Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

1048 zadańStrona 66 z 70

Sortuj:

Zadanie 30

Matura 2016 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

W trapezie \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\) przekątne \(AC\) oraz \(BD\) przecinają się w punkcie \(S\). Wykaż, że jeżeli \(|AS|=\frac{5}{6}|AC|\), to pole trójkąta \(ABS\) jest 25 razy większe od pola trójkąta \(DCS\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie stosunku odcinków przekątnej

Ponieważ punkt S leży na przekątnej AC, odejmujemy AS od AC, aby obliczyć SC.

\[|SC|=|AC|-|AS|=|AC|-\frac{5}{6}|AC|=\frac{1}{6}|AC|,\qquad \frac{|AS|}{|SC|}=5.\]

2 Podobieństwo trójkątów

Trójkąty ABS i CDS są podobne: kąty przy S są wierzchołkowe, a pozostałe odpowiednie kąty są równe, ponieważ AB jest równoległe do CD. Stosunek ich odpowiadających boków wynosi 5.

\[\triangle ABS\sim\triangle CDS,\qquad \frac{|AS|}{|CS|}=5.\]

3 Porównanie pól

Pola figur podobnych są w stosunku równym kwadratowi skali podobieństwa.

\[\frac{P_{ABS}}{P_{DCS}}=5^2=25.\]

Odpowiedź

Pole trójkąta ABS jest 25 razy większe od pola trójkąta DCS.

\[P_{ABS}=25P_{DCS}\]

Sprawdzenie

Stosunek podstaw AB i CD wynosi 5. Odległości punktu S od tych równoległych podstaw także są w stosunku 5, więc ze wzoru na pole trójkąta ponownie otrzymujemy stosunek pól 25.

\[\frac{P_{ABS}}{P_{DCS}}=\frac{\frac12|AB|h_{AB}}{\frac12|CD|h_{CD}}=5\cdot5=25.\]

Zadanie 31

Matura 2016 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Ciągi

Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) określony jest wzorem \(a_n=2016-3n\), dla \(n\geq 1\). Oblicz sumę wszystkich dodatnich wyrazów tego ciągu.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie dodatnich wyrazów

Rozwiązujemy nierówność, aby ustalić, które wyrazy wchodzą do sumy.

\[2016-3n>0\iff n<672,\quad n=1,2,\ldots,671\]

2 Obliczenie sumy

Dodajemy pierwsze 671 wyrazów ciągu arytmetycznego, korzystając ze wzoru na ich sumę.

\[a_1=2013,\quad a_{671}=3,\quad S_{671}=\frac{671(2013+3)}{2}=676368\]

Odpowiedź

Suma wszystkich dodatnich wyrazów wynosi 676368.

\[676368\]

Sprawdzenie

Ostatni uwzględniony wyraz jest dodatni, a następny wynosi zero, więc suma obejmuje dokładnie wszystkie dodatnie wyrazy.

\[a_{671}=2016-3\cdot671=3>0,\quad a_{672}=2016-3\cdot672=0\]

Zadanie 32

Matura 2016 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Na rysunku przedstawione są dwa wierzchołki trójkąta prostokątnego \(ABC\): \(A=(-3,-3)\) i \(C=(2,7)\) oraz prosta o równaniu \(y=\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}\), zawierająca przeciwprostokątną \(AB\) tego trójkąta.

Oblicz współrzędne wierzchołka \(B\) tego trójkąta i długość odcinka \(AB\).

