Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

1048 zadańStrona 61 z 70

Sortuj:

Zadanie 23

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Średnia arytmetyczna zestawu danych: \(x, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14\) jest równa \(9\). Wtedy mediana tego zestawu danych jest równa

\(8\)

\(9\)

\(10\)

\(16\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie x

Osiem liczb ma średnią 9, więc ich suma wynosi 72. Suma siedmiu znanych liczb to 56.

\[x+2+4+6+8+10+12+14=8\cdot9=72,\quad x+56=72,\quad x=16\]

2 Obliczenie mediany

Po uporządkowaniu ośmiu liczb mediana jest średnią czwartej i piątej liczby.

\[2,4,6,8,10,12,14,16;\quad \frac{8+10}{2}=9\]

Odpowiedź

Mediana wynosi 9. Odpowiedź B.

\[9\]

Sprawdzenie

Suma uporządkowanych liczb wynosi 72, więc ich średnia to 9; środkowe liczby to 8 i 10.

\[\frac{2+4+6+8+10+12+14+16}{8}=9\]

Zadanie 24

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Kombinatoryka

Ile jest wszystkich czterocyfrowych liczb naturalnych mniejszych niż \(2017\)?

\(2016\)

\(2017\)

\(1016\)

\(1017\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie zakresu

Najmniejsza liczba czterocyfrowa to 1000. Ponieważ szukane liczby są mniejsze niż 2017, największa z nich to 2016.

\[1000\leq n\leq 2016\]

2 Policzenie liczb

W przedziale liczb całkowitych z oboma końcami wliczonymi odejmujemy końce i dodajemy 1.

\[2016-1000+1=1017\]

Odpowiedź

Jest 1017 takich liczb. Odpowiedź D.

\[1017\]

Sprawdzenie

Od 1000 do 1999 jest 1000 liczb, a od 2000 do 2016 jest 17 liczb; razem 1017.

\[1000+17=1017\]

Zadanie 25

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Z pudełka, w którym jest tylko \(6\) kul białych i \(n\) kul czarnych, losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe \(\frac{1}{3}\). Liczba kul czarnych jest równa

\(n=9\)

\(n=2\)

\(n=18\)

\(n=12\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ułożenie równania

Prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli to liczba kul białych podzielona przez liczbę wszystkich kul.

\[\frac{6}{6+n}=\frac{1}{3}\]

2 Obliczenie liczby kul czarnych

Mnożymy obie strony przez dodatnią liczbę \(3(6+n)\), a następnie odejmujemy 6.

\[18=6+n\quad\Rightarrow\quad n=12\]

Odpowiedź

W pudełku jest 12 kul czarnych. Odpowiedź D.

\[n=12\]

Sprawdzenie

Dla 12 kul czarnych wszystkich kul jest 18, więc prawdopodobieństwo wylosowania białej wynosi jedną trzecią.

\[\frac{6}{6+12}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}\]

Zadanie 26

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

Rozwiąż nierówność \(2x^{2}+x-6\leq 0\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozkład na czynniki

Rozkładamy trójmian, aby wyznaczyć jego miejsca zerowe i zbadać znak iloczynu.

\[2x^{2}+x-6=(2x-3)(x+2)\]

2 Rozwiązanie nierówności

Iloczyn jest niedodatni między miejscami zerowymi. Końce przedziału należą do rozwiązania, ponieważ nierówność jest nieostra.

\[(2x-3)(x+2)\leq 0\quad\Longleftrightarrow\quad -2\leq x\leq\frac{3}{2}\]

Odpowiedź

Zbiorem rozwiązań jest przedział od −2 do 3/2 wraz z końcami.

\[x\in\left[-2,\frac{3}{2}\right]\]

Sprawdzenie

Dla obu końców iloczyn wynosi zero. Między nimi, na przykład dla x = 0, wynosi −6; poza przedziałem, dla x = −3 i x = 2, wynosi odpowiednio 9 i 4. Znak zgadza się z wyznaczonym przedziałem.

\[f(-2)=f\left(\frac{3}{2}\right)=0,\quad f(0)=-6<0,\quad f(-3)=9>0,\quad f(2)=4>0\]

