Zadanie 21 — matura 2016, sierpień | Matematyka podstawowa, F-2015

Matura 2016 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości 2, a przekątna ściany bocznej ma długość 3 (zobacz rysunek). Kąt, jaki tworzą przekątne ścian bocznych tego graniastosłupa wychodzące z jednego wierzchołka, ma miarę \(\alpha\).

Wtedy wartość \(\sin\frac{\alpha}{2}\) jest równa

Graniastosłup prawidłowy czworokątny z zaznaczonymi przekątnymi dwóch ścian bocznych, kątem α między nimi oraz oznaczeniami długości 2 i 3.

\(\frac{2}{3}\)

\(\frac{\sqrt{7}}{3}\)

\(\frac{\sqrt{7}}{7}\)

\(\frac{\sqrt{2}}{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Tworzymy trójkąt

Dwie wskazane przekątne ścian bocznych wychodzą z jednego wierzchołka i mają po 3. Ich końce leżą w górnej podstawie kwadratu, a odcinek między nimi jest jego przekątną.

\[d=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}\]

2 Dzielimy kąt na połowy

Powstały trójkąt jest równoramienny. Wysokość opuszczona z wierzchołka kąta \(\alpha\) dzieli ten kąt oraz przeciwległy bok na połowy, więc korzystamy z definicji sinusa w trójkącie prostokątnym.

\[\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{d/2}{3}=\frac{2\sqrt{2}}{6}=\frac{\sqrt{2}}{3}\]

Odpowiedź

Wartość wynosi \(\frac{\sqrt{2}}{3}\), czyli odpowiedź D.

\[\boxed{\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{\sqrt{2}}{3}\quad\text{(D)}}\]

Sprawdzenie

Z twierdzenia Pitagorasa wysokość połowy utworzonego trójkąta ma długość \(\sqrt{7}\). Jej kwadrat i kwadrat połowy podstawy sumują się do \(3^2\), więc użyty trójkąt prostokątny ma właściwe wymiary.

\[(\sqrt{7})^2+(\sqrt{2})^2=7+2=9=3^2\]