Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

1048 zadańStrona 65 z 70

Sortuj:

Zadanie 15

Matura 2016 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Kąt rozwarcia stożka ma miarę \(120^\circ\), a tworząca tego stożka ma długość \(6\). Promień podstawy stożka jest równy

\(3\)

\(6\)

\(3\sqrt{3}\)

\(6\sqrt{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przekrój osiowy

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym. Wysokość dzieli kąt rozwarcia na dwa kąty po \(60^\circ\), tworząc trójkąt prostokątny.

\[\frac{120^\circ}{2}=60^\circ\]

2 Obliczenie promienia

W tym trójkącie promień jest przyprostokątną naprzeciw kąta \(60^\circ\), a tworząca długości \(6\) jest przeciwprostokątną. Korzystamy z definicji sinusa.

\[\sin 60^\circ=\frac{r}{6},\qquad r=6\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\]

Odpowiedź

Promień podstawy wynosi \(3\sqrt{3}\). Odpowiedź C.

\[r=3\sqrt{3}\]

Sprawdzenie

Otrzymany promień jest krótszy od tworzącej, a iloraz promienia i tworzącej jest równy sinusowi połowy kąta rozwarcia.

\[3\sqrt{3}<6,\qquad \frac{3\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin 60^\circ\]

Zadanie 16

Matura 2016 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Wartość wyrażenia \((\operatorname{tg}60^\circ+\operatorname{tg}45^\circ)^2-\sin60^\circ\) jest równa

\(2-\frac{3\sqrt{3}}{2}\)

\(2+\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(4-\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(4+\frac{3\sqrt{3}}{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie wartości funkcji

Korzystamy z wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 60° i 45°.

\[\operatorname{tg}60^\circ=\sqrt{3},\quad \operatorname{tg}45^\circ=1,\quad \sin60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\]

2 Obliczenie wyrażenia

Rozwijamy kwadrat sumy, a następnie redukujemy wyrazy z pierwiastkiem.

\[(\sqrt{3}+1)^2-\frac{\sqrt{3}}{2}=3+2\sqrt{3}+1-\frac{\sqrt{3}}{2}=4+\frac{3\sqrt{3}}{2}\]

Odpowiedź

\[4+\frac{3\sqrt{3}}{2}\]

Sprawdzenie

Po odjęciu 4 od wyniku otrzymujemy 3√3/2, czyli wyraz z pierwiastkiem podany w odpowiedzi D.

\[2\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{4\sqrt{3}-\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\]

Zadanie 17

Matura 2016 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Dany jest walec, w którym promień podstawy jest równy \(r\), a wysokość walca jest od tego promienia dwa razy większa. Objętość tego walca jest równa

\(2\pi r^3\)

\(4\pi r^3\)

\(\pi r^2(r+2)\)

\(\pi r^2(r-2)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wysokości

Wysokość jest dwa razy większa od promienia, więc przyjmujemy \(h=2r\).

\[h=2r\]

2 Obliczenie objętości

Objętość walca to pole podstawy pomnożone przez wysokość. Podstawiamy \(h=2r\).

\[V=\pi r^2h=\pi r^2\cdot 2r=2\pi r^3\]

Odpowiedź

Objętość walca wynosi \(2\pi r^3\). Odpowiedź A.

\[V=2\pi r^3\]

Sprawdzenie

Dla \(r>0\) wysokość \(2r\) jest dodatnia, a wynik ma jednostkę objętości, ponieważ zawiera \(r^3\).

\[r>0,\quad h=2r>0\]

Zadanie 18

Matura 2016 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Przekątne równoległoboku mają długości 4 i 8, a kąt między tymi przekątnymi ma miarę \(30^\circ\). Pole tego równoległoboku jest równe

\(32\)

\(16\)

\(12\)

\(8\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podział równoległoboku

Przekątne równoległoboku dzielą się na połowy i wyznaczają cztery trójkąty o równych polach. Połówki przekątnych mają długości 2 i 4.

