Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

1048 zadańStrona 62 z 70

Sortuj:

Zadanie 4

Matura 2016 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Różnica \(50001^{2}-49999^{2}\) jest równa

2 000 000

200 000

20 000

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie wzoru

Korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów, aby obliczyć wynik bez podnoszenia dużych liczb do kwadratu.

\[50001^{2}-49999^{2}=(50001-49999)(50001+49999)\]

2 Obliczenie

Obliczamy różnicę i sumę liczb, a następnie ich iloczyn.

\[(50001-49999)(50001+49999)=2\cdot100000=200000\]

Odpowiedź

200 000, odpowiedź B.

\[200000\]

Sprawdzenie

Liczby są o 1 mniejsza i większa od 50 000. Po rozwinięciu kwadratów składniki kwadratowe i jedynki się redukują, dając ten sam wynik.

\[(50000+1)^2-(50000-1)^2=4\cdot50000=200000\]

Zadanie 5

Matura 2016 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Wyrażenia algebraiczne

Najmniejsza wartość wyrażenia \((x-y)(x+y)\) dla \(x,y\in\{2,3,4\}\) jest równa

\(2\)

\(-24\)

\(0\)

\(-12\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przekształcenie wyrażenia

Korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów, aby łatwiej porównać wartości.

\[(x-y)(x+y)=x^2-y^2\]

2 Wyznaczenie minimum

Różnica jest najmniejsza, gdy z podanego zbioru wybierzemy najmniejsze x i największe y, czyli x=2 oraz y=4.

\[\min(x^2-y^2)=2^2-4^2=4-16=-12\]

Odpowiedź

Najmniejsza wartość to −12. Odpowiedź D.

\[-12\]

Sprawdzenie

Liczby 2 i 4 należą do podanego zbioru. Dla tej pary pierwotne wyrażenie ma wartość −12; żadne inne dopuszczalne x nie ma mniejszego kwadratu niż 2, a żadne y większego niż 4.

\[(2-4)(2+4)=(-2)\cdot 6=-12\]

Zadanie 6

Matura 2016 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Wartość wyrażenia \(\log_{3}\frac{3}{2}+\log_{3}\frac{2}{9}\) jest równa

\(-1\)

\(-2\)

\(\log_{3}\frac{5}{11}\)

\(\log_{3}\frac{31}{18}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Połącz logarytmy

Oba argumenty są dodatnie, więc sumę logarytmów o tej samej podstawie zapisujemy jako logarytm iloczynu.

\[\log_{3}\frac{3}{2}+\log_{3}\frac{2}{9}=\log_{3}\left(\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{9}\right)=\log_{3}\frac{1}{3}\]

2 Oblicz wartość

Ponieważ \(\frac{1}{3}=3^{-1}\), logarytm jest równy \(-1\).

\[\log_{3}\frac{1}{3}=\log_{3}3^{-1}=-1\]

Odpowiedź

Wynik to −1, odpowiedź A.

\[-1\]

Sprawdzenie

Wynik spełnia definicję logarytmu: podniesienie 3 do potęgi −1 daje otrzymany argument \(\frac{1}{3}\).

\[3^{-1}=\frac{1}{3}\]

Zadanie 7

Matura 2016 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Spośród liczb, które są rozwiązaniami równania \((x-8)(x^{2}-4)(x^{2}+16)=0\), wybrano największą i najmniejszą. Suma tych dwóch liczb jest równa

\(12\)

\(10\)

\(6\)

\(4\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie rozwiązań

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden czynnik jest zerem. Dla liczb rzeczywistych \(x^{2}+16>0\), więc ten czynnik nie daje rozwiązania.

\[x-8=0\Rightarrow x=8,\qquad x^{2}-4=0\Rightarrow x=-2\ \text{lub}\ x=2\]

2 Wybór liczb i obliczenie sumy

Najmniejszym rozwiązaniem jest \(-2\), a największym \(8\). Dodajemy je.

