Otwarte4 pkt
Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) określony jest wzorem \(a_n=2016-3n\), dla \(n\geq 1\). Oblicz sumę wszystkich dodatnich wyrazów tego ciągu.
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Wyznaczenie dodatnich wyrazów
Rozwiązujemy nierówność, aby ustalić, które wyrazy wchodzą do sumy.
\[2016-3n>0\iff n<672,\quad n=1,2,\ldots,671\]
2 Obliczenie sumy
Dodajemy pierwsze 671 wyrazów ciągu arytmetycznego, korzystając ze wzoru na ich sumę.
\[a_1=2013,\quad a_{671}=3,\quad S_{671}=\frac{671(2013+3)}{2}=676368\]
Odpowiedź
Suma wszystkich dodatnich wyrazów wynosi 676368.
\[676368\]
Sprawdzenie
Ostatni uwzględniony wyraz jest dodatni, a następny wynosi zero, więc suma obejmuje dokładnie wszystkie dodatnie wyrazy.
\[a_{671}=2016-3\cdot671=3>0,\quad a_{672}=2016-3\cdot672=0\]