\[\frac{4}{2}=2,\qquad \frac{8}{2}=4\]

2 Obliczenie pola

Pole jednego trójkąta obliczamy ze wzoru na pole przy dwóch bokach i kącie między nimi. Następnie mnożymy je przez 4.

\[P=4\cdot\frac{1}{2}\cdot2\cdot4\cdot\sin30^\circ=4\cdot4\cdot\frac{1}{2}=8\]

Odpowiedź

Pole wynosi 8. Odpowiedź D.

\[P=8\]

Sprawdzenie

Ze wzoru na pole równoległoboku przez przekątne otrzymujemy ten sam wynik.

\[P=\frac{1}{2}\cdot4\cdot8\cdot\sin30^\circ=8\]

Zadanie 19

Matura 2016 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Punkty \(A\), \(B\), \(C\) i \(D\) leżą na okręgu o środku \(S\). Cięciwa \(CD\) przecina średnicę \(AB\) tego okręgu w punkcie \(E\) tak, że \(|\angle BEC|=100^\circ\). Kąt środkowy \(ASC\) ma miarę \(110^\circ\) (zobacz rysunek).

Kąt wpisany \(BAD\) ma miarę

Okrąg o środku S z punktami A, B, C, D oraz przecięciem cięciwy CD i średnicy AB w punkcie E; zaznaczone kąty 100°, 110° i szukany kąt przy A.

\(15^\circ\)

\(20^\circ\)

\(25^\circ\)

\(30^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie łuku BC

Ponieważ AB jest średnicą, promienie SA i SB są przeciwne. Kąt BSC ma więc miarę 180°−110° i wyznacza łuk BC.

\[m(\widehat{BC})=\angle BSC=180^\circ-110^\circ=70^\circ\]

2 Wyznaczenie łuku AD

Kąt utworzony przez dwie cięciwy przecinające się wewnątrz okręgu jest równy połowie sumy łuków, na których opiera się ten kąt i kąt do niego wierzchołkowy.

\[100^\circ=\frac{m(\widehat{BC})+m(\widehat{AD})}{2}=\frac{70^\circ+m(\widehat{AD})}{2},\quad m(\widehat{AD})=130^\circ\]

3 Obliczenie kąta BAD

Łuki AD i DB tworzą półokrąg, więc łuk DB ma 50°. Kąt wpisany BAD opiera się na tym łuku i ma połowę jego miary.

\[m(\widehat{DB})=180^\circ-130^\circ=50^\circ,\quad \angle BAD=\frac{50^\circ}{2}=25^\circ\]

Odpowiedź

Kąt BAD ma miarę 25°, odpowiedź C.

\[\angle BAD=25^\circ\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanych łuków wzór na kąt BEC daje 100°, zgodnie z daną w zadaniu.

\[\frac{70^\circ+130^\circ}{2}=100^\circ\]

Zadanie 20

Matura 2016 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Okręgi o środkach \(S_1=(3,4)\) oraz \(S_2=(9,-4)\) i równych promieniach są styczne zewnętrznie. Promień każdego z tych okręgów jest równy

\(8\)

\(6\)

\(5\)

\(\frac{5}{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie odległości środków

Korzystamy ze wzoru na odległość punktów w układzie współrzędnych.

\[|S_1S_2|=\sqrt{(9-3)^2+(-4-4)^2}=\sqrt{36+64}=10\]

2 Wyznaczenie promienia

Przy styczności zewnętrznej odległość środków jest sumą promieni. Ponieważ promienie są równe, dzielimy tę odległość przez dwa.

\[2r=10\quad\Rightarrow\quad r=5\]

Odpowiedź

Promień wynosi 5. Odpowiedź C.

\[r=5\]

Sprawdzenie

Suma promieni wynosi 5+5=10, czyli tyle samo co obliczona odległość środków. Warunek styczności zewnętrznej jest spełniony.

\[r+r=5+5=10=|S_1S_2|\]

Zadanie 21

Matura 2016 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości 2, a przekątna ściany bocznej ma długość 3 (zobacz rysunek). Kąt, jaki tworzą przekątne ścian bocznych tego graniastosłupa wychodzące z jednego wierzchołka, ma miarę \(\alpha\).