Układ współrzędnych z prostą zawierającą przeciwprostokątną AB oraz zaznaczonymi punktami A=(-3,-3) i C=(2,7).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie prostej BC

Ponieważ AB jest przeciwprostokątną, kąt przy C jest prosty. Prosta AC ma współczynnik kierunkowy 2, więc prostopadła do niej prosta BC ma współczynnik \(-\frac{1}{2}\).

\[a_{AC}=\frac{7-(-3)}{2-(-3)}=2,\qquad y-7=-\frac{1}{2}(x-2),\qquad y=8-\frac{x}{2}\]

2 Obliczenie współrzędnych B

Punkt B leży zarówno na prostej BC, jak i na prostej zawierającej AB. Przyrównujemy ich równania.

\[8-\frac{x}{2}=\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}\quad\Longrightarrow\quad \frac{5}{4}x=\frac{35}{4}\quad\Longrightarrow\quad x=7,\qquad y=8-\frac{7}{2}=\frac{9}{2}\]

3 Obliczenie długości AB

Stosujemy wzór na odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych.

\[|AB|=\sqrt{(7-(-3))^2+\left(\frac{9}{2}-(-3)\right)^2}=\sqrt{100+\frac{225}{4}}=\frac{25}{2}\]

Odpowiedź

Wierzchołek B ma współrzędne (7, 9/2), a długość odcinka AB wynosi 25/2.

\[B=\left(7,\frac{9}{2}\right),\qquad |AB|=\frac{25}{2}\]

Sprawdzenie

Punkt B spełnia równanie prostej AB. Iloczyn skalarny wektorów CA i CB wynosi zero, więc kąt przy C jest prosty.

\[\frac{3}{4}\cdot7-\frac{3}{4}=\frac{9}{2},\qquad \overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=(-5)(5)+(-10)\left(-\frac{5}{2}\right)=0\]

Zadanie 33

Matura 2016 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Stereometria

Trójkąt równoboczny \(ABC\) jest podstawą ostrosłupa prawidłowego \(ABCS\), w którym ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(60^\circ\), a krawędź boczna ma długość \(7\) (zobacz rysunek). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Ostrosłup prawidłowy ABCS o podstawie ABC; przy krawędzi SC oznaczono długość 7.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wysokości

Niech \(O\) będzie środkiem podstawy, a \(M\) środkiem boku \(AB\). Kąt między ścianą boczną a podstawą to \(\angle SMO=60^\circ\). W trójkącie prostokątnym \(SOM\), dla boku podstawy długości \(a\), mamy \(OM=\frac{a\sqrt3}{6}\).

\[h=SO=OM\tan60^\circ=\frac{a\sqrt3}{6}\cdot\sqrt3=\frac a2\]

2 Obliczenie boku podstawy

Środek trójkąta równobocznego leży w odległości \(\frac{a\sqrt3}{3}\) od wierzchołka. Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(SOA\) obliczamy \(a\).

\[7^2=SO^2+OA^2=\left(\frac a2\right)^2+\left(\frac{a\sqrt3}{3}\right)^2=\frac{7a^2}{12},\qquad a^2=84,\quad h=\sqrt{21}\]

3 Obliczenie objętości

Pole podstawy jest polem trójkąta równobocznego. Stosujemy wzór na objętość ostrosłupa.

\[P_p=\frac{a^2\sqrt3}{4}=21\sqrt3,\qquad V=\frac13P_ph=\frac13\cdot21\sqrt3\cdot\sqrt{21}=21\sqrt7\]

Odpowiedź

Objętość ostrosłupa wynosi \(21\sqrt7\).

\[V=21\sqrt7\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanych wymiarów krawędź boczna ma długość \(7\), a tangens kąta nachylenia ściany do podstawy wynosi \(\sqrt3\), więc kąt ma \(60^\circ\).

\[SO^2+OA^2=21+28=49=7^2,\qquad \frac{SO}{OM}=\frac{\sqrt{21}}{\sqrt7}=\sqrt3=\tan60^\circ\]

Zadanie 34

Matura 2016 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Ze zbioru siedmiu liczb naturalnych \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}\) losujemy dwie różne liczby. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że większą z wylosowanych liczb będzie liczba \(5\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba wszystkich par

Kolejność losowania nie ma znaczenia, więc liczymy dwuelementowe podzbiory siedmiu liczb.

\[|\Omega|=\binom{7}{2}=\frac{7\cdot6}{2}=21\]

2 Liczba par sprzyjających

Aby większą liczbą było 5, drugą liczbą musi być jedna z liczb 1, 2, 3, 4.