\[-2<2<8,\qquad -2+8=6\]

Odpowiedź

Suma wynosi 6. Odpowiedź C.

\[\boxed{6\quad\text{(C)}}\]

Sprawdzenie

Dla \(x=-2\) zeruje się czynnik \(x^{2}-4\), a dla \(x=8\) czynnik \(x-8\). Obie liczby spełniają równanie i są skrajnymi spośród jego rzeczywistych rozwiązań.

\[(-2)^{2}-4=0,\qquad 8-8=0,\qquad -2+8=6\]

Zadanie 8

Matura 2016 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Rozwiązaniem równania \(\frac{x-7}{x}=5\), gdzie \(x\neq 0\), jest liczba należąca do przedziału

\((−\infty,−2)\)

\(\langle−2,−1)\)

\(\langle−1,0)\)

\((0,+\infty)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Usuń mianownik

Ponieważ \(x\neq 0\), możemy pomnożyć obie strony równania przez \(x\).

\[\frac{x-7}{x}=5\quad\Longleftrightarrow\quad x-7=5x\]

2 Oblicz niewiadomą

Przenosimy wyrazy z \(x\) na jedną stronę i dzielimy przez \(4\).

\[-7=4x\quad\Longleftrightarrow\quad x=-\frac{7}{4}\]

3 Wybierz przedział

Otrzymana liczba leży między \(-2\) a \(-1\), więc pasuje odpowiedź B.

\[-2<-\frac{7}{4}<-1\]

Odpowiedź

B, liczba \(-\frac{7}{4}\) należy do przedziału \(\langle-2,-1)\).

\[x=-\frac{7}{4}\in\langle-2,-1)\]

Sprawdzenie

Liczba \(-\frac{7}{4}\) jest różna od zera, a po podstawieniu lewa strona równania wynosi \(5\).

\[\frac{-\frac{7}{4}-7}{-\frac{7}{4}}=\frac{-\frac{35}{4}}{-\frac{7}{4}}=5\]

Zadanie 9

Matura 2016 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja \(f\) określona jest wzorem \(f(x)=\frac{2x^{3}}{x^{4}+1}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Wtedy liczba \(f(-\sqrt{2})\) jest równa

\(-\frac{8}{5}\)

\(-\frac{4\sqrt{2}}{3}\)

\(-\frac{4\sqrt{2}}{5}\)

\(-\frac{4}{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie argumentu

Aby obliczyć wartość funkcji, podstawiamy \(-\sqrt{2}\) w miejsce \(x\).

\[f(-\sqrt{2})=\frac{2(-\sqrt{2})^{3}}{(-\sqrt{2})^{4}+1}\]

2 Obliczenie potęg

Nieparzysta potęga liczby ujemnej jest ujemna, a parzysta dodatnia.

\[(-\sqrt{2})^{3}=-2\sqrt{2},\qquad (-\sqrt{2})^{4}=4\]

3 Obliczenie wartości

Wstawiamy obliczone potęgi i upraszczamy ułamek.

\[f(-\sqrt{2})=\frac{2(-2\sqrt{2})}{4+1}=-\frac{4\sqrt{2}}{5}\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[f(-\sqrt{2})=-\frac{4\sqrt{2}}{5}\]

Sprawdzenie

Mianownik jest równy 5, więc wyrażenie jest określone. Pomnożenie otrzymanego wyniku przez mianownik daje licznik.

\[5\cdot\left(-\frac{4\sqrt{2}}{5}\right)=-4\sqrt{2}=2(-\sqrt{2})^{3}\]

Zadanie 10

Matura 2016 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Dana jest funkcja kwadratowa \(f(x)=−2(x+5)(x−11)\). Wskaż maksymalny przedział, w którym funkcja \(f\) jest rosnąca.

