Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

1468 zadańStrona 63 z 98

Sortuj:

Zadanie 11

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Punkt $M=(3,-2)$ należy do wykresu funkcji liniowej $f$ określonej wzorem $f(x)=5x+b-4$. Wynika stąd, że $b$ jest równe

$-17$

$-13$

$13$

$17$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie współrzędnych punktu

Punkt należy do wykresu, więc dla $x=3$ wartość funkcji wynosi $-2$.

\[-2=5\cdot 3+b-4=11+b\]

2 Obliczenie parametru

Odejmujemy 11 od obu stron równania.

\[b=-2-11=-13\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: $b=-13$.

\[b=-13\]

Sprawdzenie

Dla $b=-13$ otrzymujemy $f(3)=-2$, więc punkt $M$ należy do wykresu.

\[f(3)=5\cdot3-13-4=-2\]

Zadanie 12

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja kwadratowa $f$ określona wzorem $f(x)=-2(x-1)^{2}+3$ jest rosnąca w przedziale

$( -\infty,1\rangle$

$\langle-2,+\infty)$

$( -\infty,3\rangle$

$\langle1,+\infty)$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wierzchołka

Wzór jest w postaci kanonicznej, więc wierzchołek ma pierwszą współrzędną równą 1. Ujemny współczynnik przy kwadracie oznacza, że funkcja rośnie do wierzchołka.

\[f(x)=-2(x-1)^2+3,\qquad x_w=1\]

2 Wyznaczenie przedziału

Dla liczb $x_1<x_2\leq 1$ różnica wartości funkcji jest dodatnia, co potwierdza wzrost na całym przedziale.

\[f(x_2)-f(x_1)=-2(x_2-x_1)(x_1+x_2-2)>0\]

Odpowiedź

Funkcja jest rosnąca w przedziale $( -\infty,1\rangle$. Odpowiedź A.

\[(-\infty,1\rangle\]

Sprawdzenie

Dla $1\leq x_1<x_2$ oba czynniki $x_2-x_1$ i $x_1+x_2-2$ są dodatnie, więc $f(x_2)-f(x_1)<0$. Funkcja na prawo od 1 maleje, zatem wskazany przedział kończy się we właściwym miejscu.

\[1\leq x_1<x_2\implies -2(x_2-x_1)(x_1+x_2-2)<0\]

Zadanie 13

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na rysunku jest przedstawiony fragment wykresu funkcji $y=f(x)$.

W przedziale $(-4,6)$ równanie $f(x)=-1$

$Fragment wykresu funkcji $y=f(x)$ w układzie współrzędnych.$

nie ma rozwiązań.

ma dokładnie jedno rozwiązanie.

ma dokładnie dwa rozwiązania.

ma dokładnie trzy rozwiązania.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Lewa część wykresu

Od wierzchołka przy x=-4 do punktu przy x=-3 wykres rośnie od wartości -2 do 4, więc przecina prostą y=-1 dokładnie raz w przedziale (-4,-3).

\[-2<-1<4\]

2 Prawa część wykresu

Prosta przechodzi przez punkty (0,2) i (3,0). Wyznaczamy jej równanie i rozwiązujemy je dla wartości -1.

\[f(x)=2-\frac{2}{3}x,\qquad 2-\frac{2}{3}x=-1\iff x=\frac{9}{2}\in(-3,6)\]

Odpowiedź

Równanie ma dokładnie dwa rozwiązania. Odpowiedź C.

\[\boxed{\text{C — dokładnie dwa rozwiązania}}\]

Sprawdzenie

W przedziale (-4,-3) jest jedno przecięcie, a na odcinku prostym drugie: dla x=9/2 wartość funkcji wynosi -1. Oba argumenty należą do przedziału (-4,6).

\[2-\frac{2}{3}\cdot\frac{9}{2}=-1\]

Zadanie 14

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n=\frac{n-2}{2n^2}$ dla każdej liczby naturalnej $n\geq 1$. Piąty wyraz tego ciągu jest równy

$\left(-\frac{1}{10}\right)$

$\frac{3}{50}$

$\frac{3}{100}$

$\left(-\frac{1}{5}\right)$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie numeru wyrazu

Piąty wyraz obliczamy, podstawiając $n=5$ do wzoru ciągu.

\[a_5=\frac{5-2}{2\cdot 5^2}=\frac{3}{50}\]

