Otwarte2 pkt
Jeżeli do licznika pewnego nieskracalnego ułamka dodamy 32, a mianownik pozostawimy niezmieniony, to otrzymamy liczbę \(2\). Jeżeli natomiast od licznika i od mianownika tego ułamka odejmiemy 6, to otrzymamy liczbę \(\frac{8}{17}\). Wyznacz ten ułamek.
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Zapisanie warunków
Oznaczamy licznik przez a, a mianownik przez b. Mianowniki muszą być różne od zera.
\[\frac{a+32}{b}=2,\qquad \frac{a-6}{b-6}=\frac{8}{17},\qquad b\ne 0,\ b\ne 6\]
2 Wyznaczenie mianownika
Z pierwszego równania wyznaczamy a, podstawiamy do drugiego i mnożymy na krzyż.
\[a=2b-32,\qquad 17(2b-38)=8(b-6),\qquad 34b-646=8b-48,\qquad 26b=598,\qquad b=23\]
3 Wyznaczenie licznika
Podstawiamy obliczony mianownik do wzoru na a.
\[a=2\cdot23-32=14\]
Odpowiedź
Szukany ułamek to 14/23.
\[\frac{14}{23}\]
Sprawdzenie
Dodanie 32 do licznika daje 46/23 = 2, a odjęcie 6 od licznika i mianownika daje 8/17. Mianowniki 23 i 17 są niezerowe, a liczby 14 i 23 są względnie pierwsze, więc ułamek jest nieskracalny.
\[\frac{14+32}{23}=2,\qquad \frac{14-6}{23-6}=\frac{8}{17},\qquad \operatorname{NWD}(14,23)=1\]