Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

1468 zadańStrona 65 z 98

Sortuj:

Zadanie 6

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(\frac{8x-3}{4}>6x\) jest przedział

\(\left(-\infty,-\frac{3}{4}\right)\)

\(\left(-\frac{3}{4},+\infty\right)\)

\(\left(-\infty,-\frac{3}{16}\right)\)

\(\left(-\frac{3}{16},+\infty\right)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Usunięcie mianownika

Mnożymy obie strony przez dodatnie 4, więc znak nierówności się nie zmienia.

\[\frac{8x-3}{4}>6x\iff 8x-3>24x\]

2 Wyznaczenie x

Przenosimy wyrazy z x na jedną stronę i dzielimy przez dodatnie 16.

\[8x-3>24x\iff -3>16x\iff x<-\frac{3}{16}\]

Odpowiedź

Zbiorem rozwiązań jest przedział z odpowiedzi C.

\[x\in\left(-\infty,-\frac{3}{16}\right)\]

Sprawdzenie

Dla końca przedziału obie strony nierówności są równe, więc nie należy on do zbioru rozwiązań. Dla x=0 nierówność jest fałszywa, co potwierdza kierunek przedziału.

\[x=-\frac{3}{16}:\quad \frac{8x-3}{4}=6x=-\frac{9}{8};\qquad x=0:\quad -\frac{3}{4}>0\;\text{— fałsz}\]

Zadanie 7

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Suma wszystkich rozwiązań równania \((2x-1)(2x-2)(x+2)=0\) jest równa

\(\left(-\frac{7}{2}\right)\)

\(\left(-\frac{1}{2}\right)\)

\(\frac{1}{2}\)

\(1\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie rozwiązań

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden jego czynnik jest równy zeru.

\[2x-1=0\Rightarrow x=\frac12,\qquad 2x-2=0\Rightarrow x=1,\qquad x+2=0\Rightarrow x=-2\]

2 Obliczenie sumy

Dodajemy wszystkie trzy rozwiązania.

\[\frac12+1-2=-\frac12\]

Odpowiedź

Suma wynosi −1/2. Odpowiedź B.

\[-\frac12\]

Sprawdzenie

Dla każdej z liczb 1/2, 1 i −2 jeden z czynników równania jest zerem. Są to wszystkie rozwiązania, ponieważ każdy czynnik jest liniowy; ich suma wynosi −1/2.

\[\frac12+1+(-2)=-\frac12\]

Zadanie 8

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Punkt \(A=(1,2)\) należy do wykresu funkcji \(f\), określonej wzorem \(f(x)=(m^{2}-3)x^{3}-m^{2}+m+1\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Wtedy

\(m=-4\)

\(m=-2\)

\(m=0\)

\(m=4\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie współrzędnych punktu

Ponieważ punkt \(A=(1,2)\) należy do wykresu, mamy \(f(1)=2\).

\[(m^{2}-3)\cdot1^{3}-m^{2}+m+1=2\]

2 Uproszczenie równania

Wyrazy z \(m^{2}\) się redukują, więc możemy obliczyć \(m\).

\[m-2=2\quad\Rightarrow\quad m=4\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: \(m=4\).

\[m=4\]

Sprawdzenie

Dla \(m=4\) wartość funkcji w punkcie \(x=1\) wynosi \(2\), więc punkt \(A\) należy do wykresu.

\[f(1)=(16-3)-16+4+1=2\]

Zadanie 9

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja liniowa \(f\) określona wzorem \(f(x)=(2m-5)x+22\) jest rosnąca dla

\(m>\frac{2}{5}\)

\(m>2{,}5\)

\(m>0\)

\(m>2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek wzrostu

Funkcja liniowa jest rosnąca wtedy i tylko wtedy, gdy jej współczynnik kierunkowy jest dodatni.

\[2m-5>0\]

2 Rozwiązanie nierówności

Dodajemy 5 do obu stron i dzielimy przez dodatnią liczbę 2.

\[2m>5\quad\Longrightarrow\quad m>\frac{5}{2}=2{,}5\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: m > 2,5.

