Otwarte2 pkt
Wykaż, że jeżeli liczby rzeczywiste \(a\), \(b\), \(c\) spełniają warunek \(abc=1\), to \(a^{-1}+b^{-1}+c^{-1}=ab+ac+bc\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Ustalenie warunków
Ponieważ iloczyn liczb wynosi 1, żadna z nich nie jest zerem. Możemy więc obliczać ich odwrotności.
\[abc=1\implies a\ne 0,\ b\ne 0,\ c\ne 0\]
2 Zastąpienie odwrotności iloczynami
Z warunku \(abc=1\) dzielimy kolejno przez \(a\), \(b\) i \(c\), a następnie dodajemy otrzymane równości.
\[\frac1a=bc,\quad \frac1b=ac,\quad \frac1c=ab\quad\implies\quad a^{-1}+b^{-1}+c^{-1}=ab+ac+bc\]
Odpowiedź
Równość zachodzi dla wszystkich liczb rzeczywistych spełniających \(abc=1\).
\[a^{-1}+b^{-1}+c^{-1}=ab+ac+bc\]
Sprawdzenie
Po pomnożeniu obu stron wykazywanej równości przez niezerowy iloczyn \(abc=1\) otrzymujemy po obu stronach tę samą sumę.
\[abc\left(\frac1a+\frac1b+\frac1c\right)=bc+ac+ab=abc(ab+ac+bc)\]