\((−\infty,3\rangle\)

\((−\infty,5\rangle\)

\((−\infty,11\rangle\)

\(\langle6,+\infty)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wierzchołka

Miejsca zerowe to −5 i 11, więc oś symetrii paraboli leży w ich połowie.

\[x_w=\frac{-5+11}{2}=3\]

2 Ustalenie przedziału wzrostu

Współczynnik przy \(x^2\) jest ujemny, więc parabola jest skierowana ramionami w dół. Funkcja rośnie do wierzchołka, a za nim maleje.

\[a=-2<0,\qquad f\text{ rośnie na }(-\infty,3\rangle\]

Odpowiedź

Maksymalny przedział wzrostu to \((−\infty,3\rangle\). Odpowiedź A.

\[(-\infty,3\rangle\]

Sprawdzenie

Po przekształceniu \(f(x)=128-2(x-3)^2\). Gdy \(x\) rośnie do 3, kwadrat \((x-3)^2\) maleje, więc wartość funkcji rośnie. Dla \(x>3\) funkcja maleje, zatem przedziału nie można wydłużyć.

\[f(x)=-2\bigl((x-3)^2-64\bigr)=128-2(x-3)^2\]

Zadanie 11

Matura 2016 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=6(n-16)\) dla \(n\geqslant 1\). Suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

\(-54\)

\(-126\)

\(-630\)

\(-270\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie sumy

Sumujemy wyrazy od pierwszego do dziesiątego i wyłączamy stały czynnik 6 przed sumę.

\[S_{10}=\sum_{n=1}^{10}6(n-16)=6\left(\sum_{n=1}^{10}n-10\cdot16\right)\]

2 Podstawienie sumy liczb naturalnych

Suma liczb od 1 do 10 wynosi \(\frac{10\cdot11}{2}=55\), więc obliczamy wartość wyrażenia.

\[S_{10}=6\left(\frac{10\cdot11}{2}-160\right)=6(55-160)=-630\]

Odpowiedź

Suma wynosi −630. Odpowiedź C.

\[S_{10}=-630\]

Sprawdzenie

Pierwszy wyraz wynosi −90, a dziesiąty −36. Ciąg jest arytmetyczny, więc jego suma to dziesięć razy średnia tych wyrazów: −630.

\[a_1=-90,\quad a_{10}=-36,\quad S_{10}=\frac{10(-90-36)}{2}=-630\]

Zadanie 12

Matura 2016 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\), w którym \(a_1=72\) i \(a_4=9\). Iloraz \(q\) tego ciągu jest równy

\(q=\frac{1}{2}\)

\(q=\frac{1}{6}\)

\(q=\frac{1}{4}\)

\(q=\frac{1}{8}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie czwartego wyrazu

W ciągu geometrycznym każdy kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez iloraz \(q\), więc \(a_4=a_1q^3\).

\[9=72q^3\]

2 Obliczenie ilorazu

Dzielimy obie strony przez 72, a następnie obliczamy pierwiastek sześcienny.

\[q^3=\frac{9}{72}=\frac{1}{8},\qquad q=\sqrt[3]{\frac{1}{8}}=\frac{1}{2}\]

Odpowiedź

Iloraz ciągu wynosi \(\frac{1}{2}\). Odpowiedź A.

\[q=\frac{1}{2}\]

Sprawdzenie

Dla obliczonego ilorazu czwarty wyraz jest równy 9, zgodnie z treścią zadania.

\[a_4=72\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^3=72\cdot\frac{1}{8}=9\]

Zadanie 13

Matura 2016 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Dany jest trapez \(ABCD\), w którym przekątna \(AC\) jest prostopadła do ramienia \(BC\), \(|AD|=|DC|\) oraz \(|\angle ABC|=50^\circ\) (zobacz rysunek).

Stąd wynika, że

Trapez ABCD z przekątną AC, oznaczeniem kąta przy C, kątem 50° przy B i kątem β przy D.