Zadanie 27

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

Rozwiąż równanie \((x^{2}-6)(3x+2)=0\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie zasady iloczynu zerowego

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy zeru.

\[(x^{2}-6)(3x+2)=0\iff x^{2}-6=0\ \text{lub}\ 3x+2=0\]

2 Rozwiązanie obu równań

Z pierwszego równania otrzymujemy dwa pierwiastki, a z drugiego jeden.

\[x^{2}=6\iff x=\sqrt{6}\ \text{lub}\ x=-\sqrt{6};\qquad 3x=-2\iff x=-\frac{2}{3}\]

Odpowiedź

Rozwiązania to \(x=-\sqrt{6}\), \(x=-\frac{2}{3}\) oraz \(x=\sqrt{6}\).

\[x\in\left\{-\sqrt{6},-\frac{2}{3},\sqrt{6}\right\}\]

Sprawdzenie

Dla \(x=\pm\sqrt{6}\) pierwszy czynnik wynosi zero, a dla \(x=-\frac{2}{3}\) drugi czynnik wynosi zero. Wszystkie trzy liczby spełniają równanie.

\[(\pm\sqrt{6})^{2}-6=0,\qquad 3\left(-\frac{2}{3}\right)+2=0\]

Zadanie 28

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

Udowodnij, że dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej \(x\) prawdziwa jest nierówność \(4x+\frac{1}{x}\geq 4\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przenieś 4 na lewą stronę

Aby udowodnić nierówność, wystarczy wykazać, że różnica jej stron jest nieujemna. Ponieważ x>0, możemy sprowadzić wyrażenia do wspólnego mianownika.

\[4x+\frac{1}{x}-4=\frac{4x^2-4x+1}{x}=\frac{(2x-1)^2}{x}\]

2 Oceń znak różnicy

Kwadrat jest nieujemny, a mianownik jest dodatni, więc otrzymany ułamek jest nieujemny.

\[x>0,\quad (2x-1)^2\geq 0\quad\Longrightarrow\quad 4x+\frac{1}{x}-4\geq 0\]

Odpowiedź

Dla każdego x>0 zachodzi podana nierówność. Równość występuje dla x=1/2.

\[4x+\frac{1}{x}\geq 4\quad\text{dla }x>0\]

Sprawdzenie

Dla x=1/2, które spełnia warunek x>0, lewa strona wynosi 4. Dla pozostałych dodatnich x kwadrat (2x−1)² jest dodatni, więc nierówność jest ostra.

\[4\cdot\frac12+\frac{1}{\frac12}=2+2=4\]

Zadanie 29

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym \(|\angle ACB|=90^\circ\) i \(|\angle ABC|=60^\circ\). Niech \(D\) oznacza punkt wspólny wysokości poprowadzonej z wierzchołka \(C\) kąta prostego i przeciwprostokątnej \(AB\) tego trójkąta. Wykaż, że \(|AD|:|DB|=3:1\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie długości przyprostokątnych

Kąt A ma 30°, więc w trójkącie prostokątnym przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta 60° jest √3 razy dłuższa od przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta 30°.

\[|\angle A|=30^\circ,\qquad |AC|=\sqrt{3}|BC|\]

2 Zastosowanie podobieństwa trójkątów

Trójkąty ACD i CBD są podobne do ABC. Z proporcji odpowiadających sobie boków otrzymujemy długości odcinków przeciwprostokątnej.

\[\frac{|AD|}{|AC|}=\frac{|AC|}{|AB|},\qquad \frac{|DB|}{|BC|}=\frac{|BC|}{|AB|},\qquad |AD|=\frac{|AC|^2}{|AB|},\quad |DB|=\frac{|BC|^2}{|AB|}\]

3 Obliczenie stosunku

Dzielimy otrzymane długości; wspólny mianownik się skraca.

\[\frac{|AD|}{|DB|}=\frac{|AC|^2}{|BC|^2}=\frac{(\sqrt{3}|BC|)^2}{|BC|^2}=3\]

Odpowiedź

Stosunek długości AD do DB wynosi 3:1.

\[|AD|:|DB|=3:1\]