Wtedy wartość \(\sin\frac{\alpha}{2}\) jest równa

Graniastosłup prawidłowy czworokątny z zaznaczonymi przekątnymi dwóch ścian bocznych, kątem α między nimi oraz oznaczeniami długości 2 i 3.

\(\frac{2}{3}\)

\(\frac{\sqrt{7}}{3}\)

\(\frac{\sqrt{7}}{7}\)

\(\frac{\sqrt{2}}{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Tworzymy trójkąt

Dwie wskazane przekątne ścian bocznych wychodzą z jednego wierzchołka i mają po 3. Ich końce leżą w górnej podstawie kwadratu, a odcinek między nimi jest jego przekątną.

\[d=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}\]

2 Dzielimy kąt na połowy

Powstały trójkąt jest równoramienny. Wysokość opuszczona z wierzchołka kąta \(\alpha\) dzieli ten kąt oraz przeciwległy bok na połowy, więc korzystamy z definicji sinusa w trójkącie prostokątnym.

\[\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{d/2}{3}=\frac{2\sqrt{2}}{6}=\frac{\sqrt{2}}{3}\]

Odpowiedź

Wartość wynosi \(\frac{\sqrt{2}}{3}\), czyli odpowiedź D.

\[\boxed{\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{\sqrt{2}}{3}\quad\text{(D)}}\]

Sprawdzenie

Z twierdzenia Pitagorasa wysokość połowy utworzonego trójkąta ma długość \(\sqrt{7}\). Jej kwadrat i kwadrat połowy podstawy sumują się do \(3^2\), więc użyty trójkąt prostokątny ma właściwe wymiary.

\[(\sqrt{7})^2+(\sqrt{2})^2=7+2=9=3^2\]

Zadanie 22

Matura 2016 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Różnica liczby krawędzi i liczby wierzchołków ostrosłupa jest równa 11. Podstawą tego ostrosłupa jest

dziesięciokąt.

jedenastokąt.

dwunastokąt.

trzynastokąt.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Policz krawędzie i wierzchołki

Jeśli podstawa jest n-kątem, ostrosłup ma n krawędzi podstawy i n krawędzi bocznych oraz n wierzchołków podstawy i jeden wierzchołek ostrosłupa.

\[K=2n,\quad W=n+1\]

2 Wyznacz liczbę boków podstawy

Podstawiamy te liczby do podanej różnicy i rozwiązujemy równanie.

\[K-W=11\quad\Rightarrow\quad 2n-(n+1)=11\quad\Rightarrow\quad n=12\]

Odpowiedź

Podstawą jest dwunastokąt. Odpowiedź C.

\[n=12\]

Sprawdzenie

Ostrosłup ma 24 krawędzie i 13 wierzchołków, więc ich różnica wynosi 11.

\[24-13=11\]

Zadanie 23

Matura 2016 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Jeżeli do zestawu czterech danych: \(4\), \(7\), \(8\), \(x\) dołączymy liczbę \(2\), to średnia arytmetyczna wzrośnie o \(2\). Zatem

\(x=-51\)

\(x=-6\)

\(x=10\)

\(x=29\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie średnich

Średnia to suma danych podzielona przez ich liczbę. Po dołączeniu liczby 2 mamy pięć danych.

\[\overline{x}_4=\frac{19+x}{4},\qquad \overline{x}_5=\frac{21+x}{5}\]

2 Ułożenie i rozwiązanie równania

Nowa średnia jest o 2 większa od poprzedniej, więc przyrównujemy ich różnicę do 2 i mnożymy przez 20.

\[\frac{21+x}{5}-\frac{19+x}{4}=2\quad\Longrightarrow\quad 4(21+x)-5(19+x)=40\quad\Longrightarrow\quad -11-x=40\quad\Longrightarrow\quad x=-51\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: x = −51.

\[x=-51\]

Sprawdzenie

Dla x = −51 początkowa średnia wynosi −8, a po dołączeniu 2 wynosi −6. Wzrosła więc dokładnie o 2.

\[\frac{4+7+8-51}{4}=-8,\qquad \frac{4+7+8-51+2}{5}=-6,\qquad -6-(-8)=2\]

Zadanie 24

Matura 2016 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Kombinatoryka

Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych podzielnych przez 3?