\(\beta=100^\circ\)

\(\beta=120^\circ\)

\(\beta=110^\circ\)

\(\beta=130^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Kąt przy A w trójkącie ABC

Ponieważ przekątna AC jest prostopadła do BC, trójkąt ABC jest prostokątny. Korzystamy z sumy kątów trójkąta.

\[\angle BAC=180^\circ-90^\circ-50^\circ=40^\circ\]

2 Kąty przy podstawie AC

Podstawy trapezu AB i DC są równoległe, więc kąty BAC i ACD są równe. Ponieważ AD=DC, trójkąt ADC jest równoramienny, zatem kąty przy AC są równe.

\[\angle ACD=\angle BAC=40^\circ,\qquad \angle DAC=\angle ACD=40^\circ\]

3 Obliczenie β

Odejmujemy dwa kąty przy podstawie od sumy kątów trójkąta ADC.

\[\beta=180^\circ-40^\circ-40^\circ=100^\circ\]

Odpowiedź

β = 100°, odpowiedź A.

\[\boxed{\beta=100^\circ\quad(\mathrm{A})}\]

Sprawdzenie

Kąty trójkąta ADC mają miary 40°, 40° i 100°, a ich suma wynosi 180°.

\[40^\circ+40^\circ+100^\circ=180^\circ\]

Zadanie 14

Matura 2016 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Punkty \(A\), \(B\), \(C\) i \(D\) leżą na okręgu o środku \(O\) (zobacz rysunek). Miary zaznaczonych kątów \(\alpha\) i \(\beta\) są odpowiednio równe

Okrąg o środku O z punktami A, B, C i D oraz zaznaczonymi dwoma kątami 36° i kątami α oraz β.

\(\alpha=36^\circ,\ \beta=72^\circ\)

\(\alpha=54^\circ,\ \beta=72^\circ\)

\(\alpha=36^\circ,\ \beta=108^\circ\)

\(\alpha=72^\circ,\ \beta=72^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie kąta α

Kąt środkowy α i kąt wpisany DAC są oparte na tym samym łuku DC, więc kąt środkowy jest dwa razy większy.

\[\alpha=2\angle DAC=2\cdot36^\circ=72^\circ\]

2 Obliczenie kąta β

W trójkącie ADC wyznaczamy kąt przy D. Jest on przeciwległy do kąta β w czworokącie wpisanym w okrąg, więc ich suma wynosi 180°.

\[\angle ADC=180^\circ-36^\circ-36^\circ=108^\circ,\qquad\beta=180^\circ-108^\circ=72^\circ\]

Odpowiedź

Poprawna odpowiedź: D.

\[\alpha=72^\circ,\qquad\beta=72^\circ\]

Sprawdzenie

Kąt ACD wyznacza łuk AD o mierze 72°, a kąt DAC łuk DC o mierze 72°. Kąt β opiera się na łuku ADC o mierze 144°, więc rzeczywiście ma 72°.

\[\beta=\frac{72^\circ+72^\circ}{2}=72^\circ\]

Zadanie 15

Matura 2016 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Słoń waży 5 ton, a waga mrówki jest równa 0,5 grama. Ile razy słoń jest cięższy od mrówki?

\(10^6\)

\(10^7\)

\(10\)

\(10^8\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zamiana jednostek

Aby porównać masy, wyrażamy je w gramach. Jedna tona to milion gramów.

\[5\,\mathrm{t}=5\cdot10^6\,\mathrm{g}\]

2 Obliczenie ilorazu

Dzielimy masę słonia przez masę mrówki, aby ustalić, ile razy jest większa.

\[\frac{5\cdot10^6\,\mathrm{g}}{0{,}5\,\mathrm{g}}=10^7\]

Odpowiedź

Słoń jest cięższy od mrówki 10⁷ razy. Odpowiedź B.

\[10^7\]

Sprawdzenie

Pomnożenie masy mrówki przez otrzymany wynik daje 5 milionów gramów, czyli 5 ton.

\[0{,}5\,\mathrm{g}\cdot10^7=5\cdot10^6\,\mathrm{g}=5\,\mathrm{t}\]

