Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

1468 zadańStrona 66 z 98

Sortuj:

Zadanie 21

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Proste o równaniach \(y=\frac{2}{3}x-3\) oraz \(y=(2m-1)x+1\) są prostopadłe, gdy

\(m=-\frac{5}{4}\)

\(m=-\frac{1}{4}\)

\(m=\frac{5}{6}\)

\(m=\frac{5}{4}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek prostopadłości

Iloczyn współczynników kierunkowych prostych prostopadłych wynosi \(-1\).

\[\frac{2}{3}(2m-1)=-1\]

2 Obliczenie parametru

Dzielimy przez \(\frac{2}{3}\), a następnie rozwiązujemy równanie liniowe.

\[2m-1=-\frac{3}{2}\quad\Rightarrow\quad 2m=-\frac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad m=-\frac{1}{4}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: \(m=-\frac{1}{4}\).

\[m=-\frac{1}{4}\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanej wartości drugi współczynnik kierunkowy wynosi \(-\frac{3}{2}\), a iloczyn współczynników jest równy \(-1\).

\[\frac{2}{3}\left(2\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)-1\right)=\frac{2}{3}\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)=-1\]

Zadanie 22

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Punkty \(A=(1,-3)\) oraz \(C=(-2,4)\) są końcami przekątnej \(AC\) rombu \(ABCD\). Środek przekątnej \(BD\) tego rombu ma współrzędne

\(\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\)

\(\left(\frac{1}{2},-\frac{3}{2}\right)\)

\((-1,2)\)

\((-1,1)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wspólny środek przekątnych

Romb jest równoległobokiem, więc jego przekątne dzielą się na połowy. Środek przekątnej BD jest zatem środkiem odcinka AC.

\[S_{BD}=S_{AC}\]

2 Obliczenie współrzędnych

Współrzędne środka odcinka są średnimi odpowiednich współrzędnych jego końców.

\[S_{BD}=\left(\frac{1+(-2)}{2},\frac{-3+4}{2}\right)=\left(-\frac12,\frac12\right)\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[\left(-\frac12,\frac12\right)\]

Sprawdzenie

Otrzymany punkt jest środkiem AC: różnice współrzędnych między nim a A oraz między C a nim są równe.

\[\left(-\frac12,\frac12\right)-(1,-3)=\left(-\frac32,\frac72\right)=(-2,4)-\left(-\frac12,\frac12\right)\]

Zadanie 23

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Punkty \(A=(-6,5)\), \(B=(5,7)\), \(C=(10,-3)\) są wierzchołkami równoległoboku \(ABCD\). Długość przekątnej \(BD\) tego równoległoboku jest równa

\(3\sqrt{5}\)

\(4\sqrt{5}\)

\(6\sqrt{5}\)

\(8\sqrt{5}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie punktu D

W równoległoboku przeciwległe boki mają równe wektory, więc \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\).

\[D=A+(C-B)=(-6,5)+(5,-10)=(-1,-5)\]

2 Obliczenie długości przekątnej

Stosujemy wzór na odległość punktów \(B\) i \(D\).

\[|BD|=\sqrt{(-1-5)^2+(-5-7)^2}=\sqrt{36+144}=6\sqrt{5}\]

Odpowiedź

Długość przekątnej BD wynosi 6√5. Odpowiedź C.

\[|BD|=6\sqrt{5}\]

Sprawdzenie

Wektor AD jest równy wektorowi BC, więc wyznaczony punkt D tworzy wskazany równoległobok. Ponadto (6√5)² = 180 = 6² + 12².

\[\overrightarrow{AD}=(5,-10)=\overrightarrow{BC},\qquad (6\sqrt{5})^2=6^2+12^2\]

Zadanie 24

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Obrazem prostej o równaniu \(y=2x+5\) w symetrii osiowej względem osi \(Ox\) jest prosta o równaniu

\(y=2x-5\)

\(y=-2x-5\)

\(y=-2x+5\)