Sprawdzenie

Niech |BC|=t>0. Wtedy |AC|=√3t i z twierdzenia Pitagorasa |AB|=2t. Otrzymujemy |AD|=3t/2 oraz |DB|=t/2; ich suma wynosi 2t=|AB|, zgodnie z położeniem D na przeciwprostokątnej.

\[|AD|+|DB|=\frac{3t}{2}+\frac{t}{2}=2t=|AB|\]

Zadanie 30

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Ze zbioru liczb \(\{1,2,4,5,10\}\) losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że iloraz pierwszej wylosowanej liczby przez drugą wylosowaną liczbę jest liczbą całkowitą.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba możliwych wyników

Losowania odbywają się ze zwracaniem, więc każde z dwóch losowań ma 5 możliwych wyników. Kolejność ma znaczenie.

\[|\Omega|=5\cdot5=25\]

2 Liczba wyników sprzyjających

Iloraz jest liczbą całkowitą wtedy i tylko wtedy, gdy druga liczba dzieli pierwszą. Dla kolejnych pierwszych liczb: 1, 2, 4, 5 i 10 otrzymujemy odpowiednio 1, 2, 3, 2 i 4 możliwe drugie liczby.

\[|A|=1+2+3+2+4=12\]

3 Obliczenie prawdopodobieństwa

Wszystkie uporządkowane pary są jednakowo prawdopodobne, więc dzielimy liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich wyników.

\[P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{12}{25}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi 12/25.

\[P(A)=\frac{12}{25}\]

Sprawdzenie

Licząc według drugiej wylosowanej liczby, otrzymujemy odpowiednio 5, 3, 1, 2 i 1 dopuszczalnych pierwszych liczb. Suma ponownie wynosi 12, a otrzymane prawdopodobieństwo należy do przedziału od 0 do 1.

\[5+3+1+2+1=12,\qquad 0\leq\frac{12}{25}\leq1\]

Zadanie 31

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Ciągi

Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\), określony dla \(n\geq 1\), w którym spełniona jest równość \(a_{21}+a_{24}+a_{27}+a_{30}=100\). Oblicz sumę \(a_{25}+a_{26}\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Łączymy wyrazy w pary

W ciągu arytmetycznym pary wyrazów, których indeksy mają tę samą sumę, mają równe sumy.

\[a_{21}+a_{30}=a_{24}+a_{27}=a_{25}+a_{26}\]

2 Obliczamy szukaną sumę

W podanej równości występują dwie pary, z których każda ma sumę równą szukanej.

\[100=(a_{21}+a_{30})+(a_{24}+a_{27})=2(a_{25}+a_{26}),\quad a_{25}+a_{26}=50\]

Odpowiedź

Suma wynosi 50.

\[a_{25}+a_{26}=50\]

Sprawdzenie

Obie pary wyrazów z warunku mają sumę 50, więc ich łączna suma wynosi 100.

\[(a_{21}+a_{30})+(a_{24}+a_{27})=50+50=100\]

Zadanie 32

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Funkcje

Funkcja kwadratowa \(f(x)=ax^2+bx+c\) ma dwa miejsca zerowe \(x_1=-2\) i \(x_2=6\). Wykres funkcji \(f\) przechodzi przez punkt \(A=(1,-5)\). Oblicz najmniejszą wartość funkcji \(f\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie postaci iloczynowej

Miejsca zerowe pozwalają zapisać funkcję jako iloczyn czynników liniowych.

\[f(x)=a(x+2)(x-6)\]

2 Wyznaczenie współczynnika

Podstawiamy współrzędne punktu A, ponieważ należy on do wykresu.

\[-5=a(1+2)(1-6)=-15a\quad\Rightarrow\quad a=\frac13\]

3 Obliczenie minimum

Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, więc parabola ma minimum w połowie odległości między miejscami zerowymi.

\[x_w=\frac{-2+6}{2}=2,\qquad f(2)=\frac13(2+2)(2-6)=-\frac{16}{3}\]

Odpowiedź

Najmniejsza wartość funkcji wynosi \(-\frac{16}{3}\).

\[\min f=-\frac{16}{3}\]

Sprawdzenie

Otrzymana funkcja przechodzi przez punkt A. Po zapisaniu jej w postaci kanonicznej widać też, że żadna wartość nie jest mniejsza od obliczonej.

