Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

1048 zadańStrona 63 z 70

Sortuj:

Zadanie 19

Matura 2016 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Do pewnej liczby \(a\) dodano 54. Otrzymaną sumę podzielono przez 2. W wyniku tego działania otrzymano liczbę dwa razy większą od liczby \(a\). Zatem

\(a=27\)

\(a=18\)

\(a=24\)

\(a=36\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ułożenie równania

Po dodaniu 54 do liczby a dzielimy sumę przez 2. Z treści wynika, że otrzymany wynik jest równy podwojonej liczbie a.

\[\frac{a+54}{2}=2a\]

2 Rozwiązanie równania

Mnożymy obie strony przez 2, a następnie przenosimy wyrazy z a na jedną stronę.

\[a+54=4a\quad\Rightarrow\quad 54=3a\quad\Rightarrow\quad a=18\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: a = 18.

\[a=18\]

Sprawdzenie

Po dodaniu 54 i podzieleniu przez 2 otrzymujemy 36, czyli dwa razy więcej niż 18.

\[\frac{18+54}{2}=36=2\cdot18\]

Zadanie 20

Matura 2016 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego \(ABCDS\) jest kwadrat \(ABCD\). Wszystkie ściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami równobocznymi. Miara kąta \(ASC\) jest równa

\(45^\circ\)

\(30^\circ\)

\(75^\circ\)

\(90^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie długości krawędzi

Oznaczamy bok kwadratu przez \(a\). Ponieważ ściany boczne są trójkątami równobocznymi, krawędzie \(SA\) i \(SC\) też mają długość \(a\).

\[AB=BC=SA=SC=a\]

2 Obliczenie przekątnej podstawy

Trójkąt \(ABC\) jest prostokątny, więc z twierdzenia Pitagorasa obliczamy przekątną \(AC\).

\[AC^2=AB^2+BC^2=a^2+a^2=2a^2\]

3 Wyznaczenie kąta

W trójkącie \(ASC\) zachodzi \(SA^2+SC^2=AC^2\). Z odwrotnego twierdzenia Pitagorasa kąt przy \(S\) jest prosty.

\[SA^2+SC^2=a^2+a^2=2a^2=AC^2\quad\Rightarrow\quad\angle ASC=90^\circ\]

Odpowiedź

Kąt ASC ma miarę 90°. Odpowiedź D.

\[\angle ASC=90^\circ\]

Sprawdzenie

Bok leżący naprzeciw kąta ASC ma kwadrat długości równy sumie kwadratów pozostałych boków trójkąta ASC, co potwierdza wynik.

\[AC^2=2a^2=SA^2+SC^2\]

Zadanie 21

Matura 2016 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Niech \(p\) oznacza prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie jednego orła w tych trzech rzutach. Wtedy

\(0\leq p<0{,}25\)

\(0{,}25\leq p\leq 0{,}4\)

\(0{,}4<p\leq 0{,}5\)

\(p>0{,}5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczymy możliwe wyniki

W każdym z trzech rzutów są dwa jednakowo prawdopodobne wyniki, więc wszystkich ciągów wyników jest osiem.

\[2^3=8\]

2 Liczymy wyniki sprzyjające

Dokładnie jeden orzeł może wypaść w pierwszym, drugim albo trzecim rzucie.

\[\binom{3}{1}=3\]

3 Obliczamy prawdopodobieństwo

Dzielimy liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich jednakowo prawdopodobnych wyników.

\[p=\frac{3}{8}=0{,}375\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[0{,}25\leq p\leq 0{,}4\]

Sprawdzenie

Wartość 0,375 należy do przedziału z odpowiedzi B.

\[0{,}25\leq 0{,}375\leq 0{,}4\]

Zadanie 22

Matura 2016 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Średnia arytmetyczna czterech liczb: \(x-1\), \(3x\), \(5x+1\) i \(7x\) jest równa 72. Wynika stąd, że

\(x=9\)

\(x=10\)

\(x=17\)