\(y=2x+5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie symetrii

Symetria względem osi \(Ox\) zachowuje współrzędną \(x\) i zmienia znak współrzędnej \(y\). Dlatego w równaniu prostej zastępujemy \(y\) przez \(-y\).

\[-y=2x+5\quad\Longrightarrow\quad y=-2x-5\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: \(y=-2x-5\).

\[y=-2x-5\]

Sprawdzenie

Punkty \((0,5)\) i \((1,7)\) leżą na danej prostej. Ich obrazy \((0,-5)\) i \((1,-7)\) spełniają otrzymane równanie.

\[-5=-2\cdot 0-5,\qquad -7=-2\cdot 1-5\]

Zadanie 25

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

W graniastosłupie prawidłowym stosunek liczby wszystkich krawędzi do liczby wszystkich ścian jest równy \(7:3\). Podstawą tego graniastosłupa jest

trójkąt.

pięciokąt.

siedmiokąt.

ośmiokąt.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Policzenie krawędzi i ścian

Jeśli podstawa jest n-kątem, graniastosłup ma po n krawędzi w każdej podstawie oraz n krawędzi bocznych. Ma też n ścian bocznych i dwie podstawy.

\[K=3n,\qquad S=n+2\]

2 Wyznaczenie liczby boków podstawy

Podstawiamy te liczby do podanego stosunku i rozwiązujemy równanie.

\[\frac{3n}{n+2}=\frac{7}{3}\quad\Longrightarrow\quad 9n=7n+14\quad\Longrightarrow\quad n=7\]

Odpowiedź

C. Podstawą jest siedmiokąt.

\[n=7\]

Sprawdzenie

Dla siedmiokąta graniastosłup ma 21 krawędzi i 9 ścian, więc ich stosunek wynosi 7:3.

\[\frac{21}{9}=\frac{7}{3}\]

Zadanie 26

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Średnia arytmetyczna zestawu liczb \(a, b, c, d\) jest równa \(20\). Wtedy średnia arytmetyczna zestawu liczb \(a-10, b+30, c, d\) jest równa

\(10\)

\(20\)

\(25\)

\(30\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie sumy

Średnia czterech liczb wynosi 20, więc ich suma jest cztery razy większa.

\[a+b+c+d=4\cdot20=80\]

2 Obliczenie nowej średniej

Zmiany dwóch liczb zwiększają sumę o 20; dzielimy nową sumę przez 4.

\[\frac{(a-10)+(b+30)+c+d}{4}=\frac{80-10+30}{4}=25\]

Odpowiedź

Średnia wynosi 25. Odpowiedź C.

\[25\]

Sprawdzenie

Suma wzrosła o 20, więc średnia czterech liczb wzrosła o 5: z 20 do 25.

\[20+\frac{20}{4}=25\]

Zadanie 27

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Kombinatoryka

Wszystkich trzycyfrowych liczb naturalnych większych od \(300\) o wszystkich cyfrach parzystych jest

\(6\cdot10\cdot10\)

\(3\cdot10\cdot10\)

\(6\cdot5\cdot5\)

\(3\cdot5\cdot5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wybór cyfry setek

Liczba ma być większa od 300, a cyfra setek parzysta. Możliwe są więc trzy cyfry setek.

\[4,\ 6,\ 8\]

2 Wybór pozostałych cyfr

Cyfrę dziesiątek i cyfrę jedności wybieramy niezależnie spośród pięciu cyfr parzystych. Z zasady mnożenia otrzymujemy liczbę możliwości.

\[3\cdot5\cdot5=75\]

Odpowiedź

Jest 75 takich liczb. Odpowiedź D.

\[75=3\cdot5\cdot5\]

Sprawdzenie

Dla każdej z trzech cyfr setek powstaje 25 liczb. Wszystkie są większe od 300 i mają wyłącznie cyfry parzyste.

\[5\cdot5=25,\qquad 3\cdot25=75\]