\[|A|=4\]

3 Obliczenie prawdopodobieństwa

Wszystkie pary są jednakowo prawdopodobne, dlatego dzielimy liczbę par sprzyjających przez liczbę wszystkich par.

\[P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{4}{21}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo wynosi 4/21.

\[\frac{4}{21}\]

Sprawdzenie

Przy uwzględnieniu kolejności jest 42 możliwych wyników i 8 sprzyjających, co daje tę samą wartość.

\[\frac{8}{42}=\frac{4}{21}\]

Zadanie 1

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(2\sqrt{18}-\sqrt{32}\) jest równa

\(2^{-\frac{3}{2}}\)

\(2^{-\frac{1}{2}}\)

\(2^{\frac{1}{2}}\)

\(2^{\frac{3}{2}}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Uproszczenie pierwiastków

Wyłączamy największe kwadraty spod pierwiastków, aby otrzymać wyrazy podobne.

\[2\sqrt{18}-\sqrt{32}=2\sqrt{9\cdot2}-\sqrt{16\cdot2}=6\sqrt2-4\sqrt2\]

2 Obliczenie i zapis jako potęgi

Odejmujemy współczynniki przy pierwiastku, a następnie korzystamy z równości \(\sqrt2=2^{\frac12}\).

\[6\sqrt2-4\sqrt2=2\sqrt2=2^1\cdot2^{\frac12}=2^{\frac32}\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[2^{\frac32}\]

Sprawdzenie

Ponieważ \(2^{\frac32}=2\sqrt2\), wynik jest równy obliczonej różnicy \(6\sqrt2-4\sqrt2\).

\[2^{\frac32}=2\sqrt2=6\sqrt2-4\sqrt2\]

Zadanie 2

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Wartość wyrażenia \(\frac{\sqrt[5]{-32}\cdot 2^{-1}}{4}\cdot 2^2\) jest równa

\(-\frac{1}{2}\)

\(\frac{1}{2}\)

\(1\)

\(-1\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie pierwiastka

Ponieważ piąta potęga liczby −2 jest równa −32, pierwiastek ma wartość −2.

\[\sqrt[5]{-32}=-2\]

2 Obliczenie wartości wyrażenia

Podstawiamy obliczony pierwiastek oraz wartości potęg liczby 2.

\[\frac{(-2)\cdot 2^{-1}}{4}\cdot 2^2=\frac{(-2)\cdot\frac{1}{2}}{4}\cdot 4=-1\]

Odpowiedź

Wartość wyrażenia wynosi −1. Odpowiedź D.

\[-1\]

Sprawdzenie

Podstawienie −2 za pierwiastek daje w liczniku −1, a dzielenie przez 4 i mnożenie przez 4 się znoszą. Wynik to −1.

\[\frac{-1}{4}\cdot 4=-1\]

Zadanie 3

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Przy 23-procentowej stawce podatku VAT cena brutto samochodu jest równa 45 018 zł. Jaka jest cena netto tego samochodu?

34 663,86 zł

36 600 zł

44 995 zł

55 372,14 zł

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie zależności

Cena brutto stanowi 123% ceny netto, ponieważ zawiera cenę netto i 23% podatku VAT.

\[45018=1{,}23\cdot C_{\mathrm{netto}}\]

2 Obliczenie ceny netto

Dzielimy cenę brutto przez 1,23, aby otrzymać cenę przed doliczeniem podatku.

\[C_{\mathrm{netto}}=\frac{45018}{1{,}23}=36600\ \mathrm{zł}\]

Odpowiedź

Cena netto samochodu wynosi 36 600 zł. Odpowiedź B.

\[C_{\mathrm{netto}}=36600\ \mathrm{zł}\]

Sprawdzenie

23% z 36 600 zł to 8 418 zł. Po doliczeniu podatku otrzymujemy podaną cenę brutto: 36 600 zł + 8 418 zł = 45 018 zł.

\[36600+0{,}23\cdot36600=36600+8418=45018\ \mathrm{zł}\]