\(x=18\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie średniej

Średnia arytmetyczna to suma czterech liczb podzielona przez 4, więc układamy równanie.

\[\frac{(x-1)+3x+(5x+1)+7x}{4}=72\]

2 Rozwiązanie równania

Redukujemy wyrazy podobne: liczby −1 i 1 się znoszą. Następnie dzielimy obie strony przez 4.

\[\frac{16x}{4}=72\quad\Rightarrow\quad 4x=72\quad\Rightarrow\quad x=18\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: x = 18.

\[x=18\]

Sprawdzenie

Dla x = 18 podane liczby to 17, 54, 91 i 126. Ich średnia wynosi 72.

\[\frac{17+54+91+126}{4}=\frac{288}{4}=72\]

Zadanie 23

Matura 2016 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na rysunku przedstawione są dwie proste równoległe \(k\) i \(l\) o równaniach \(y=ax+b\) oraz \(y=mx+n\). Początek układu współrzędnych leży między tymi prostymi.

Zatem

Układ współrzędnych z osiami x i y oraz dwiema opadającymi prostymi równoległymi. Prosta k: y=ax+b przecina oś y powyżej początku układu, a prosta l: y=mx+n poniżej początku.

\(a\cdot m>0\) i \(b\cdot n>0\)

\(a\cdot m>0\) i \(b\cdot n<0\)

\(a\cdot m<0\) i \(b\cdot n>0\)

\(a\cdot m<0\) i \(b\cdot n<0\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustalenie znaków współczynników kierunkowych

Obie proste opadają, gdy przesuwamy się w prawo, więc ich współczynniki kierunkowe są ujemne. Iloczyn dwóch liczb ujemnych jest dodatni.

\[a<0,\quad m<0\quad\Longrightarrow\quad a\cdot m>0\]

2 Ustalenie znaków wyrazów wolnych

Wyrazy wolne to współrzędne punktów przecięcia prostych z osią y. Prosta k przecina ją powyżej zera, a prosta l poniżej zera.

\[b>0,\quad n<0\quad\Longrightarrow\quad b\cdot n<0\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[a\cdot m>0\quad\text{i}\quad b\cdot n<0\]

Sprawdzenie

Równoległość prostych oznacza, że a=m. Ponieważ obie opadają, oba współczynniki są ujemne. Początek układu leży między prostymi, co zgadza się z przeciwnymi znakami b i n.

\[a=m<0,\quad b>0>n\]

Zadanie 24

Matura 2016 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Wyrażenia algebraiczne

Dane są dwie sumy algebraiczne \(3x^3-2x\) oraz \(-3x^2-2\). Iloczyn tych sum jest równy

\(-9x^5+4x\)

\(-9x^6+6x^3-6x^2+4x\)

\(-9x^5+6x^3-6x^2+4x\)

\(-9x^6+4x\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Mnożenie sum

Stosujemy rozdzielność mnożenia względem dodawania: każdy składnik pierwszej sumy mnożymy przez każdy składnik drugiej.

\[(3x^3-2x)(-3x^2-2)=-9x^5-6x^3+6x^3+4x\]

2 Redukcja wyrazów podobnych

Wyrazy z \(x^3\) mają przeciwne współczynniki, więc się znoszą.

\[-9x^5-6x^3+6x^3+4x=-9x^5+4x\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[-9x^5+4x\]

Sprawdzenie

Po wyłączeniu wspólnych czynników otrzymujemy różnicę kwadratów, która daje ten sam wynik.

\[(3x^3-2x)(-3x^2-2)=-x(3x^2-2)(3x^2+2)=-x(9x^4-4)=-9x^5+4x\]

Zadanie 25

Matura 2016 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Punkty \(D\) i \(E\) są środkami przyprostokątnych \(AC\) i \(BC\) trójkąta prostokątnego \(ABC\). Punkty \(F\) i \(G\) leżą na przeciwprostokątnej \(AB\) tak, że odcinki \(DF\) i \(EG\) są do niej prostopadłe (zobacz rysunek). Pole trójkąta \(BGE\) jest równe 1, a pole trójkąta \(AFD\) jest równe 4.

