Otwarte2 pkt
Funkcja kwadratowa jest określona wzorem \(f(x)=x^2-11x\). Oblicz najmniejszą wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle -6,6\rangle\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Wyznaczenie postaci kanonicznej
Uzupełniamy kwadrat, aby odczytać najmniejszą wartość funkcji.
\[f(x)=x^2-11x=\left(x-\frac{11}{2}\right)^2-\frac{121}{4}\]
2 Sprawdzenie przedziału
Kwadrat jest nieujemny, a punkt, w którym jest równy zeru, należy do danego przedziału.
\[-6\leq\frac{11}{2}\leq 6\]
Odpowiedź
Najmniejsza wartość funkcji w podanym przedziale wynosi \(-\frac{121}{4}\).
\[\min_{x\in[-6,6]}f(x)=f\left(\frac{11}{2}\right)=-\frac{121}{4}\]
Sprawdzenie
Dla każdego x z przedziału kwadrat we wzorze funkcji jest nieujemny, a dla \(x=\frac{11}{2}\) wynosi zero. Otrzymana wartość jest więc osiągana i żadna mniejsza nie jest możliwa.
\[f(x)+\frac{121}{4}=\left(x-\frac{11}{2}\right)^2\geq 0\]