Zadanie 32 — matura 2016, sierpień | Matematyka podstawowa, F-2015

Matura 2016 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Na rysunku przedstawione są dwa wierzchołki trójkąta prostokątnego \(ABC\): \(A=(-3,-3)\) i \(C=(2,7)\) oraz prosta o równaniu \(y=\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}\), zawierająca przeciwprostokątną \(AB\) tego trójkąta.

Oblicz współrzędne wierzchołka \(B\) tego trójkąta i długość odcinka \(AB\).

Układ współrzędnych z prostą zawierającą przeciwprostokątną AB oraz zaznaczonymi punktami A=(-3,-3) i C=(2,7).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie prostej BC

Ponieważ AB jest przeciwprostokątną, kąt przy C jest prosty. Prosta AC ma współczynnik kierunkowy 2, więc prostopadła do niej prosta BC ma współczynnik \(-\frac{1}{2}\).

\[a_{AC}=\frac{7-(-3)}{2-(-3)}=2,\qquad y-7=-\frac{1}{2}(x-2),\qquad y=8-\frac{x}{2}\]

2 Obliczenie współrzędnych B

Punkt B leży zarówno na prostej BC, jak i na prostej zawierającej AB. Przyrównujemy ich równania.

\[8-\frac{x}{2}=\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}\quad\Longrightarrow\quad \frac{5}{4}x=\frac{35}{4}\quad\Longrightarrow\quad x=7,\qquad y=8-\frac{7}{2}=\frac{9}{2}\]

3 Obliczenie długości AB

Stosujemy wzór na odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych.

\[|AB|=\sqrt{(7-(-3))^2+\left(\frac{9}{2}-(-3)\right)^2}=\sqrt{100+\frac{225}{4}}=\frac{25}{2}\]

Odpowiedź

Wierzchołek B ma współrzędne (7, 9/2), a długość odcinka AB wynosi 25/2.

\[B=\left(7,\frac{9}{2}\right),\qquad |AB|=\frac{25}{2}\]

Sprawdzenie

Punkt B spełnia równanie prostej AB. Iloczyn skalarny wektorów CA i CB wynosi zero, więc kąt przy C jest prosty.

\[\frac{3}{4}\cdot7-\frac{3}{4}=\frac{9}{2},\qquad \overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=(-5)(5)+(-10)\left(-\frac{5}{2}\right)=0\]