Zadanie 4

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Wyrażenia algebraiczne

Wyrażenie \(3a^2-12ab+12b^2\) może być przekształcone do postaci

\(3(a^2-b^2)^2\)

\(3(a-2b^2)^2\)

\(3(a-2b)^2\)

\(3(a+2b)^2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyłącz wspólny czynnik

Każdy składnik jest podzielny przez 3, więc wyłączamy 3 przed nawias.

\[3a^2-12ab+12b^2=3(a^2-4ab+4b^2)\]

2 Zastosuj wzór skróconego mnożenia

Wyrażenie w nawiasie jest kwadratem różnicy, ponieważ \(4b^2=(2b)^2\) oraz \(-4ab=-2\cdot a\cdot 2b\).

\[3(a^2-4ab+4b^2)=3(a-2b)^2\]

Odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C.

\[3(a-2b)^2\]

Sprawdzenie

Po rozwinięciu otrzymujemy wyrażenie podane w zadaniu.

\[3(a-2b)^2=3(a^2-4ab+4b^2)=3a^2-12ab+12b^2\]

Zadanie 5

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Układy równań

Para liczb \(x=2\) i \(y=1\) jest rozwiązaniem układu równań \(\begin{cases}x+ay=5\\2x-y=3\end{cases}\), gdy

\(a=-3\)

\(a=-2\)

\(a=2\)

\(a=3\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie do pierwszego równania

Aby wyznaczyć parametr, podstawiamy podane wartości \(x=2\) i \(y=1\).

\[2+a\cdot1=5\quad\Rightarrow\quad a=3\]

Odpowiedź

Poprawna odpowiedź: D, czyli \(a=3\).

\[a=3\]

Sprawdzenie

Dla \(x=2\), \(y=1\) i \(a=3\) oba równania są spełnione.

\[2+3\cdot1=5,\qquad 2\cdot2-1=3\]

Zadanie 6

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Równanie \(2x^2+11x+3=0\)

nie ma rozwiązań rzeczywistych.

ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.

ma dwa dodatnie rozwiązania rzeczywiste.

ma dwa ujemne rozwiązania rzeczywiste.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba rozwiązań

Obliczamy wyróżnik, aby ustalić liczbę pierwiastków rzeczywistych.

\[\Delta=11^2-4\cdot2\cdot3=97>0\]

2 Znaki pierwiastków

Z wzorów Viète’a iloczyn pierwiastków jest dodatni, więc mają ten sam znak. Ich suma jest ujemna, zatem oba są ujemne.

\[x_1x_2=\frac{3}{2}>0,\qquad x_1+x_2=-\frac{11}{2}<0\]

Odpowiedź

Równanie ma dwa ujemne rozwiązania rzeczywiste. Odpowiedź D.

\[x_{1,2}=\frac{-11\pm\sqrt{97}}{4}<0\]

Sprawdzenie

Ponieważ 97 < 121, mamy √97 < 11, więc oba liczniki we wzorze na pierwiastki są ujemne. Ponadto ich suma i iloczyn zgadzają się z wzorami Viète’a.

\[\frac{-11+\sqrt{97}}{4}+\frac{-11-\sqrt{97}}{4}=-\frac{11}{2},\qquad \frac{(-11+\sqrt{97})(-11-\sqrt{97})}{16}=\frac{3}{2}\]

Zadanie 7

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Wartość wyrażenia \(\sin 120^\circ-\cos 30^\circ\) jest równa

\(\sin 90^\circ\)

\(\sin 150^\circ\)

\(\sin 0^\circ\)

\(\sin 60^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie wartości funkcji

Korzystamy z tożsamości dla kąta dopełniającego do 180° oraz ze znanych wartości funkcji trygonometrycznych.

\[\sin 120^\circ=\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\]

2 Odjęcie wartości

Obie wartości są równe, więc ich różnica wynosi zero.

\[\sin 120^\circ-\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}=0\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[0=\sin 0^\circ\]