\[f(1)=\frac13\cdot3\cdot(-5)=-5,\qquad f(x)=\frac13(x-2)^2-\frac{16}{3}\geq-\frac{16}{3}\]

Zadanie 33

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Punkt \(C=(0,0)\) jest wierzchołkiem trójkąta prostokątnego \(ABC\), którego wierzchołek \(A\) leży na osi \(Ox\), a wierzchołek \(B\) na osi \(Oy\) układu współrzędnych. Prosta zawierająca wysokość tego trójkąta opuszczoną z wierzchołka \(C\) przecina przeciwprostokątną \(AB\) w punkcie \(D=(3,4)\).

Oblicz współrzędne wierzchołków \(A\) i \(B\) tego trójkąta oraz długość przeciwprostokątnej \(AB\).

Układ współrzędnych z punktami A, B, C i D=(3,4), przeciwprostokątną AB oraz prostą przechodzącą przez C i D.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie nachylenia przeciwprostokątnej

Wysokość CD jest prostopadła do AB. Współczynnik kierunkowy CD obliczamy z punktów C i D, a współczynnik prostej prostopadłej jest jego ujemną odwrotnością.

\[a_{CD}=\frac{4-0}{3-0}=\frac43,\qquad a_{AB}=-\frac34\]

2 Równanie prostej AB

Prosta AB przechodzi przez punkt D=(3,4), więc podstawiamy jego współrzędne do równania kierunkowego.

\[y-4=-\frac34(x-3),\qquad y=-\frac34x+\frac{25}{4}\]

3 Współrzędne wierzchołków

Punkt A leży na osi Ox, zatem ma drugą współrzędną równą zero. Punkt B leży na osi Oy, więc ma pierwszą współrzędną równą zero.

\[A:\quad 0=-\frac34x+\frac{25}{4}\ \Longrightarrow\ x=\frac{25}{3};\qquad B:\quad x=0\ \Longrightarrow\ y=\frac{25}{4}\]

4 Długość przeciwprostokątnej

Stosujemy wzór na odległość punktów A i B.

\[|AB|=\sqrt{\left(\frac{25}{3}\right)^2+\left(\frac{25}{4}\right)^2}=25\sqrt{\frac19+\frac1{16}}=\frac{125}{12}\]

Odpowiedź

Wierzchołki mają współrzędne A=(25/3, 0) i B=(0, 25/4), a długość przeciwprostokątnej AB wynosi 125/12.

\[A=\left(\frac{25}{3},0\right),\qquad B=\left(0,\frac{25}{4}\right),\qquad |AB|=\frac{125}{12}\]

Sprawdzenie

Punkt D leży na wyznaczonej prostej AB, a iloczyn współczynników kierunkowych CD i AB wynosi −1, więc CD jest wysokością. Obie współrzędne punktu D mieszczą się między współrzędnymi końców odcinka AB.

\[4=-\frac34\cdot3+\frac{25}{4},\qquad \frac43\cdot\left(-\frac34\right)=-1,\qquad 0<3<\frac{25}{3},\quad 0<4<\frac{25}{4}\]

Zadanie 34

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Stereometria

Podstawą graniastosłupa prostego \(ABCDEF\) jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym \(|\angle ACB|=90^\circ\) (zobacz rysunek). Stosunek długości przyprostokątnej \(AC\) tego trójkąta do długości przyprostokątnej \(BC\) jest równy \(4:3\). Punkt \(S\) jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie \(ABC\), a długość odcinka \(SC\) jest równa \(5\). Pole ściany bocznej \(BEFC\) graniastosłupa jest równe \(48\). Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Graniastosłup prosty ABCDEF o podstawie trójkątnej ABC, z punktem S na odcinku AB.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie przeciwprostokątnej

W trójkącie prostokątnym środek okręgu opisanego leży w połowie przeciwprostokątnej, więc promień jest równy połowie długości AB.

\[AB=2\cdot SC=2\cdot5=10\]

2 Obliczenie przyprostokątnych

Zapisujemy przyprostokątne w stosunku 4:3 i stosujemy twierdzenie Pitagorasa.

