Zadanie 33 — matura 2016, sierpień | Matematyka podstawowa, F-2015

Matura 2016 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Trójkąt równoboczny \(ABC\) jest podstawą ostrosłupa prawidłowego \(ABCS\), w którym ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(60^\circ\), a krawędź boczna ma długość \(7\) (zobacz rysunek). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Ostrosłup prawidłowy ABCS o podstawie ABC; przy krawędzi SC oznaczono długość 7.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wysokości

Niech \(O\) będzie środkiem podstawy, a \(M\) środkiem boku \(AB\). Kąt między ścianą boczną a podstawą to \(\angle SMO=60^\circ\). W trójkącie prostokątnym \(SOM\), dla boku podstawy długości \(a\), mamy \(OM=\frac{a\sqrt3}{6}\).

\[h=SO=OM\tan60^\circ=\frac{a\sqrt3}{6}\cdot\sqrt3=\frac a2\]

2 Obliczenie boku podstawy

Środek trójkąta równobocznego leży w odległości \(\frac{a\sqrt3}{3}\) od wierzchołka. Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(SOA\) obliczamy \(a\).

\[7^2=SO^2+OA^2=\left(\frac a2\right)^2+\left(\frac{a\sqrt3}{3}\right)^2=\frac{7a^2}{12},\qquad a^2=84,\quad h=\sqrt{21}\]

3 Obliczenie objętości

Pole podstawy jest polem trójkąta równobocznego. Stosujemy wzór na objętość ostrosłupa.

\[P_p=\frac{a^2\sqrt3}{4}=21\sqrt3,\qquad V=\frac13P_ph=\frac13\cdot21\sqrt3\cdot\sqrt{21}=21\sqrt7\]

Odpowiedź

Objętość ostrosłupa wynosi \(21\sqrt7\).

\[V=21\sqrt7\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanych wymiarów krawędź boczna ma długość \(7\), a tangens kąta nachylenia ściany do podstawy wynosi \(\sqrt3\), więc kąt ma \(60^\circ\).

\[SO^2+OA^2=21+28=49=7^2,\qquad \frac{SO}{OM}=\frac{\sqrt{21}}{\sqrt7}=\sqrt3=\tan60^\circ\]