Zamknięte1 pkt
Kąt rozwarcia stożka ma miarę \(120^\circ\), a tworząca tego stożka ma długość \(6\). Promień podstawy stożka jest równy
A
\(3\)
B
\(6\)
C
\(3\sqrt{3}\)
D
\(6\sqrt{3}\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Przekrój osiowy
Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym. Wysokość dzieli kąt rozwarcia na dwa kąty po \(60^\circ\), tworząc trójkąt prostokątny.
\[\frac{120^\circ}{2}=60^\circ\]
2 Obliczenie promienia
W tym trójkącie promień jest przyprostokątną naprzeciw kąta \(60^\circ\), a tworząca długości \(6\) jest przeciwprostokątną. Korzystamy z definicji sinusa.
\[\sin 60^\circ=\frac{r}{6},\qquad r=6\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\]
Odpowiedź
Promień podstawy wynosi \(3\sqrt{3}\). Odpowiedź C.
\[r=3\sqrt{3}\]
Sprawdzenie
Otrzymany promień jest krótszy od tworzącej, a iloraz promienia i tworzącej jest równy sinusowi połowy kąta rozwarcia.
\[3\sqrt{3}<6,\qquad \frac{3\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin 60^\circ\]