\[AC=4x,\quad BC=3x,\quad (4x)^2+(3x)^2=10^2,\quad 25x^2=100,\quad x=2,\quad AC=8,\quad BC=6\]

3 Obliczenie wysokości

Ściana boczna BEFC graniastosłupa prostego jest prostokątem o bokach BC i wysokości h.

\[BC\cdot h=48,\quad 6h=48,\quad h=8\]

4 Obliczenie objętości

Pole podstawy to połowa iloczynu przyprostokątnych. Mnożymy je przez wysokość graniastosłupa.

\[V=\frac{AC\cdot BC}{2}\cdot h=\frac{8\cdot6}{2}\cdot8=192\]

Odpowiedź

Objętość graniastosłupa wynosi 192 jednostki sześcienne.

\[V=192\]

Sprawdzenie

Przyprostokątne spełniają podany stosunek, przeciwprostokątna ma długość 10, a pole wskazanej ściany wynosi 48.

\[8:6=4:3,\quad \sqrt{8^2+6^2}=10,\quad \frac{10}{2}=5,\quad 6\cdot8=48\]

Zadanie 1

Matura 2016 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(\frac{7^{6}\cdot 6^{7}}{42^{6}}\) jest równa

\(42^{36}\)

\(42^{7}\)

\(6\)

\(1\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozłożenie mianownika

Ponieważ 42=7·6, stosujemy wzór na potęgę iloczynu.

\[42^{6}=(7\cdot6)^{6}=7^{6}\cdot6^{6}\]

2 Skrócenie ułamka

Skracamy jednakowe czynniki licznika i mianownika.

\[\frac{7^{6}\cdot6^{7}}{42^{6}}=\frac{7^{6}\cdot6^{7}}{7^{6}\cdot6^{6}}=6\]

Odpowiedź

Odpowiedź C: 6.

\[6\]

Sprawdzenie

Po pomnożeniu wyniku przez mianownik otrzymujemy licznik.

\[6\cdot42^{6}=6\cdot7^{6}\cdot6^{6}=7^{6}\cdot6^{7}\]

Zadanie 2

Matura 2016 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Cenę pewnego towaru podwyższono o 20%, a następnie nową cenę tego towaru podwyższono o 30%. Takie dwie podwyżki ceny tego towaru można zastąpić równoważną im jedną podwyżką

o 50%

o 56%

o 60%

o 66%

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie podwyżek

Każda podwyżka jest liczona od ceny obowiązującej w danym momencie, więc mnożymy cenę początkową przez kolejne współczynniki.

\[1{,}20\cdot 1{,}30=1{,}56\]

2 Wyznaczenie jednej podwyżki

Cena końcowa stanowi 156% ceny początkowej, czyli jest od niej wyższa o 56%.

\[156\%-100\%=56\%\]

Odpowiedź

Jedna równoważna podwyżka wynosi 56% — odpowiedź B.

\[56\%\]

Sprawdzenie

Dla ceny początkowej 100 zł kolejne ceny wynoszą 120 zł i 156 zł. Różnica 56 zł stanowi 56% ceny początkowej.

\[100\cdot1{,}20=120,\quad120\cdot1{,}30=156,\quad\frac{156-100}{100}=56\%\]

Zadanie 3

Matura 2016 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(\sqrt[3]{3\sqrt{3}}\) jest równa

\(\sqrt[6]{3}\)

\(\sqrt[4]{3}\)

\(\sqrt[3]{3}\)

\(\sqrt{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz liczbę pod pierwiastkiem jako sześcian

Ponieważ \(\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3\), otrzymujemy sześcian liczby \(\sqrt{3}\).

\[3\sqrt{3}=(\sqrt{3})^3\]

2 Oblicz pierwiastek sześcienny

Pierwiastek sześcienny z sześcianu liczby jest tą liczbą.

\[\sqrt[3]{3\sqrt{3}}=\sqrt[3]{(\sqrt{3})^3}=\sqrt{3}\]

Odpowiedź

D. Pierwiastek z 3.

\[\sqrt{3}\]

Sprawdzenie

Sześcian otrzymanego wyniku jest równy liczbie pod pierwiastkiem sześciennym.

\[(\sqrt{3})^3=3\sqrt{3}\]