Odpowiedź

Piąty wyraz wynosi $\frac{3}{50}$. Odpowiedź B.

\[a_5=\frac{3}{50}\]

Sprawdzenie

Dla $n=5$ licznik wynosi $3$, a mianownik $2\cdot25=50$. Otrzymany ułamek jest dodatni i odpowiada odpowiedzi B.

\[\frac{5-2}{2\cdot25}=\frac{3}{50}\]

Zadanie 15

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg $(a_n)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n\geq 1$, jest arytmetyczny. Różnica tego ciągu jest równa $2$ oraz $a_8=48$. Czwarty wyraz tego ciągu jest równy

$2$

$24$

$3$

$40$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie czwartego wyrazu

Od czwartego do ósmego wyrazu są cztery kroki ciągu arytmetycznego, więc od ósmego wyrazu odejmujemy czterokrotność różnicy.

\[a_4=a_8-4r=48-4\cdot 2=40\]

Odpowiedź

Czwarty wyraz jest równy 40. Odpowiedź D.

\[a_4=40\]

Sprawdzenie

Dodanie czterech różnic do czwartego wyrazu daje podany ósmy wyraz.

\[40+4\cdot 2=48=a_8\]

Zadanie 16

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\sin\alpha=\frac{2}{3}$. Wtedy $\cos^2(90^\circ-\alpha)$ jest równy

$\frac{1}{9}$

$\frac{2}{9}$

$\frac{4}{9}$

$\frac{5}{9}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie wzoru na kąt dopełniający

Cosinus kąta dopełniającego jest równy sinusowi danego kąta, więc korzystamy z podanej wartości sinusa.

\[\cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha=\frac{2}{3}\]

2 Podniesienie do kwadratu

Obliczamy wartość wyrażenia z treści zadania.

\[\cos^2(90^\circ-\alpha)=\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{4}{9}\]

Odpowiedź

Wynik to 4/9, odpowiedź C.

\[\frac{4}{9}\]

Sprawdzenie

Z jedynki trygonometrycznej wynika, że cos²α = 5/9. Dla kąta dopełniającego cos²(90°−α) = 1−cos²α = 4/9, zgodnie z wynikiem.

\[\cos^2\alpha=1-\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{5}{9},\qquad \cos^2(90^\circ-\alpha)=1-\frac{5}{9}=\frac{4}{9}\]

Zadanie 17

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Na trójkącie ostrokątnym $ABC$ opisano okrąg o środku $O$. Miara kąta $ABC$ jest równa $65^\circ$. Miara kąta $ACO$ jest równa

$130^\circ$

$25^\circ$

$65^\circ$

$50^\circ$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie kąta środkowego

Kąt środkowy AOC i kąt wpisany ABC są oparte na tym samym łuku AC, więc kąt środkowy ma dwa razy większą miarę.

\[\angle AOC=2\angle ABC=2\cdot65^\circ=130^\circ\]

2 Wyznaczenie kąta ACO

Odcinki OA i OC są promieniami okręgu, więc trójkąt AOC jest równoramienny. Jego kąty przy podstawie są równe.

\[\angle ACO=\frac{180^\circ-130^\circ}{2}=25^\circ\]

Odpowiedź

B. Miara kąta ACO wynosi 25°.

\[\angle ACO=25^\circ\]

Sprawdzenie

Kąty trójkąta AOC mają miary 25°, 130° i 25°; ich suma wynosi 180°, a kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta ABC.

\[25^\circ+130^\circ+25^\circ=180^\circ,\qquad130^\circ=2\cdot65^\circ\]

Zadanie 18

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Trójkąt $ABC$ jest prostokątny. Odcinek $AD$ jest wysokością tego trójkąta poprowadzoną z wierzchołka $A$ na przeciwprostokątną $BC$. Wtedy

$\frac{|AD|}{|AB|}=\frac{|CD|}{|AC|}$

$\frac{|AD|}{|AB|}=\frac{|CD|}{|AD|}$

$\frac{|AD|}{|AB|}=\frac{|AC|}{|AB|}$

$\frac{|AD|}{|AB|}=\frac{|BC|}{|BD|}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podobieństwo trójkątów

Trójkąty ABD i ACD są podobne, ponieważ oba są prostokątne, a ich pozostałe kąty odpowiadają sobie.

