Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

1048 zadańStrona 60 z 70

Sortuj:

Zadanie 8

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Rozwiązaniem równania \(\frac{x+1}{x+2}=3\), gdzie \(x\neq -2\), jest liczba należąca do przedziału

\((-2,1)\)

\(\langle 1,+\infty)\)

\((-\infty,-5)\)

\(\langle -5,-2)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Usunięcie mianownika

Ponieważ x≠−2, mnożymy obie strony równania przez x+2.

\[x+1=3(x+2)\]

2 Wyznaczenie x

Rozwijamy nawias i przenosimy wyrazy z x na jedną stronę.

\[x+1=3x+6\quad\Longrightarrow\quad -5=2x\quad\Longrightarrow\quad x=-\frac{5}{2}\]

3 Wybór przedziału

Otrzymana liczba leży między −5 a −2, więc pasuje odpowiedź D.

\[-5\le -\frac{5}{2}<-2\]

Odpowiedź

D, x=−5/2.

\[x=-\frac{5}{2}\]

Sprawdzenie

Liczba −5/2 spełnia warunek x≠−2, a po podstawieniu lewa strona równania wynosi 3.

\[\frac{-\frac{5}{2}+1}{-\frac{5}{2}+2}=\frac{-\frac{3}{2}}{-\frac{1}{2}}=3\]

Zadanie 9

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Linę o długości 100 metrów rozcięto na trzy części, których długości pozostają w stosunku \(3:4:5\). Stąd wynika, że najdłuższa z tych części ma długość

\(41\frac{2}{3}\) metra.

\(33\frac{1}{3}\) metra.

60 metrów.

25 metrów.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie jednej części stosunku

Dodajemy liczby w stosunku, aby ustalić, na ile równych części przypada cała lina.

\[3+4+5=12,\qquad 100:12=\frac{25}{3}\ \text{m}\]

2 Długość najdłuższego odcinka

Najdłuższy odcinek odpowiada pięciu częściom stosunku, więc mnożymy długość jednej części przez 5.

\[5\cdot\frac{25}{3}=\frac{125}{3}=41\frac{2}{3}\ \text{m}\]

Odpowiedź

Najdłuższa część ma długość 41⅔ metra. Odpowiedź A.

\[41\frac{2}{3}\ \text{m}\quad\text{— A}\]

Sprawdzenie

Długości trzech części sumują się do 100 metrów.

\[3\cdot\frac{25}{3}+4\cdot\frac{25}{3}+5\cdot\frac{25}{3}=25+\frac{100}{3}+\frac{125}{3}=100\ \text{m}\]

Zadanie 10

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=x^2+bx+c\).

Współczynniki \(b\) i \(c\) spełniają warunki:

Fragment wykresu funkcji kwadratowej w układzie współrzędnych z oznaczonym początkiem oraz osiami x i y

\(b<0,\ c>0\)

\(b<0,\ c<0\)

\(b>0,\ c>0\)

\(b>0,\ c<0\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Znak współczynnika c

Wartość funkcji dla x=0 jest równa c. Wykres przecina oś y powyżej osi x, więc c>0.

\[f(0)=c>0\]

2 Znak współczynnika b

Wierzchołek leży na prawo od osi y. Ponieważ jego pierwsza współrzędna wynosi -b/2, otrzymujemy b<0.

\[x_w=-\frac{b}{2}>0\quad\Longrightarrow\quad b<0\]

Odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A. Współczynnik b jest ujemny, a c dodatni.

\[b<0,\quad c>0\]

Sprawdzenie

Dodatnia wartość c odpowiada przecięciu osi y powyżej osi x, a ujemna wartość b daje dodatnią pierwszą współrzędną wierzchołka. Oba warunki zgadzają się z rysunkiem.

\[c>0,\qquad -\frac{b}{2}>0\]

Zadanie 11

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\), określony dla \(n\geq 1\), o którym wiemy, że: \(a_1=2\) i \(a_2=9\). Wtedy \(a_n=79\) dla

\(n=10\)

\(n=11\)

\(n=12\)

\(n=13\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie różnicy

W ciągu arytmetycznym różnica kolejnych wyrazów jest stała.

\[r=a_2-a_1=9-2=7\]

2 Wyznaczenie numeru wyrazu

Korzystamy ze wzoru na wyraz ogólny i rozwiązujemy równanie dla \(a_n=79\).

\[79=a_1+(n-1)r=2+7(n-1)\;\Longrightarrow\;77=7(n-1)\;\Longrightarrow\;n=12\]

Odpowiedź

Odpowiedź C: n = 12.