Zatem pole trójkąta \(ABC\) jest równe

Trójkąt prostokątny ABC z kątem prostym przy C. D i E leżą odpowiednio na AC i BC, a F i G na przeciwprostokątnej AB. Odcinki DF i EG są prostopadłe do AB.

\(12\)

\(16\)

\(18\)

\(20\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podobieństwo trójkątów

Trójkąty BGE i AFD są prostokątne i mają odpowiednio wspólne kąty przy B i A z trójkątem ABC. Ponieważ E i D są środkami przyprostokątnych, stosunki ich przeciwprostokątnych do AB wynoszą odpowiednio BC/(2AB) i AC/(2AB). Pola trójkątów podobnych są proporcjonalne do kwadratów tych stosunków.

\[1=P_{ABC}\frac{BC^2}{4AB^2},\qquad 4=P_{ABC}\frac{AC^2}{4AB^2}\]

2 Wyznaczenie stosunku boków

Dzielimy drugą równość przez pierwszą, aby usunąć nieznane pole i długość przeciwprostokątnej.

\[4=\frac{AC^2}{BC^2},\qquad AC^2=4BC^2\]

3 Obliczenie pola

Z twierdzenia Pitagorasa wynika AB²=AC²+BC²=5BC². Podstawiamy to do wzoru na pole trójkąta BGE.

\[1=P_{ABC}\frac{BC^2}{4\cdot5BC^2}=\frac{P_{ABC}}{20},\qquad P_{ABC}=20\]

Odpowiedź

Pole trójkąta ABC wynosi 20. Odpowiedź D.

\[P_{ABC}=20\]

Sprawdzenie

Dla AC²=4BC² i AB²=5BC² otrzymujemy pole BGE równe 20·1/20=1 oraz pole AFD równe 20·4/20=4. Obie wartości zgadzają się z danymi.

\[P_{BGE}=20\cdot\frac{1}{20}=1,\qquad P_{AFD}=20\cdot\frac{4}{20}=4\]

Zadanie 26

Matura 2016 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

Rozwiąż równanie \(\frac{2x+1}{2x}=\frac{2x+1}{x+1}\), gdzie \(x\neq -1\) i \(x\neq 0\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Usunięcie mianowników

Ponieważ x≠0 i x≠−1, możemy pomnożyć obie strony przez 2x(x+1).

\[(2x+1)(x+1)=2x(2x+1)\]

2 Rozłożenie na czynniki

Przenosimy wyrazy na jedną stronę i wyłączamy wspólny czynnik, aby zastosować zasadę iloczynu równego zeru.

\[(2x+1)(1-x)=0\quad\Longrightarrow\quad x=-\frac12\ \text{lub}\ x=1\]

Odpowiedź

Rozwiązaniami są x=−1/2 oraz x=1.

\[x\in\left\{-\frac12,1\right\}\]

Sprawdzenie

Obie wartości spełniają warunki x≠−1 i x≠0. Dla x=−1/2 obie strony równania wynoszą 0, a dla x=1 obie wynoszą 3/2.

\[x=-\frac12:\ 0=0;\qquad x=1:\ \frac32=\frac32\]

Zadanie 27

Matura 2016 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Dane są proste o równaniach \(y=x+2\) oraz \(y=-3x+b\), które przecinają się w punkcie leżącym na osi \(Oy\) układu współrzędnych. Oblicz pole trójkąta, którego dwa boki zawierają się w danych prostych, a trzeci jest zawarty w osi \(Ox\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie parametru

Punkt przecięcia leży na osi Oy, więc ma pierwszą współrzędną równą 0. Obie proste mają w nim tę samą drugą współrzędną.

\[0+2=-3\cdot 0+b\quad\Rightarrow\quad b=2\]

2 Wyznaczenie wierzchołków na osi Ox

Punkty przecięcia prostych z osią Ox otrzymujemy, przyjmując y=0.