\[\triangle ABD\sim\triangle CAD\]

2 Ułożenie proporcji

Odpowiadające sobie boki podobnych trójkątów mają równe ilorazy.

\[\frac{|AD|}{|AB|}=\frac{|CD|}{|AC|}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[\frac{|AD|}{|AB|}=\frac{|CD|}{|AC|}\]

Sprawdzenie

W obu ilorazach porównano odpowiadające sobie boki. Ich długości są dodatnie, więc dzielenie jest dozwolone.

\[|AB|>0,\quad |AC|>0\]

Zadanie 19

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Pole rombu o obwodzie $20$ i kącie rozwartym $120^\circ$ jest równe

$\frac{25\sqrt{3}}{2}$

$\frac{5\sqrt{3}}{2}$

$\frac{25}{2}$

$\frac{25\sqrt{3}}{4}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie boku

Romb ma cztery równe boki, więc długość boku otrzymujemy, dzieląc obwód przez 4.

\[a=\frac{20}{4}=5\]

2 Obliczenie pola

Pole rombu jest iloczynem kwadratu boku i sinusa kąta między bokami. Korzystamy z równości $\sin 120^\circ=\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

\[P=a^2\sin 120^\circ=5^2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{25\sqrt{3}}{2}\]

Odpowiedź

Pole wynosi $\frac{25\sqrt{3}}{2}$. Odpowiedź A.

\[P=\frac{25\sqrt{3}}{2}\]

Sprawdzenie

Wysokość rombu wynosi $5\sin 120^\circ=\frac{5\sqrt{3}}{2}$. Iloczyn podstawy i wysokości daje otrzymane pole.

\[5\cdot\frac{5\sqrt{3}}{2}=\frac{25\sqrt{3}}{2}\]

Zadanie 20

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

W trójkącie miary kątów są równe: $\alpha$, $4\alpha$, $\alpha+30^\circ$. Miara największego kąta tego trójkąta jest równa

$55^\circ$

$90^\circ$

$100^\circ$

$120^\circ$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie α

Suma kątów w trójkącie wynosi 180°, więc układamy równanie i wyznaczamy α.

\[\alpha+4\alpha+(\alpha+30^\circ)=180^\circ\;\Rightarrow\;6\alpha=150^\circ\;\Rightarrow\;\alpha=25^\circ\]

2 Porównanie kątów

Podstawiamy obliczoną wartość α, aby wskazać największy kąt.

\[\alpha=25^\circ,\qquad 4\alpha=100^\circ,\qquad \alpha+30^\circ=55^\circ\]

Odpowiedź

Największy kąt ma miarę 100°, czyli odpowiedź C.

\[100^\circ\]

Sprawdzenie

Otrzymane kąty są dodatnie, a ich suma wynosi 180°.

\[25^\circ+100^\circ+55^\circ=180^\circ\]

Zadanie 21

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Na boku $BC$ kwadratu $ABCD$ (na zewnątrz) zbudowano trójkąt równoboczny $BEC$ (zobacz rysunek).

Miara kąta $DEC$ jest równa

Kwadrat ABCD i zbudowany na boku BC trójkąt równoboczny BEC; zaznaczony kąt DEC.

$10^\circ$

$20^\circ$

$15^\circ$

$30^\circ$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Kąt przy wierzchołku C

Kąt kwadratu ma 90°, a kąt trójkąta równobocznego 60°. Ponieważ trójkąt BEC leży na zewnątrz kwadratu, kąty te składają się na kąt DCE.

\[\angle DCE=90^\circ+60^\circ=150^\circ\]

2 Kąty przy podstawie DE

Odcinki DC i CE mają długość boku kwadratu, więc trójkąt DCE jest równoramienny. Jego kąty przy podstawie są równe.

\[\angle DEC=\frac{180^\circ-150^\circ}{2}=15^\circ\]

Odpowiedź

Kąt DEC ma 15°, czyli odpowiedź C.

\[\angle DEC=15^\circ\]

Sprawdzenie

Suma kątów trójkąta DCE wynosi 180°.

\[150^\circ+15^\circ+15^\circ=180^\circ\]

Zadanie 22

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Proste o równaniach $y=-\frac{5}{4}x-2$ oraz $y=\frac{4}{2m-1}x+1$ są prostopadłe. Wynika stąd, że