\[n=12\]

Sprawdzenie

Dla n = 12 wzór daje 79, a numer wyrazu spełnia warunek n ≥ 1.

\[a_{12}=2+(12-1)\cdot 7=79\]

Zadanie 12

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Dany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny o wyrazach dodatnich: \((81, 3x, 4)\). Stąd wynika, że

\(x=18\)

\(x=6\)

\(x=\frac{85}{6}\)

\(x=\frac{6}{85}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Własność ciągu geometrycznego

Kwadrat środkowego wyrazu jest iloczynem wyrazów skrajnych, więc wyznaczamy x z tego równania.

\[(3x)^2=81\cdot4=324\]

2 Wybór dodatniego rozwiązania

Po podzieleniu przez 9 otrzymujemy dwa rozwiązania. Ponieważ 3x jest dodatnim wyrazem ciągu, wybieramy dodatnie x.

\[9x^2=324\quad\Longrightarrow\quad x^2=36\quad\Longrightarrow\quad x=6\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: x = 6.

\[x=6\]

Sprawdzenie

Dla x = 6 środkowy wyraz wynosi 18 i jest dodatni. Ilorazy kolejnych wyrazów są równe, więc ciąg jest geometryczny.

\[\frac{18}{81}=\frac{2}{9}=\frac{4}{18}\]

Zadanie 13

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Kąt \(\alpha\) jest ostry i spełniona jest równość \(\sin\alpha=\frac{2\sqrt{6}}{7}\). Stąd wynika, że

\(\cos\alpha=\frac{24}{49}\)

\(\cos\alpha=\frac{5}{7}\)

\(\cos\alpha=\frac{25}{49}\)

\(\cos\alpha=\frac{5\sqrt{6}}{7}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie kwadratu cosinusa

Korzystamy z tożsamości pitagorejskiej, aby wyznaczyć cosinus z podanej wartości sinusa.

\[\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-\left(\frac{2\sqrt{6}}{7}\right)^2=1-\frac{24}{49}=\frac{25}{49}\]

2 Wybór znaku

Kąt ostry ma dodatni cosinus, więc wybieramy dodatni pierwiastek.

\[\cos\alpha=\sqrt{\frac{25}{49}}=\frac{5}{7}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[\cos\alpha=\frac{5}{7}\]

Sprawdzenie

Obie wartości są dodatnie, a suma ich kwadratów wynosi 1, zgodnie z tożsamością pitagorejską.

\[\left(\frac{2\sqrt{6}}{7}\right)^2+\left(\frac{5}{7}\right)^2=\frac{24}{49}+\frac{25}{49}=1\]

Zadanie 14

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Na okręgu o środku w punkcie \(O\) leżą punkty \(A\), \(B\) i \(C\) (zobacz rysunek). Kąt \(ABC\) ma miarę \(121^\circ\), a kąt \(BOC\) ma miarę \(40^\circ\).

Kąt \(AOB\) ma miarę

Okrąg o środku O z punktami A, B, C oraz zaznaczonymi kątami.

\(59^\circ\)

\(50^\circ\)

\(81^\circ\)

\(78^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie łuku AC

Kąt wpisany ABC ma 121°, więc łuk AC, na którym nie leży B, ma dwa razy większą miarę. Drugi łuk AC przechodzi przez B.

\[2\cdot121^\circ=242^\circ,\qquad 360^\circ-242^\circ=118^\circ\]

2 Obliczenie kąta AOB

Miara łuku AC przechodzącego przez B jest sumą kątów środkowych AOB i BOC.

\[\angle AOB+40^\circ=118^\circ,\qquad \angle AOB=78^\circ\]

Odpowiedź

Kąt AOB ma miarę 78°, czyli odpowiedź D.

\[\boxed{78^\circ\;\text{— D}}\]

Sprawdzenie

Kąty środkowe AOB i BOC dają razem 118°. Łuk AC nieprzechodzący przez B ma więc 242°, a oparty na nim kąt wpisany ma 121°, zgodnie z treścią.

\[\frac{360^\circ-(78^\circ+40^\circ)}{2}=121^\circ\]

Zadanie 15

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

W trójkącie \(ABC\) punkt \(D\) leży na boku \(BC\), a punkt \(E\) leży na boku \(AC\). Odcinek \(DE\) jest równoległy do boku \(AB\), a ponadto \(|AE|=|DE|=4\), \(|AB|=6\) (zobacz rysunek).

Odcinek \(CE\) ma długość

Trójkąt ABC z punktami E na boku AC i D na boku BC; odcinek ED jest równoległy do AB. Przy odcinkach AE i ED oznaczono 4, a przy AB oznaczono 6.

