Zamknięte1 pkt
Punkty \(A\), \(B\), \(C\) i \(D\) leżą na okręgu o środku \(S\). Cięciwa \(CD\) przecina średnicę \(AB\) tego okręgu w punkcie \(E\) tak, że \(|\angle BEC|=100^\circ\). Kąt środkowy \(ASC\) ma miarę \(110^\circ\) (zobacz rysunek).
Kąt wpisany \(BAD\) ma miarę
A
\(15^\circ\)
B
\(20^\circ\)
C
\(25^\circ\)
D
\(30^\circ\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Wyznaczenie łuku BC
Ponieważ AB jest średnicą, promienie SA i SB są przeciwne. Kąt BSC ma więc miarę 180°−110° i wyznacza łuk BC.
\[m(\widehat{BC})=\angle BSC=180^\circ-110^\circ=70^\circ\]
2 Wyznaczenie łuku AD
Kąt utworzony przez dwie cięciwy przecinające się wewnątrz okręgu jest równy połowie sumy łuków, na których opiera się ten kąt i kąt do niego wierzchołkowy.
\[100^\circ=\frac{m(\widehat{BC})+m(\widehat{AD})}{2}=\frac{70^\circ+m(\widehat{AD})}{2},\quad m(\widehat{AD})=130^\circ\]
3 Obliczenie kąta BAD
Łuki AD i DB tworzą półokrąg, więc łuk DB ma 50°. Kąt wpisany BAD opiera się na tym łuku i ma połowę jego miary.
\[m(\widehat{DB})=180^\circ-130^\circ=50^\circ,\quad \angle BAD=\frac{50^\circ}{2}=25^\circ\]
Odpowiedź
Kąt BAD ma miarę 25°, odpowiedź C.
\[\angle BAD=25^\circ\]
Sprawdzenie
Dla otrzymanych łuków wzór na kąt BEC daje 100°, zgodnie z daną w zadaniu.
\[\frac{70^\circ+130^\circ}{2}=100^\circ\]