Sprawdzenie

W odpowiedzi C sinus kąta 0° wynosi 0, czyli tyle samo co obliczone wyrażenie.

\[\sin 0^\circ=0\]

Zadanie 8

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Wyrażenie \(3\sin^3\alpha\cos\alpha+3\sin\alpha\cos^3\alpha\) może być przekształcone do postaci

\(3\)

\(3\sin\alpha\cos\alpha\)

\(3\sin^3\alpha\cos^3\alpha\)

\(6\sin^4\alpha\cos^4\alpha\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyłączenie wspólnego czynnika

Oba składniki zawierają \(3\sin\alpha\cos\alpha\), więc wyłączamy go przed nawias.

\[3\sin^3\alpha\cos\alpha+3\sin\alpha\cos^3\alpha=3\sin\alpha\cos\alpha(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)\]

2 Zastosowanie tożsamości

Ponieważ \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) dla każdego kąta, upraszczamy nawias.

\[3\sin\alpha\cos\alpha(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)=3\sin\alpha\cos\alpha\]

Odpowiedź

B. Wyrażenie ma postać \(3\sin\alpha\cos\alpha\).

\[3\sin\alpha\cos\alpha\]

Sprawdzenie

Po wymnożeniu otrzymanej postaci przez \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) wracamy do wyrażenia z zadania.

\[3\sin\alpha\cos\alpha=3\sin\alpha\cos\alpha(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)=3\sin^3\alpha\cos\alpha+3\sin\alpha\cos^3\alpha\]

Zadanie 9

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na rysunku przedstawiony jest fragment prostej o równaniu \(y=ax+b\) przechodzącej przez punkty \((0,-2)\) i \((6,2)\).

Wtedy

Wykres prostej w układzie współrzędnych z zaznaczonymi punktami (0,−2) i (6,2) oraz liniami przerywanymi wskazującymi współrzędne punktu (6,2).

\(a=\frac{2}{3},\ b=-2\)

\(a=3,\ b=-2\)

\(a=\frac{3}{2},\ b=2\)

\(a=-3,\ b=2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wyrazu wolnego

Dla punktu o współrzędnej x równej 0 równanie prostej daje y=b. Z punktu (0,−2) otrzymujemy b=−2.

\[-2=a\cdot 0+b,\quad b=-2\]

2 Wyznaczenie współczynnika kierunkowego

Podstawiamy współrzędne punktu (6,2) oraz obliczone b, aby wyznaczyć a.

\[2=6a-2\quad\Rightarrow\quad 6a=4\quad\Rightarrow\quad a=\frac{2}{3}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: a=2/3, b=−2.

\[a=\frac{2}{3},\quad b=-2\]

Sprawdzenie

Dla x=0 otrzymujemy y=−2, a dla x=6 otrzymujemy y=2, więc równanie przechodzi przez oba podane punkty.

\[\frac{2}{3}\cdot 0-2=-2,\qquad \frac{2}{3}\cdot 6-2=2\]

Zadanie 10

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Prosta \(k\) przecina oś \(Oy\) układu współrzędnych w punkcie \((0,6)\) i jest równoległa do prostej o równaniu \(y=-3x\). Wówczas prosta \(k\) przecina oś \(Ox\) układu współrzędnych w punkcie

\((-12,0)\)

\((-2,0)\)

\((2,0)\)

\((6,0)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie równania prostej

Proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy, czyli −3. Ponieważ prosta k przechodzi przez punkt (0,6), jej wyraz wolny wynosi 6.

\[y=-3x+6\]

2 Wyznaczenie punktu przecięcia z osią Ox

Na osi Ox współrzędna y jest równa zeru, więc rozwiązujemy równanie względem x.

\[0=-3x+6\quad\Longrightarrow\quad x=2\]

Odpowiedź

Prosta k przecina oś Ox w punkcie (2,0). Odpowiedź C.

\[(2,0)\quad\text{— C}\]

Sprawdzenie

Punkt (2,0) spełnia równanie prostej, a jego druga współrzędna wynosi zero.

\[-3\cdot 2+6=0\]