\(\frac{16}{3}\)

\(\frac{8}{3}\)

\(8\)

\(6\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podobieństwo trójkątów

Ponieważ \(DE\parallel AB\), trójkąty \(CDE\) i \(CAB\) są podobne. Stosunek odpowiadających sobie boków wynosi \(4:6\).

\[\frac{CE}{CA}=\frac{DE}{AB}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\]

2 Obliczenie długości CE

Punkt \(E\) leży na boku \(AC\), więc \(CA=CE+AE=CE+4\). Podstawiamy to do proporcji.

\[\frac{CE}{CE+4}=\frac{2}{3}\quad\Longrightarrow\quad 3CE=2CE+8\quad\Longrightarrow\quad CE=8\]

Odpowiedź

Odcinek CE ma długość 8. Poprawna odpowiedź: C.

\[|CE|=8\]

Sprawdzenie

Dla CE = 8 mamy CA = 12, a stosunki odpowiadających sobie boków są równe: 8/12 = 4/6.

\[\frac{CE}{CA}=\frac{8}{8+4}=\frac{2}{3}=\frac{DE}{AB}\]

Zadanie 16

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Dany jest trójkąt równoboczny, którego pole jest równe \(6\sqrt{3}\). Bok tego trójkąta ma długość

\(3\sqrt{2}\)

\(2\sqrt{3}\)

\(2\sqrt{6}\)

\(6\sqrt{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie wzoru na pole

Pole trójkąta równobocznego o boku \(a\) wynosi \(\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\), więc przyrównujemy je do podanej wartości.

\[\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=6\sqrt{3}\]

2 Wyznaczenie boku

Dzielimy obie strony przez \(\sqrt{3}\), a następnie mnożymy przez 4. Długość boku jest dodatnia, więc wybieramy dodatni pierwiastek.

\[\frac{a^2}{4}=6\quad\Longrightarrow\quad a^2=24\quad\Longrightarrow\quad a=\sqrt{24}=2\sqrt{6}\]

Odpowiedź

Bok ma długość \(2\sqrt{6}\). Odpowiedź C.

\[a=2\sqrt{6}\]

Sprawdzenie

Dla obliczonego boku pole wynosi \(6\sqrt{3}\), zgodnie z treścią zadania.

\[\frac{(2\sqrt{6})^2\sqrt{3}}{4}=\frac{24\sqrt{3}}{4}=6\sqrt{3}\]

Zadanie 17

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Punkty \(B=(-2,4)\) i \(C=(5,1)\) są sąsiednimi wierzchołkami kwadratu \(ABCD\). Pole tego kwadratu jest równe

\(29\)

\(40\)

\(58\)

\(74\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie długości boku

Punkty B i C są sąsiednimi wierzchołkami, więc odcinek BC jest bokiem kwadratu. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy kwadrat jego długości.

\[|BC|^2=(5-(-2))^2+(1-4)^2=7^2+(-3)^2=58\]

2 Obliczenie pola

Pole kwadratu jest równe kwadratowi długości boku.

\[P=|BC|^2=58\]

Odpowiedź

Pole wynosi 58. Odpowiedź C.

\[P=58\]

Sprawdzenie

Różnice współrzędnych punktów B i C wynoszą 7 i −3, a suma ich kwadratów to 49+9=58, zgodnie z otrzymanym polem.

\[7^2+(-3)^2=49+9=58\]

Zadanie 18

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Na rysunku przedstawiono ostrosłup prawidłowy czworokątny \(ABCDS\) o podstawie \(ABCD\).

Kąt nachylenia krawędzi bocznej \(SA\) ostrosłupa do płaszczyzny podstawy \(ABCD\) to

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS z oznaczonym punktem O w podstawie.

\(\angle SAO\)

\(\angle SAB\)

\(\angle SOA\)

\(\angle ASB\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie rzutu krawędzi

W ostrosłupie prawidłowym wierzchołek S leży nad środkiem O podstawy, więc rzutem prostokątnym odcinka SA na płaszczyznę podstawy jest AO.

\[SO\perp(ABCD),\qquad \operatorname{rzut}(SA)=AO\]

2 Wyznaczenie kąta

Kąt nachylenia prostej do płaszczyzny jest kątem między tą prostą a jej rzutem na płaszczyznę.

\[\angle(SA,(ABCD))=\angle SAO\]

Odpowiedź

A. Kąt SAO.

\[\boxed{\angle SAO}\]