\[0=x+2\Rightarrow x=-2,\qquad 0=-3x+2\Rightarrow x=\frac{2}{3}\]

3 Obliczenie pola

Podstawa trójkąta leży na osi Ox i ma długość równą różnicy współrzędnych jej końców. Wysokość jest odległością punktu (0,2) od osi Ox.

\[a=\frac{2}{3}-(-2)=\frac{8}{3},\qquad h=2,\qquad P=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}\cdot\frac{8}{3}\cdot2=\frac{8}{3}\]

Odpowiedź

Pole trójkąta wynosi \(\frac{8}{3}\) jednostek kwadratowych.

\[P=\frac{8}{3}\]

Sprawdzenie

Dla b=2 obie proste przechodzą przez punkt (0,2). Ich punkty przecięcia z osią Ox to (-2,0) i (2/3,0), więc długości podstawy i wysokości użyte we wzorze na pole są poprawne.

\[-2+2=0,\qquad -3\cdot\frac{2}{3}+2=0\]

Zadanie 28

Matura 2016 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Wyrażenia algebraiczne

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x, y\) prawdziwa jest nierówność \[x^4+y^4+x^2+y^2\geq 2(x^3+y^3).\]

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przenieś wyrazy na jedną stronę

Aby wykazać nierówność, wystarczy pokazać, że różnica jej stron jest nieujemna.

\[x^4+y^4+x^2+y^2-2(x^3+y^3)=x^4-2x^3+x^2+y^4-2y^3+y^2\]

2 Zapisz różnicę jako sumę kwadratów

Korzystamy ze wzoru na kwadrat różnicy. Każdy otrzymany składnik jest nieujemny dla liczb rzeczywistych.

\[x^4-2x^3+x^2+y^4-2y^3+y^2=x^2(x-1)^2+y^2(y-1)^2\geq 0\]

Odpowiedź

Nierówność zachodzi dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x,y\). Równość występuje wtedy i tylko wtedy, gdy \(x,y\in\{0,1\}\).

\[x^4+y^4+x^2+y^2\geq 2(x^3+y^3)\]

Sprawdzenie

Suma dwóch nieujemnych składników jest równa zeru dokładnie wtedy, gdy oba są zerowe. Daje to \(x\in\{0,1\}\) oraz \(y\in\{0,1\}\), zgodnie z podanym warunkiem równości.

\[x^2(x-1)^2+y^2(y-1)^2=0\iff x,y\in\{0,1\}\]

Zadanie 29

Matura 2016 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

Dany jest trapez prostokątny \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\) oraz wysokości \(AD\). Dwusieczna kąta \(ABC\) przecina ramię \(AD\) w punkcie \(E\) oraz dwusieczną kąta \(BCD\) w punkcie \(F\) (zobacz rysunek).

Wykaż, że w czworokącie \(CDEF\) sumy miar przeciwległych kątów są sobie równe.

Trapez prostokątny ABCD z punktami E na ramieniu AD i F na przecięciu dwusiecznych kątów ABC oraz BCD.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Kąty przy ramieniu BC

Podstawy trapezu są równoległe, więc kąty przy ramieniu BC sumują się do 180°. Oznaczamy kąt ABC przez β.

\[\angle ABC=\beta,\qquad \angle BCD=180^\circ-\beta\]

2 Kąty przy D i F

Wysokość AD jest prostopadła do CD, zatem kąt przy D jest prosty. W trójkącie BCF kąty przy B i C są połowami kątów trapezu. Punkty E, F i B leżą na jednej prostej, więc kąty BFC i CFE są przyległe.

\[\angle CDE=90^\circ,\qquad \angle BFC=180^\circ-\frac{\beta}{2}-\frac{180^\circ-\beta}{2}=90^\circ,\qquad \angle CFE=180^\circ-\angle BFC=90^\circ\]

3 Kąty przy C i E

Dwusieczna przy C wyznacza kąt DCF. W trójkącie ABE obliczamy kąt AEB; kąty AEB i DEF są przyległe.

