieństwa.

\[\frac{3}{100-n}=\frac{4}{100}\]

3 Obliczenie liczby losów

Mnożymy równanie na krzyż i wyznaczamy n.

\[300=4(100-n),\quad 4n=100,\quad n=25\]

Odpowiedź

Wylosowano 25 losów. Odpowiedź D.

\[n=25\]

Sprawdzenie

Pozostało 75 losów, w tym 3 wygrywające. Szansa wynosi 3/75 = 4/100, czyli tyle samo co na początku. Wylosowanie jednego losu wygrywającego wśród 25 jest możliwe.

\[\frac{3}{75}=\frac{4}{100}\]