\[m>2{,}5\]

Sprawdzenie

Dla m = 2,5 współczynnik kierunkowy wynosi 0, więc funkcja jest stała. Dla m > 2,5 jest dodatni, zatem funkcja jest rosnąca.

\[m>2{,}5\ \Longrightarrow\ 2m-5>0\]

Zadanie 10

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja kwadratowa \(f\) określona wzorem \(f(x)=x^{2}+bx+c\) osiąga dla \(x=2\) wartość najmniejszą równą \(4\). Wtedy

\(b=-4,\ c=8\)

\(b=4,\ c=-8\)

\(b=-4,\ c=-8\)

\(b=4,\ c=8\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie współczynnika b

Funkcja osiąga minimum w wierzchołku, którego pierwsza współrzędna wynosi \(-\frac{b}{2}\).

\[-\frac{b}{2}=2\quad\Rightarrow\quad b=-4\]

2 Wyznaczenie współczynnika c

Najmniejsza wartość funkcji wynosi \(f(2)=4\), więc podstawiamy \(x=2\).

\[2^2+(-4)\cdot2+c=4\quad\Rightarrow\quad c=8\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: \(b=-4\), \(c=8\).

\[b=-4,\quad c=8\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu otrzymujemy \(f(x)=(x-2)^2+4\). Kwadrat jest nieujemny, więc najmniejsza wartość to \(4\), osiągana dla \(x=2\).

\[f(x)=x^2-4x+8=(x-2)^2+4\geqslant4\]

Zadanie 11

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Dana jest funkcja kwadratowa \(f\) określona wzorem \(f(x)=-2(x-2)(x+1)\). Funkcja \(f\) jest rosnąca w zbiorze

\((-\infty,\frac{1}{2}\rangle\)

\((-1,2)\)

\((0,\frac{5}{2})\)

\(\langle\frac{5}{2},+\infty)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wierzchołka

Sprowadzamy wzór do postaci kanonicznej, aby odczytać, gdzie funkcja zmienia monotoniczność.

\[f(x)=-2x^2+2x+4=-2\left(x-\frac12\right)^2+\frac92\]

2 Ustalenie przedziału wzrostu

Współczynnik przy kwadracie jest ujemny, więc parabola jest skierowana ramionami w dół. Funkcja rośnie do wierzchołka o pierwszej współrzędnej równej \(\frac12\).

\[x\in\left(-\infty,\frac12\right\rangle\]

Odpowiedź

Funkcja jest rosnąca w zbiorze podanym w odpowiedzi A.

\[A:\ \left(-\infty,\frac12\right\rangle\]

Sprawdzenie

Dla \(x_1<x_2\leq\frac12\) mamy \(1-x_1-x_2>0\), zatem \(f(x_2)>f(x_1)\), co potwierdza wzrost na wskazanym zbiorze.

\[f(x_2)-f(x_1)=2(x_2-x_1)(1-x_1-x_2)>0\]

Zadanie 12

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji \(f\) określonej na zbiorze \(\langle-2,5)\).

Funkcja \(g\) jest określona za pomocą funkcji \(f\) następująco: \(g(x)=f(x-1)\). Wykres funkcji \(g\) można otrzymać poprzez odpowiednie przesunięcie wykresu funkcji \(f\). Dziedziną funkcji \(g\) jest zbiór

Wykres funkcji f w układzie współrzędnych

\(\langle0,2)\)

\(\langle-1,6)\)

\(\langle-3,4)\)

\(\langle1,3)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek na argument funkcji

Funkcja g(x) jest określona wtedy, gdy argument x−1 należy do dziedziny funkcji f.

\[-2\le x-1<5\]

2 Wyznaczenie dziedziny

Dodajemy 1 do każdej części nierówności.

\[-2+1\le x-1+1<5+1\quad\Longrightarrow\quad -1\le x<6\]

Odpowiedź

Dziedziną funkcji g jest przedział ⟨−1,6), czyli odpowiedź B.

