Otwarte2 pkt
Rozwiąż nierówność \(3x^2-6x\geq(x-2)(x-8)\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Przenieś wyrazy na jedną stronę
Rozwijamy iloczyn i sprowadzamy nierówność do postaci, której znak można zbadać.
\[3x^2-6x\geq x^2-10x+16\iff 2x^2+4x-16\geq 0\]
2 Rozłóż na czynniki
Dzielimy przez dodatnie 2, więc znak nierówności się nie zmienia. Następnie wyznaczamy miejsca zerowe iloczynu.
\[x^2+2x-8\geq 0\iff (x+4)(x-2)\geq 0\]
3 Ustal znak iloczynu
Iloczyn jest nieujemny, gdy oba czynniki mają ten sam znak; miejsca zerowe także należą do rozwiązania.
\[x\leq -4\quad\text{lub}\quad x\geq 2\]
Odpowiedź
Zbiorem rozwiązań jest suma przedziałów od minus nieskończoności do −4 oraz od 2 do nieskończoności.
\[x\in(-\infty,-4]\cup[2,\infty)\]
Sprawdzenie
Dla obu końców przedziałów iloczyn jest równy zero. Między nimi, na przykład dla x=0, wynosi −8, więc ten przedział nie spełnia nierówności.
\[(-4+4)(-4-2)=0,\quad(2+4)(2-2)=0,\quad(0+4)(0-2)=-8<0\]