Zadanie 28

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego do sześciu. Niech \(p\) oznacza prawdopodobieństwo otrzymania w drugim rzucie liczby oczek podzielnej przez \(3\). Wtedy

\(p=\frac{1}{18}\)

\(p=\frac{1}{6}\)

\(p=\frac{1}{3}\)

\(p=\frac{2}{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wskazanie korzystnych wyników

W drugim rzucie liczba oczek podzielna przez 3 to 3 lub 6, czyli dwa z sześciu jednakowo prawdopodobnych wyników.

\[p=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[p=\frac{1}{3}\]

Sprawdzenie

W dwóch rzutach jest 36 jednakowo prawdopodobnych par wyników. W 12 z nich drugi wynik to 3 lub 6, więc otrzymujemy to samo prawdopodobieństwo.

\[\frac{12}{36}=\frac{1}{3}\]

Zadanie 29

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

Rozwiąż nierówność \(3x^2-8x\geq 3\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przenieś wyrazy na jedną stronę

Porównujemy trójmian kwadratowy z zerem, aby wyznaczyć przedziały, w których jest nieujemny.

\[3x^2-8x\geq 3\iff 3x^2-8x-3\geq 0\]

2 Oblicz miejsca zerowe

Miejsca zerowe dzielą oś liczbową na przedziały o stałym znaku trójmianu.

\[\Delta=(-8)^2-4\cdot3\cdot(-3)=100,\qquad x_1=\frac{8-10}{6}=-\frac13,\quad x_2=\frac{8+10}{6}=3\]

3 Wyznacz rozwiązanie

Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, więc trójmian jest nieujemny poza przedziałem między miejscami zerowymi. Końce należą do rozwiązania, ponieważ nierówność jest nieostra.

\[x\in\left(-\infty,-\frac13\right]\cup[3,\infty)\]

Odpowiedź

Rozwiązaniem jest suma przedziałów od minus nieskończoności do minus jednej trzeciej włącznie oraz od trzech włącznie do nieskończoności.

\[x\in\left(-\infty,-\frac13\right]\cup[3,\infty)\]

Sprawdzenie

Po rozłożeniu trójmianu na czynniki iloczyn jest nieujemny dla wskazanych wartości x; w obu końcach jest równy zeru.

\[3x^2-8x-3=(3x+1)(x-3)\geq0\quad\text{dla}\quad x\leq-\frac13\ \text{lub}\ x\geq3\]

Zadanie 30

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Ciągi

Trójwyrazowy ciąg \((x, y-4, y)\) jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa \(6\). Oblicz wszystkie wyrazy tego ciągu.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek ciągu arytmetycznego

Środkowy wyraz ciągu arytmetycznego jest średnią sąsiednich wyrazów.

\[2(y-4)=x+y\quad\Rightarrow\quad x=y-8\]

2 Suma wyrazów

Podstawiamy wyrażenie na \(x\) do równania opisującego sumę.

\[x+(y-4)+y=6\quad\Rightarrow\quad (y-8)+2y-4=6\quad\Rightarrow\quad 3y=18\quad\Rightarrow\quad y=6\]

3 Wyznaczenie wyrazów

Obliczamy pierwszy i środkowy wyraz.

\[x=6-8=-2,\qquad y-4=6-4=2\]

Odpowiedź

Wyrazy ciągu to \((-2,2,6)\).

\[(-2,2,6)\]

Sprawdzenie

Obie różnice są równe \(4\), a suma wyrazów wynosi \(6\).

\[2-(-2)=6-2=4,\qquad -2+2+6=6\]

Zadanie 31

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Wyrażenia algebraiczne

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) różnej od \(0\) i każdej liczby rzeczywistej \(b\) różnej od \(0\) spełniona jest nierówność \(2a^2-4ab+5b^2>0\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Uzupełnienie do kwadratu

Zapisujemy wyrażenie jako sumę składników, których znaki łatwo ustalić.

