Zadanie 30 — matura 2016, sierpień | Matematyka podstawowa, F-2015

Matura 2016 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

W trapezie \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\) przekątne \(AC\) oraz \(BD\) przecinają się w punkcie \(S\). Wykaż, że jeżeli \(|AS|=\frac{5}{6}|AC|\), to pole trójkąta \(ABS\) jest 25 razy większe od pola trójkąta \(DCS\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie stosunku odcinków przekątnej

Ponieważ punkt S leży na przekątnej AC, odejmujemy AS od AC, aby obliczyć SC.

\[|SC|=|AC|-|AS|=|AC|-\frac{5}{6}|AC|=\frac{1}{6}|AC|,\qquad \frac{|AS|}{|SC|}=5.\]

2 Podobieństwo trójkątów

Trójkąty ABS i CDS są podobne: kąty przy S są wierzchołkowe, a pozostałe odpowiednie kąty są równe, ponieważ AB jest równoległe do CD. Stosunek ich odpowiadających boków wynosi 5.

\[\triangle ABS\sim\triangle CDS,\qquad \frac{|AS|}{|CS|}=5.\]

3 Porównanie pól

Pola figur podobnych są w stosunku równym kwadratowi skali podobieństwa.

\[\frac{P_{ABS}}{P_{DCS}}=5^2=25.\]

Odpowiedź

Pole trójkąta ABS jest 25 razy większe od pola trójkąta DCS.

\[P_{ABS}=25P_{DCS}\]

Sprawdzenie

Stosunek podstaw AB i CD wynosi 5. Odległości punktu S od tych równoległych podstaw także są w stosunku 5, więc ze wzoru na pole trójkąta ponownie otrzymujemy stosunek pól 25.

\[\frac{P_{ABS}}{P_{DCS}}=\frac{\frac12|AB|h_{AB}}{\frac12|CD|h_{CD}}=5\cdot5=25.\]