\[\angle DCF=\frac{180^\circ-\beta}{2}=90^\circ-\frac{\beta}{2},\qquad \angle AEB=90^\circ-\frac{\beta}{2},\qquad \angle DEF=180^\circ-\angle AEB=90^\circ+\frac{\beta}{2}\]

Odpowiedź

Obie sumy miar przeciwległych kątów czworokąta CDEF są równe 180°.

\[\angle CDE+\angle CFE=\angle DCF+\angle DEF=180^\circ\]

Sprawdzenie

Kąty przy D i F dają łącznie 180°, a wyrazy z β w sumie kątów przy C i E się znoszą. Otrzymane cztery kąty sumują się do 360°.

\[90^\circ+90^\circ=180^\circ,\qquad \left(90^\circ-\frac{\beta}{2}\right)+\left(90^\circ+\frac{\beta}{2}\right)=180^\circ\]

Zadanie 30.1

Matura 2016 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte

Trygonometria

W trójkącie \(ABC\) dane są długości boków \(|AB|=15\) i \(|AC|=12\) oraz \(\cos\alpha=\frac{4}{5}\), gdzie \(\alpha=\angle BAC\). Na bokach \(AB\) i \(AC\) tego trójkąta obrano punkty odpowiednio \(D\) i \(E\) takie, że \(|BD|=2|AD|\) i \(|AE|=2|CE|\) (zobacz rysunek).

Oblicz pole trójkąta \(ADE\).

Trójkąt ABC z punktami D na boku AB i E na boku AC, odcinkiem DE oraz kątem α przy wierzchołku A.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie długości AD i AE

Podane stosunki dzielą boki AB i AC odpowiednio na trzy równe części.

\[|AD|=\frac{|AB|}{3}=5,\qquad |AE|=\frac{2|AC|}{3}=8\]

2 Obliczenie sinusa kąta α

Kąt α jest kątem trójkąta, więc jego sinus jest dodatni. Korzystamy z jedynki trygonometrycznej.

\[\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\left(\frac45\right)^2}=\frac35\]

3 Obliczenie pola

Boki AD i AE tworzą kąt α, dlatego stosujemy wzór na pole z dwóch boków i kąta między nimi.

\[P_{ADE}=\frac12|AD|\cdot|AE|\sin\alpha=\frac12\cdot5\cdot8\cdot\frac35=12\]

Odpowiedź

Pole trójkąta ADE wynosi 12 jednostek kwadratowych.

\[P_{ADE}=12\]

Sprawdzenie

Pole ABC wynosi 54, a boki AD i AE stanowią odpowiednio jedną trzecią i dwie trzecie boków AB i AC. Pole ADE stanowi więc dwie dziewiąte pola ABC, czyli 12.

\[P_{ABC}=\frac12\cdot15\cdot12\cdot\frac35=54,\qquad \frac13\cdot\frac23\cdot54=12\]

Zadanie 30.2

Matura 2016 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte

Planimetria

Oblicz pole czworokąta \(BCED\).

Trójkąt ABC z punktami D na boku AB i E na boku AC oraz odcinkiem DE; kąt BAC oznaczono jako α.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie odcinków AD i AE

Korzystamy z podanych proporcji oraz długości boków trójkąta.

\[|AB|=|AD|+|BD|=3|AD|\Rightarrow |AD|=5,\qquad |AC|=|AE|+|CE|=\frac32|AE|\Rightarrow |AE|=8\]

2 Obliczenie sinusa kąta α

Kąt α jest kątem trójkąta, więc jego sinus jest dodatni. Stosujemy tożsamość trygonometryczną.

\[\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\left(\frac45\right)^2}=\frac35\]

3 Obliczenie pola czworokąta

Odejmujemy pole trójkąta ADE od pola trójkąta ABC. Oba pola obliczamy ze wzoru na pole z dwóch boków i kąta między nimi.

\[P_{BCED}=\frac12\cdot15\cdot12\cdot\frac35-\frac12\cdot5\cdot8\cdot\frac35=54-12=42\]