\[2a^2-4ab+5b^2=2(a-b)^2+3b^2\]

2 Wykazanie dodatniości

Kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny, a ponieważ \(b\neq 0\), mamy \(3b^2>0\). Cała suma jest więc dodatnia.

\[2(a-b)^2\geq 0,\qquad 3b^2>0\quad\Longrightarrow\quad 2a^2-4ab+5b^2>0\]

Odpowiedź

Nierówność zachodzi dla wszystkich podanych liczb \(a\) i \(b\).

\[2a^2-4ab+5b^2>0\]

Sprawdzenie

Po rozwinięciu kwadratu otrzymujemy wyjściowe wyrażenie. Warunek \(b\neq 0\) zapewnia ścisłą dodatniość nawet wtedy, gdy \(a=b\).

\[2(a-b)^2+3b^2=2a^2-4ab+2b^2+3b^2=2a^2-4ab+5b^2\]

Zadanie 32

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

Rozwiąż równanie \(\frac{4}{x+2}=x-1\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Dziedzina

Mianownik musi być różny od zera, więc wykluczamy \(x=-2\).

\[x+2\ne 0\quad\Longrightarrow\quad x\ne -2\]

2 Usunięcie mianownika

Mnożymy obie strony równania przez \(x+2\), które w dziedzinie jest różne od zera.

\[\frac{4}{x+2}=x-1\quad\Longrightarrow\quad 4=(x-1)(x+2)\]

3 Rozwiązanie równania kwadratowego

Rozwijamy iloczyn i rozkładamy trójmian na czynniki. Iloczyn jest zerem, gdy co najmniej jeden czynnik jest zerem.

\[4=x^2+x-2\quad\Longrightarrow\quad x^2+x-6=0\quad\Longrightarrow\quad (x+3)(x-2)=0\quad\Longrightarrow\quad x=-3\ \text{lub}\ x=2\]

Odpowiedź

Rozwiązania równania to \(x=-3\) i \(x=2\).

\[x\in\{-3,2\}\]

Sprawdzenie

Obie liczby należą do dziedziny. Dla \(x=-3\) obie strony równania są równe \(-4\), a dla \(x=2\) są równe \(1\).

\[\frac{4}{-3+2}=-4=-3-1,\qquad \frac{4}{2+2}=1=2-1\]

Zadanie 33

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

Dany jest trójkąt równoboczny \(ABC\) o boku długości \(24\). Punkt \(E\) leży na boku \(AB\), a punkt \(F\) – na boku \(BC\) tego trójkąta. Odcinek \(EF\) jest równoległy do boku \(AC\) i przechodzi przez środek \(S\) wysokości \(CD\) trójkąta \(ABC\) (zobacz rysunek). Oblicz długość odcinka \(EF\).

Trójkąt równoboczny ABC o boku 24. Punkty E i D leżą na boku AB, punkt F na boku BC. Wysokość CD przecina odcinek EF w punkcie S.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie długości AE

W trójkącie równobocznym wysokość CD dzieli podstawę na połowy. Ponieważ S jest środkiem CD i ES jest równoległy do AC, z twierdzenia o odcinku łączącym środki boków trójkąta ACD wynika, że E jest środkiem AD.

\[AD=\frac{AB}{2}=12,\qquad AE=\frac{AD}{2}=6\]

2 Obliczenie EF

Trójkąty EBF i ABC są podobne, ponieważ EF jest równoległy do AC. Stosunek odpowiadających boków pozwala obliczyć EF.

\[BE=AB-AE=24-6=18,\qquad \frac{EF}{AC}=\frac{BE}{BA}=\frac{18}{24},\qquad EF=24\cdot\frac{18}{24}=18\]

Odpowiedź

Długość odcinka EF wynosi 18.

\[EF=18\]

Sprawdzenie

Otrzymany stosunek podobieństwa to 3/4. Daje on BE=3/4·24=18, zgodnie z położeniem E wyznaczonym przez środek wysokości.