\[D_g=\langle-1,6)\]

Sprawdzenie

Dla x=−1 argument x−1 wynosi −2 i należy do dziedziny f. Dla x=6 argument wynosi 5 i nie należy do dziedziny f, więc lewy koniec jest włączony, a prawy wyłączony.

\[g(-1)=f(-2)\text{ jest określona},\qquad g(6)=f(5)\text{ nie jest określona}\]

Zadanie 13

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Dane są ciągi \(a_n=3n\) oraz \(b_n=4n-2\), określone dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). Liczba \(10\)

jest wyrazem ciągu \((a_n)\) i jest wyrazem ciągu \((b_n)\).

jest wyrazem ciągu \((a_n)\) i nie jest wyrazem ciągu \((b_n)\).

nie jest wyrazem ciągu \((a_n)\) i jest wyrazem ciągu \((b_n)\).

nie jest wyrazem ciągu \((a_n)\) i nie jest wyrazem ciągu \((b_n)\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Sprawdzenie ciągu a

Liczba 10 jest wyrazem ciągu tylko wtedy, gdy równanie ma rozwiązanie naturalne spełniające warunek na indeks.

\[3n=10\quad\Longrightarrow\quad n=\frac{10}{3}\notin\mathbb{N}\]

2 Sprawdzenie ciągu b

Wyznaczamy indeks i sprawdzamy, czy jest liczbą naturalną nie mniejszą od 1.

\[4n-2=10\quad\Longrightarrow\quad 4n=12\quad\Longrightarrow\quad n=3\]

Odpowiedź

C. Liczba 10 nie jest wyrazem ciągu (aₙ), ale jest wyrazem ciągu (bₙ).

\[10\notin\{a_n:n\geq1\},\qquad 10=b_3\]

Sprawdzenie

Indeks 3 spełnia warunek n ≥ 1 i daje b₃ = 10. W ciągu aₙ liczba 10 wymagałaby indeksu 10/3, który nie jest liczbą naturalną.

\[b_3=4\cdot3-2=10,\qquad \frac{10}{3}\notin\mathbb{N}\]

Zadanie 14

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). Drugi wyraz tego ciągu oraz iloraz ciągu \((a_n)\) są równe \(2\). Suma pięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa

\(1\)

\(11\)

\(21\)

\(31\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie pierwszego wyrazu

W ciągu geometrycznym drugi wyraz jest iloczynem pierwszego wyrazu i ilorazu. Ponieważ oba podane w zadaniu wynoszą 2, obliczamy pierwszy wyraz.

\[a_2=a_1q,\quad 2=2a_1,\quad a_1=1\]

2 Obliczenie sumy

Każdy kolejny wyraz otrzymujemy przez pomnożenie poprzedniego przez 2, więc zapisujemy i dodajemy pięć pierwszych wyrazów.

\[S_5=1+2+4+8+16=31\]

Odpowiedź

Suma wynosi 31. Odpowiedź D.

\[S_5=31\]

Sprawdzenie

Wyznaczone wyrazy spełniają warunki zadania: drugi wyraz to 2, a iloraz każdego kolejnego wyrazu przez poprzedni wynosi 2. Ich suma wynosi 31.

\[a_2=2,\quad \frac{a_2}{a_1}=\frac{2}{1}=2,\quad \frac{a_3}{a_2}=\frac{4}{2}=2,\quad 1+2+4+8+16=31\]

Zadanie 15

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

W ciągu dwóch godzin trzy jednakowe maszyny produkują razem \(1200\) guzików. Ile guzików wyprodukuje pięć takich maszyn w ciągu jednej godziny? Przyjmij, że maszyny pracują z taką samą, stałą wydajnością.