Odpowiedź

Pole czworokąta BCED wynosi 42.

\[P_{BCED}=42\]

Sprawdzenie

Trójkąty ADE i ABC mają wspólny kąt α, a stosunki boków przy tym kącie wynoszą 1/3 i 2/3. Zatem pole ADE stanowi 2/9 pola ABC, czyli 12; po odjęciu od 54 otrzymujemy 42.

\[\frac{P_{ADE}}{P_{ABC}}=\frac5{15}\cdot\frac8{12}=\frac29,\qquad 54\left(1-\frac29\right)=42\]

Zadanie 31

Matura 2016 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Ciągi

Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\) określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\), w którym \(a_1+a_2+a_3+a_4=2016\) oraz \(a_5+a_6+a_7+\ldots+a_{12}=2016\). Oblicz pierwszy wyraz, różnicę oraz najmniejszy dodatni wyraz ciągu \((a_n)\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie sum

W ciągu arytmetycznym \(a_n=a_1+(n-1)d\). Podstawiamy ten wzór do obu podanych sum.

\[4a_1+6d=2016,\qquad 8a_1+60d=2016\]

2 Wyznaczenie różnicy

Podwajamy pierwsze równanie i odejmujemy je od drugiego, aby usunąć \(a_1\).

\[48d=2016-4032=-2016,\qquad d=-42\]

3 Wyznaczenie pierwszego wyrazu

Podstawiamy różnicę do pierwszego równania.

\[4a_1+6\cdot(-42)=2016,\qquad a_1=567\]

4 Najmniejszy dodatni wyraz

Ciąg maleje, więc szukamy ostatniego wyrazu dodatniego.

\[a_n=567-42(n-1)=609-42n,\qquad a_{14}=21>0,\quad a_{15}=-21<0\]

Odpowiedź

Pierwszy wyraz to 567, różnica wynosi −42, a najmniejszy dodatni wyraz to 21.

\[a_1=567,\qquad d=-42,\qquad a_{14}=21\]

Sprawdzenie

Pierwsze cztery wyrazy dają sumę 2016. Wyrazy od piątego do dwunastego tworzą osiem wyrazów o sumie 2016. Ponieważ różnica jest ujemna, po dodatnim wyrazie 21 następuje wyraz ujemny −21.

\[567+525+483+441=2016,\qquad \frac{8(399+105)}{2}=2016,\qquad a_{14}=21>0>a_{15}=-21\]

Zadanie 32

Matura 2016 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Stereometria

Dany jest stożek o objętości \(8\pi\), w którym stosunek wysokości do promienia podstawy jest równy \(3:8\). Oblicz pole powierzchni bocznej tego stożka.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wymiarów

Zapisujemy wysokość i promień zgodnie z podanym stosunkiem, a następnie podstawiamy je do wzoru na objętość stożka.

\[h=3k,\quad r=8k,\quad \frac13\pi r^2h=8\pi\;\Longrightarrow\;64\pi k^3=8\pi\;\Longrightarrow\;k=\frac12\]

2 Obliczenie tworzącej

Wysokość, promień i tworząca tworzą trójkąt prostokątny, więc stosujemy twierdzenie Pitagorasa.

\[h=\frac32,\quad r=4,\quad l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{16+\frac94}=\frac{\sqrt{73}}2\]

3 Obliczenie pola powierzchni bocznej

Podstawiamy promień i tworzącą do wzoru na pole powierzchni bocznej stożka.

\[P_b=\pi rl=\pi\cdot4\cdot\frac{\sqrt{73}}2=2\pi\sqrt{73}\]

Odpowiedź

Pole powierzchni bocznej stożka wynosi \(2\pi\sqrt{73}\).

\[P_b=2\pi\sqrt{73}\]

Sprawdzenie

Otrzymane wymiary dają objętość \(8\pi\), a stosunek wysokości do promienia wynosi \(3:8\).

\[\frac13\pi\cdot4^2\cdot\frac32=8\pi,\qquad \frac32:4=3:8\]