\(12\)

\(24\)

\(29\)

\(30\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie skrajnych liczb

Pierwszą i ostatnią dwucyfrową wielokrotnością 3 są odpowiednio 12 i 99.

\[12=3\cdot4,\qquad 99=3\cdot33\]

2 Policzenie wielokrotności

Liczymy liczby całkowite od 4 do 33 włącznie, dlatego dodajemy 1.

\[33-4+1=30\]

Odpowiedź

Jest 30 takich liczb. Odpowiedź D.

\[30\]

Sprawdzenie

Wśród liczb od 1 do 99 są 33 wielokrotności 3, a wśród liczb od 1 do 9 są 3. Po ich odjęciu pozostaje 30 liczb dwucyfrowych.

\[\frac{99}{3}-\frac{9}{3}=33-3=30\]

Zadanie 25

Matura 2016 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Doświadczenie losowe polega na rzucie dwiema symetrycznymi monetami i sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wynikiem rzutu są dwa orły i sześć oczek na kostce, jest równe

\(\frac{1}{48}\)

\(\frac{1}{24}\)

\(\frac{1}{12}\)

\(\frac{1}{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie prawdopodobieństwa

Rzuty są niezależne, więc mnożymy prawdopodobieństwa uzyskania orła na każdej monecie i sześciu oczek na kostce.

\[P=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{24}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo wynosi 1/24. Odpowiedź B.

\[\boxed{\frac{1}{24}}\]

Sprawdzenie

Dwie monety i kostka dają łącznie 4 · 6 = 24 jednakowo prawdopodobne wyniki. Tylko jeden z nich to dwa orły i sześć oczek, więc wynik 1/24 jest poprawny.

\[\frac{1}{4\cdot 6}=\frac{1}{24}\]

Zadanie 26

Matura 2016 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

Rozwiąż nierówność \(3x^2-6x\geq(x-2)(x-8)\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przenieś wyrazy na jedną stronę

Rozwijamy iloczyn i sprowadzamy nierówność do postaci, której znak można zbadać.

\[3x^2-6x\geq x^2-10x+16\iff 2x^2+4x-16\geq 0\]

2 Rozłóż na czynniki

Dzielimy przez dodatnie 2, więc znak nierówności się nie zmienia. Następnie wyznaczamy miejsca zerowe iloczynu.

\[x^2+2x-8\geq 0\iff (x+4)(x-2)\geq 0\]

3 Ustal znak iloczynu

Iloczyn jest nieujemny, gdy oba czynniki mają ten sam znak; miejsca zerowe także należą do rozwiązania.

\[x\leq -4\quad\text{lub}\quad x\geq 2\]

Odpowiedź

Zbiorem rozwiązań jest suma przedziałów od minus nieskończoności do −4 oraz od 2 do nieskończoności.

\[x\in(-\infty,-4]\cup[2,\infty)\]

Sprawdzenie

Dla obu końców przedziałów iloczyn jest równy zero. Między nimi, na przykład dla x=0, wynosi −8, więc ten przedział nie spełnia nierówności.

\[(-4+4)(-4-2)=0,\quad(2+4)(2-2)=0,\quad(0+4)(0-2)=-8<0\]

Zadanie 27

Matura 2016 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Układy równań

Jeżeli do licznika pewnego nieskracalnego ułamka dodamy 32, a mianownik pozostawimy niezmieniony, to otrzymamy liczbę \(2\). Jeżeli natomiast od licznika i od mianownika tego ułamka odejmiemy 6, to otrzymamy liczbę \(\frac{8}{17}\). Wyznacz ten ułamek.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie warunków