Sprawdzenie

AO leży w podstawie i jest rzutem SA, ponieważ S rzutuje się na O, a A pozostaje w miejscu. Zatem kąt SAO spełnia definicję szukanego kąta.

\[S\mapsto O,\quad A\mapsto A,\quad SA\mapsto AO\]

Zadanie 19

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Graniastosłup ma 14 wierzchołków. Liczba wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest równa

\(14\)

\(21\)

\(28\)

\(26\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustalenie liczby boków podstawy

Graniastosłup ma dwie podstawy, każda z taką samą liczbą wierzchołków. Z 14 wierzchołków wynika, że podstawa jest siedmiokątem.

\[2n=14\quad\Rightarrow\quad n=7\]

2 Obliczenie liczby krawędzi

Każda podstawa ma 7 krawędzi, a kolejne 7 krawędzi łączy odpowiadające sobie wierzchołki podstaw.

\[7+7+7=21\]

Odpowiedź

Graniastosłup ma 21 krawędzi. Odpowiedź B.

\[21\]

Sprawdzenie

Dwie siedmiokątne podstawy mają razem 14 wierzchołków, zgodnie z treścią zadania. Liczba krawędzi w obu podstawach i między nimi wynosi 21.

\[2\cdot7=14,\qquad 2\cdot7+7=21\]

Zadanie 20

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Prosta \(k\) przechodzi przez punkt \(A=(4,-4)\) i jest prostopadła do osi \(Ox\). Prosta \(k\) ma równanie

\(x-4=0\)

\(x-y=0\)

\(y+4=0\)

\(x+y=0\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie równania

Prosta prostopadła do osi \(Ox\) jest pionowa, więc wszystkie jej punkty mają tę samą współrzędną \(x\). Ponieważ przechodzi przez \(A=(4,-4)\), ta współrzędna wynosi 4.

\[x=4\iff x-4=0\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[x-4=0\]

Sprawdzenie

Punkt \(A\) spełnia równanie, bo \(4-4=0\). Równanie \(x=4\) opisuje prostą pionową, więc jest ona prostopadła do osi \(Ox\).

\[x_A-4=4-4=0\]

Zadanie 21

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Prosta \(l\) jest nachylona do osi \(Ox\) pod kątem \(30^\circ\) i przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,-\sqrt{3})\) (zobacz rysunek).

Prosta \(l\) ma równanie

Układ współrzędnych z prostą l, kątem 30° przy osi Ox i przecięciem osi Oy w punkcie o rzędnej −√3.

\(y=\frac{\sqrt{3}}{3}x-\sqrt{3}\)

\(y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3}\)

\(y=\frac{1}{2}x-\sqrt{3}\)

\(y=\frac{1}{2}x+\sqrt{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie współczynnika kierunkowego

W równaniu prostej \(y=ax+b\) współczynnik \(a\) jest tangensem kąta nachylenia prostej do dodatniego zwrotu osi \(Ox\).

\[a=\tan 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{3}\]

2 Wyznaczenie równania

Prosta przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,-\sqrt{3})\), więc wyraz wolny wynosi \(b=-\sqrt{3}\).

\[y=\frac{\sqrt{3}}{3}x-\sqrt{3}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[y=\frac{\sqrt{3}}{3}x-\sqrt{3}\]

Sprawdzenie

Dla \(x=0\) otrzymujemy \(y=-\sqrt{3}\), a współczynnik kierunkowy jest równy \(\tan 30^\circ\). Oba warunki są spełnione.

\[y(0)=-\sqrt{3},\qquad \frac{\sqrt{3}}{3}=\tan 30^\circ\]

Zadanie 22

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Dany jest stożek o wysokości \(6\) i tworzącej \(3\sqrt{5}\). Objętość tego stożka jest równa

\(36\pi\)

\(18\pi\)

\(108\pi\)

\(54\pi\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie promienia

Wysokość, promień podstawy i tworząca stożka tworzą trójkąt prostokątny, więc stosujemy twierdzenie Pitagorasa.

\[r^2+6^2=(3\sqrt{5})^2,\qquad r^2=45-36=9\]

2 Obliczenie objętości

Podstawiamy pole podstawy i wysokość do wzoru na objętość stożka.

\[V=\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{1}{3}\pi\cdot9\cdot6=18\pi\]

Odpowiedź

B. Objętość stożka wynosi \(18\pi\).

\[V=18\pi\]

Sprawdzenie

Promień wynosi \(3\), a \(3^2+6^2=45=(3\sqrt{5})^2\), więc zgadza się z podaną tworzącą.

\[3^2+6^2=45=(3\sqrt{5})^2\]