\[\frac{EF}{AC}=\frac{18}{24}=\frac34=\frac{BE}{BA}\]

Zadanie 34

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Ze zbioru pięciu liczb \(\{-5,-4,1,2,3\}\) losujemy kolejno ze zwracaniem dwa razy po jednej liczbie. Zdarzenie \(A\) polega na wylosowaniu dwóch liczb, których iloczyn jest ujemny. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba możliwych wyników

Losujemy dwukrotnie ze zwracaniem, więc w każdym losowaniu mamy 5 możliwości. Kolejność ma znaczenie.

\[|\Omega|=5\cdot5=25\]

2 Liczba wyników sprzyjających

Iloczyn jest ujemny, gdy jedna liczba jest ujemna, a druga dodatnia. W zbiorze są 2 liczby ujemne i 3 dodatnie; mogą wystąpić w obu kolejnościach.

\[|A|=2\cdot3+3\cdot2=12\]

3 Obliczenie prawdopodobieństwa

Wszystkie uporządkowane pary są jednakowo prawdopodobne, więc dzielimy liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich wyników.

\[P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{12}{25}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi 12/25.

\[P(A)=\frac{12}{25}\]

Sprawdzenie

Iloczyn jest dodatni dla dwóch liczb ujemnych lub dwóch dodatnich. Takich par jest 4+9=13, a wraz z 12 parami o iloczynie ujemnym daje to wszystkie 25 par.

\[2\cdot2+3\cdot3+12=4+9+12=25\]

Zadanie 35

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Stereometria

Dany jest graniastosłup prosty \(ABCDEFGH\), którego podstawą jest prostokąt \(ABCD\). W tym graniastosłupie \(|BD|=15\), a ponadto \(|CD|=3+|BC|\) oraz \(|\angle CDG|=60^\circ\) (zobacz rysunek).

Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa.

Graniastosłup prosty ABCDEFGH o podstawie ABCD; zaznaczono przekątną BD długości 15 oraz kąt CDG równy 60°.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Długości boków podstawy

Oznaczamy \(|BC|=x>0\), więc \(|CD|=x+3\). Przekątna prostokąta tworzy z jego bokami trójkąt prostokątny, dlatego stosujemy twierdzenie Pitagorasa.

\[x^2+(x+3)^2=15^2\;\Longrightarrow\;x^2+3x-108=0\;\Longrightarrow\;(x-9)(x+12)=0\]

2 Wybór dodatniego rozwiązania

Długość boku musi być dodatnia, więc odrzucamy \(x=-12\).

\[|BC|=9,\qquad |CD|=12\]

3 Wysokość graniastosłupa

W trójkącie \(DCG\) kąt przy \(C\) jest prosty. Z tangensa kąta \(CDG\) obliczamy wysokość \(h=|CG|\).

\[\tan 60^\circ=\frac{h}{|CD|}\;\Longrightarrow\;h=12\sqrt{3}\]

4 Objętość i pole boczne

Objętość to pole podstawy razy wysokość, a pole boczne graniastosłupa prostego to obwód podstawy razy wysokość.

\[V=(9\cdot12)\cdot12\sqrt{3}=1296\sqrt{3},\qquad P_b=2(9+12)\cdot12\sqrt{3}=504\sqrt{3}\]

Odpowiedź

Objętość wynosi \(1296\sqrt{3}\) jednostek sześciennych, a pole powierzchni bocznej \(504\sqrt{3}\) jednostek kwadratowych.

\[V=1296\sqrt{3},\qquad P_b=504\sqrt{3}\]

Sprawdzenie

Otrzymane boki spełniają warunki: ich różnica wynosi 3, przekątna ma długość 15, a iloraz wysokości i boku \(CD\) jest równy tangensowi kąta \(60^\circ\).

\[12-9=3,\qquad \sqrt{9^2+12^2}=15,\qquad \frac{12\sqrt{3}}{12}=\sqrt{3}=\tan 60^\circ\]