Oznaczamy licznik przez a, a mianownik przez b. Mianowniki muszą być różne od zera.

\[\frac{a+32}{b}=2,\qquad \frac{a-6}{b-6}=\frac{8}{17},\qquad b\ne 0,\ b\ne 6\]

2 Wyznaczenie mianownika

Z pierwszego równania wyznaczamy a, podstawiamy do drugiego i mnożymy na krzyż.

\[a=2b-32,\qquad 17(2b-38)=8(b-6),\qquad 34b-646=8b-48,\qquad 26b=598,\qquad b=23\]

3 Wyznaczenie licznika

Podstawiamy obliczony mianownik do wzoru na a.

\[a=2\cdot23-32=14\]

Odpowiedź

Szukany ułamek to 14/23.

\[\frac{14}{23}\]

Sprawdzenie

Dodanie 32 do licznika daje 46/23 = 2, a odjęcie 6 od licznika i mianownika daje 8/17. Mianowniki 23 i 17 są niezerowe, a liczby 14 i 23 są względnie pierwsze, więc ułamek jest nieskracalny.

\[\frac{14+32}{23}=2,\qquad \frac{14-6}{23-6}=\frac{8}{17},\qquad \operatorname{NWD}(14,23)=1\]

Zadanie 28

Matura 2016 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Wyrażenia algebraiczne

Wykaż, że jeżeli liczby rzeczywiste \(a\), \(b\), \(c\) spełniają warunek \(abc=1\), to \(a^{-1}+b^{-1}+c^{-1}=ab+ac+bc\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustalenie warunków

Ponieważ iloczyn liczb wynosi 1, żadna z nich nie jest zerem. Możemy więc obliczać ich odwrotności.

\[abc=1\implies a\ne 0,\ b\ne 0,\ c\ne 0\]

2 Zastąpienie odwrotności iloczynami

Z warunku \(abc=1\) dzielimy kolejno przez \(a\), \(b\) i \(c\), a następnie dodajemy otrzymane równości.

\[\frac1a=bc,\quad \frac1b=ac,\quad \frac1c=ab\quad\implies\quad a^{-1}+b^{-1}+c^{-1}=ab+ac+bc\]

Odpowiedź

Równość zachodzi dla wszystkich liczb rzeczywistych spełniających \(abc=1\).

\[a^{-1}+b^{-1}+c^{-1}=ab+ac+bc\]

Sprawdzenie

Po pomnożeniu obu stron wykazywanej równości przez niezerowy iloczyn \(abc=1\) otrzymujemy po obu stronach tę samą sumę.

\[abc\left(\frac1a+\frac1b+\frac1c\right)=bc+ac+ab=abc(ab+ac+bc)\]

Zadanie 29

Matura 2016 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Funkcje

Funkcja kwadratowa jest określona wzorem \(f(x)=x^2-11x\). Oblicz najmniejszą wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle -6,6\rangle\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie postaci kanonicznej

Uzupełniamy kwadrat, aby odczytać najmniejszą wartość funkcji.

\[f(x)=x^2-11x=\left(x-\frac{11}{2}\right)^2-\frac{121}{4}\]

2 Sprawdzenie przedziału

Kwadrat jest nieujemny, a punkt, w którym jest równy zeru, należy do danego przedziału.

\[-6\leq\frac{11}{2}\leq 6\]

Odpowiedź

Najmniejsza wartość funkcji w podanym przedziale wynosi \(-\frac{121}{4}\).

\[\min_{x\in[-6,6]}f(x)=f\left(\frac{11}{2}\right)=-\frac{121}{4}\]

Sprawdzenie

Dla każdego x z przedziału kwadrat we wzorze funkcji jest nieujemny, a dla \(x=\frac{11}{2}\) wynosi zero. Otrzymana wartość jest więc osiągana i żadna mniejsza nie jest możliwa.

\[f(x)+\frac{121}{4}=\left(x-\frac{11}{2}\right)^2\geq 0\]