\(800\)

\(900\)

\(1000\)

\(1500\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wydajność jednej maszyny

Dzielimy liczbę guzików przez liczbę maszyn i godzin, ponieważ wszystkie maszyny pracują ze stałą wydajnością.

\[\frac{1200}{3\cdot 2}=200\ \text{guzików na godzinę}\]

2 Produkcja pięciu maszyn

Mnożymy wydajność jednej maszyny przez pięć, aby obliczyć produkcję w ciągu jednej godziny.

\[5\cdot 200=1000\ \text{guzików}\]

Odpowiedź

Pięć maszyn wyprodukuje 1000 guzików. Odpowiedź C.

\[1000\ \text{guzików}\quad (\text{C})\]

Sprawdzenie

Przy obliczonej wydajności trzy maszyny w ciągu dwóch godzin produkują 1200 guzików, zgodnie z treścią zadania.

\[3\cdot 2\cdot 200=1200\]

Zadanie 16

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Przyprostokątna \(AC\) trójkąta prostokątnego \(ABC\) ma długość \(6\), a przeciwprostokątna \(AB\) ma długość \(3\sqrt{5}\). Wtedy tangens kąta ostrego \(CAB\) tego trójkąta jest równy

\(\frac{\sqrt{5}}{5}\)

\(\frac{2\sqrt{5}}{5}\)

\(\frac{1}{2}\)

\(2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie drugiej przyprostokątnej

Ponieważ AB jest przeciwprostokątną, z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość BC.

\[BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{(3\sqrt{5})^2-6^2}=\sqrt{45-36}=3\]

2 Obliczenie tangensa

Dla kąta CAB przyprostokątną naprzeciwległą jest BC, a przyległą AC.

\[\operatorname{tg}\angle CAB=\frac{BC}{AC}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\]

Odpowiedź

Tangens kąta CAB wynosi 1/2. Odpowiedź C.

\[\operatorname{tg}\angle CAB=\frac{1}{2}\]

Sprawdzenie

Obliczone długości spełniają twierdzenie Pitagorasa: 3² + 6² = 45 = (3√5)².

\[3^2+6^2=45=(3\sqrt{5})^2\]

Zadanie 17

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Nie istnieje kąt ostry \(\alpha\) taki, że

\(\sin\alpha=\frac{1}{3}\) i \(\cos\alpha=\frac{2}{3}\)

\(\sin\alpha=\frac{5}{13}\) i \(\cos\alpha=\frac{12}{13}\)

\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\) i \(\cos\alpha=\frac{4}{5}\)

\(\sin\alpha=\frac{9}{15}\) i \(\cos\alpha=\frac{12}{15}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie tożsamości

Dla każdego kąta zachodzi tożsamość \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\), więc sprawdzamy ją dla podanych par.

\[\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\]

2 Sprawdzenie odpowiedzi

W odpowiedzi A suma kwadratów jest różna od \(1\). Pozostałe pary spełniają tożsamość.

\[\begin{aligned}\text{A: }&\frac{1^2+2^2}{3^2}=\frac59\ne1,\\\text{B: }&\frac{5^2+12^2}{13^2}=1,\\\text{C: }&\frac{3^2+4^2}{5^2}=1,\\\text{D: }&\frac{9^2+12^2}{15^2}=1.\end{aligned}\]

Odpowiedź

A — nie istnieje taki kąt ostry.

\[\boxed{\text{A}}\]

Sprawdzenie

W A wartości sinus i cosinus naruszają tożsamość obowiązującą dla każdego kąta. W B, C i D obie wartości są dodatnie, mniejsze od 1 i spełniają tożsamość, więc mogą odpowiadać kątom ostrym.

\[\frac59\ne1,\qquad \frac{169}{169}=\frac{25}{25}=\frac{225}{225}=1\]

Zadanie 18

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Wierzchołki \(A\), \(B\), \(C\) czworokąta \(ABSC\) leżą na okręgu o środku \(S\). Kąt \(ABS\) ma miarę \(40^\circ\) (zobacz rysunek), a przekątna \(BC\) jest dwusieczną tego kąta.

Miara kąta \(ASC\) jest równa

Okrąg o środku S, z punktami A, B i C na okręgu oraz zaznaczonym kątem ABS o mierze 40°.