$m=\frac{21}{10}$

$m=-\frac{11}{10}$

$m=-2$

$m=3$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie warunku prostopadłości

Iloczyn współczynników kierunkowych prostych prostopadłych wynosi $-1$. Drugie równanie wymaga $2m-1\neq 0$.

\[-\frac{5}{4}\cdot\frac{4}{2m-1}=-1\]

2 Wyznaczenie parametru

Upraszczamy iloczyn i rozwiązujemy równanie.

\[-\frac{5}{2m-1}=-1\quad\Longrightarrow\quad 2m-1=5\quad\Longrightarrow\quad m=3\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: $m=3$.

\[m=3\]

Sprawdzenie

Dla $m=3$ mianownik jest równy $5$, a iloczyn współczynników kierunkowych wynosi $-1$, więc proste są prostopadłe.

\[2\cdot3-1=5\neq0,\qquad -\frac54\cdot\frac45=-1\]

Zadanie 23

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Proste o równaniach $y=-3x+\frac{1}{3}$ oraz $y=\frac{1}{3}x-3$ przecinają się w punkcie $P=(x_0,y_0)$. Wynika stąd, że

$x_0>0$ i $y_0>0$.

$x_0>0$ i $y_0<0$.

$x_0<0$ i $y_0>0$.

$x_0<0$ i $y_0<0$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie współrzędnej x

W punkcie przecięcia obie proste mają tę samą współrzędną y, więc przyrównujemy prawe strony równań.

\[-3x_0+\frac{1}{3}=\frac{1}{3}x_0-3\quad\Rightarrow\quad -\frac{10}{3}x_0=-\frac{10}{3}\quad\Rightarrow\quad x_0=1\]

2 Wyznaczenie współrzędnej y

Podstawiamy otrzymane x do równania pierwszej prostej.

\[y_0=-3\cdot 1+\frac{1}{3}=-\frac{8}{3}\]

Odpowiedź

x₀ > 0 i y₀ < 0. Odpowiedź B.

\[P=\left(1,-\frac{8}{3}\right)\]

Sprawdzenie

Dla x = 1 druga prosta również daje y = −8/3, więc punkt leży na obu prostych. Współrzędne mają znaki podane w odpowiedzi B.

\[\frac{1}{3}\cdot 1-3=-\frac{8}{3}\]

Zadanie 24

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Liczba wszystkich krawędzi graniastosłupa jest równa $42$. Liczba wszystkich wierzchołków tego graniastosłupa jest równa

$14$

$28$

$15$

$42$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba boków podstawy

Graniastosłup o podstawie n-kąta ma po n krawędzi w każdej podstawie oraz n krawędzi bocznych, czyli łącznie 3n krawędzi.

\[3n=42\quad\Rightarrow\quad n=14\]

2 Liczba wierzchołków

Każda z dwóch podstaw ma po 14 wierzchołków.

\[2n=2\cdot14=28\]

Odpowiedź

Graniastosłup ma 28 wierzchołków. Odpowiedź B.

\[28\]

Sprawdzenie

Dwie podstawy mają razem 28 krawędzi, a krawędzi bocznych jest 14. Ich suma wynosi 42, zgodnie z treścią zadania.

\[14+14+14=42\]

Zadanie 25

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wszystkie krawędzie mają długość $8$. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest równe

$64\sqrt{3}$

$64\sqrt{2}$

$16\sqrt{3}$

$16\sqrt{2}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Pole jednej ściany

Wszystkie krawędzie mają długość 8, więc każda ściana jest trójkątem równobocznym. Stosujemy wzór na jego pole.

\[P_1=\frac{8^2\sqrt{3}}{4}=16\sqrt{3}\]

2 Pole całkowite

Ostrosłup trójkątny ma cztery takie ściany, dlatego dodajemy ich pola.

\[P_c=4\cdot16\sqrt{3}=64\sqrt{3}\]

Odpowiedź

Pole powierzchni całkowitej wynosi 64√3. Odpowiedź A.

\[P_c=64\sqrt{3}\]

Sprawdzenie

Podstawa ma pole 16√3, a trzy ściany boczne mają razem pole 48√3. Ich suma to 64√3, zgodnie z odpowiedzią A.

\[16\sqrt{3}+3\cdot16\sqrt{3}=64\sqrt{3}\]