Zadanie 16

Matura 2016 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Każde z ramion trójkąta równoramiennego ma długość 20. Kąt zawarty między ramionami tego trójkąta ma miarę \(150^\circ\). Pole tego trójkąta jest równe

\(100\)

\(200\)

\(100\sqrt{3}\)

\(100\sqrt{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wybór wzoru na pole

Znamy długości dwóch ramion i kąt między nimi, więc stosujemy wzór na pole z sinusem tego kąta.

\[P=\frac{1}{2}ab\sin\gamma=\frac{1}{2}\cdot20\cdot20\cdot\sin150^\circ\]

2 Obliczenie pola

Kąty 150° i 30° sumują się do 180°, dlatego mają ten sam sinus.

\[\sin150^\circ=\sin30^\circ=\frac{1}{2},\qquad P=\frac{1}{2}\cdot20\cdot20\cdot\frac{1}{2}=100\]

Odpowiedź

Pole wynosi 100. Odpowiedź A.

\[P=100\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu otrzymanego pola do wzoru iloraz jest równy sinusowi kąta między ramionami.

\[\frac{2P}{ab}=\frac{2\cdot100}{20\cdot20}=\frac{1}{2}=\sin150^\circ\]

Zadanie 17

Matura 2016 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Prosta określona wzorem \(y=ax+1\) jest symetralną odcinka \(AB\), gdzie \(A=(-3,2)\) i \(B=(1,4)\). Wynika stąd, że

\(a=-\frac{1}{2}\)

\(a=\frac{1}{2}\)

\(a=-2\)

\(a=2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie współczynnika kierunkowego odcinka AB

Symetralna jest prostopadła do prostej AB, więc najpierw obliczamy jej współczynnik kierunkowy.

\[a_{AB}=\frac{4-2}{1-(-3)}=\frac{2}{4}=\frac12\]

2 Wyznaczenie współczynnika a

Iloczyn współczynników kierunkowych prostych prostopadłych wynosi \(-1\).

\[a\cdot\frac12=-1\quad\Longrightarrow\quad a=-2\]

Odpowiedź

Odpowiedź C: \(a=-2\).

\[a=-2\]

Sprawdzenie

Środek odcinka AB to \((-1,3)\). Leży on na prostej \(y=-2x+1\), a iloczyn jej współczynnika kierunkowego i współczynnika prostej AB wynosi \(-1\). Jest to więc symetralna odcinka AB.

\[S=\left(\frac{-3+1}{2},\frac{2+4}{2}\right)=(-1,3),\qquad -2\cdot(-1)+1=3,\qquad (-2)\cdot\frac12=-1\]

Zadanie 18

Matura 2016 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Układy równań

Układ równań \(\begin{cases}y=-ax+2a\\y=\frac{b}{3}x-2\end{cases}\) nie ma rozwiązań dla

\(a=-1\) i \(b=-3\)

\(a=1\) i \(b=3\)

\(a=1\) i \(b=-3\)

\(a=-1\) i \(b=3\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek braku rozwiązań

Proste nie mają punktu wspólnego, gdy mają równe współczynniki kierunkowe i różne wyrazy wolne.

\[-a=\frac{b}{3},\qquad 2a\ne -2\]

2 Wybór odpowiedzi

W odpowiedziach C i D współczynniki kierunkowe są równe. Dla D wyrazy wolne też są równe, więc warunki spełnia tylko C.

\[\begin{aligned}\text{C: }&-1=\frac{-3}{3},\quad 2\ne-2,\\\text{D: }&1=\frac{3}{3},\quad -2=-2.\end{aligned}\]

Odpowiedź

C: a = 1 i b = −3.

\[a=1,\qquad b=-3\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu wartości z odpowiedzi C równania wymagałyby jednocześnie y = −x + 2 oraz y = −x − 2. Ich porównanie daje sprzeczność, więc układ nie ma rozwiązań.

\[-x+2=-x-2\quad\Longrightarrow\quad 2=-2\]