\(30^\circ\)

\(40^\circ\)

\(50^\circ\)

\(60^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Kąt przy wierzchołku B

Przekątna BC jest dwusieczną kąta ABS, więc dzieli kąt 40° na dwie równe części.

\[\angle ABC=\frac{40^\circ}{2}=20^\circ\]

2 Kąt środkowy

Kąt wpisany ABC i kąt środkowy ASC są oparte na tym samym łuku AC, dlatego kąt środkowy jest dwa razy większy.

\[\angle ASC=2\angle ABC=2\cdot20^\circ=40^\circ\]

Odpowiedź

Miara kąta ASC wynosi 40°, czyli odpowiedź B.

\[\angle ASC=40^\circ\]

Sprawdzenie

Ponieważ SA=SB, trójkąt ABS jest równoramienny, zatem kąt ASB ma 100°. Z rysunku wynika wtedy, że kąt BSC ma 140°. W trójkącie równoramiennym BSC kąt CBS ma 20°, zgodnie z tym, że BC dzieli kąt ABS na połowy.

\[\angle ASB=180^\circ-2\cdot40^\circ=100^\circ,\quad \angle BSC=100^\circ+40^\circ=140^\circ,\quad \angle CBS=\frac{180^\circ-140^\circ}{2}=20^\circ\]

Zadanie 19

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Punkty \(A\) oraz \(B\) leżą na okręgu o środku \(S\). Kąt środkowy \(ASB\) ma miarę \(100^\circ\). Prosta \(l\) jest styczna do tego okręgu w punkcie \(A\) i tworzy z cięciwą \(AB\) okręgu kąt o mierze \(\alpha\) (zobacz rysunek).

Wtedy

Okrąg o środku S z punktami A i B, kątem środkowym ASB o mierze 100° oraz styczną l w punkcie A tworzącą z cięciwą AB kąt α.

\(\alpha=40^\circ\)

\(\alpha=45^\circ\)

\(\alpha=50^\circ\)

\(\alpha=60^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie kąta przy A

Promienie SA i SB są równe, więc trójkąt ASB jest równoramienny. Jego kąty przy podstawie mają równe miary.

\[\angle SAB=\frac{180^\circ-100^\circ}{2}=40^\circ\]

2 Obliczenie kąta ze styczną

Promień SA jest prostopadły do stycznej w punkcie A, dlatego kąt między cięciwą AB a styczną dopełnia kąt SAB do 90°.

\[\alpha=90^\circ-40^\circ=50^\circ\]

Odpowiedź

Odpowiedź C: α = 50°.

\[\alpha=50^\circ\]

Sprawdzenie

Kąt SAB ma 40°, a promień SA tworzy ze styczną kąt 90°. Suma 40° + 50° = 90°, więc obliczony kąt α jest zgodny z rysunkiem.

\[40^\circ+50^\circ=90^\circ\]

Zadanie 20

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Pole prostokąta jest równe 16, a przekątne tego prostokąta przecinają się pod kątem ostrym \(\alpha\), takim, że \(\sin\alpha=0{,}2\). Długość przekątnej tego prostokąta jest równa

\(4\sqrt{5}\)

\(4\sqrt{10}\)

\(80\)

\(160\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie pola przez przekątne

Przekątne prostokąta są równe i dzielą się na połowy. Cztery powstałe trójkąty mają więc łączne pole równe połowie iloczynu kwadratów długości przekątnej i sinusa kąta między przekątnymi.

\[P=4\cdot\frac12\cdot\frac d2\cdot\frac d2\sin\alpha=\frac{d^2\sin\alpha}{2}\]

2 Obliczenie długości

Podstawiamy dane o polu i kącie, a następnie wybieramy dodatnią długość.

\[16=\frac{d^2\cdot0{,}2}{2}=0{,}1d^2,\qquad d^2=160,\qquad d=4\sqrt{10}\]

Odpowiedź

B. Długość przekątnej wynosi 4√10.

\[d=4\sqrt{10}\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanej długości wzór na pole daje 16, zgodnie z treścią zadania.

\[\frac{(4\sqrt{10})^2\cdot0{,}2}{2}=16\]