Zbiór zadań maturalnych

Matematyka — zadania maturalne

Ćwicz zadania maturalne z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Wybierz dział, formułę i poziom. Porównaj trudność według statystyk CKE. Domyślnie pokazujemy zadania ze statystyką, od łatwiejszych do trudniejszych. Procent CKE to średni procent zdobytych punktów.

1468 w całym zbiorze

Ćwicz zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku.

Co oznacza procent CKE?

To średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza łatwiejsze zadanie. Domyślnie pokazujemy zadania z procentem, od łatwiejszych do trudniejszych. Możesz to zmienić w filtrach i sortowaniu.

1048 zadańStrona 59 z 70

Sortuj:

Zadanie 27

Matura 2017 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Trygonometria

Kąt \(\alpha\) jest ostry i spełniona jest równość \(\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{\sqrt{7}}{2}\). Oblicz wartość wyrażenia \((\sin\alpha-\cos\alpha)^2\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podnieś równość do kwadratu

Pozwala to wykorzystać podaną sumę bez wyznaczania osobno sinusa i cosinusa.

\[(\sin\alpha+\cos\alpha)^2=\left(\frac{\sqrt7}{2}\right)^2=\frac74\]

2 Oblicz szukany kwadrat

Korzystamy z tożsamości \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\). Suma kwadratów sumy i różnicy wynosi więc \(2\).

\[(\sin\alpha-\cos\alpha)^2=2(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)-(\sin\alpha+\cos\alpha)^2=2-\frac74=\frac14\]

Odpowiedź

Wartość wyrażenia wynosi \(\frac14\).

\[(\sin\alpha-\cos\alpha)^2=\frac14\]

Sprawdzenie

Z podanej sumy wynika \(\sin\alpha\cos\alpha=\frac38\). Dla kąta ostrego taki iloczyn jest możliwy, bo leży między \(0\) a \(\frac12\). Ponowne obliczenie różnicy daje \(1-2\cdot\frac38=\frac14\).

\[\sin\alpha\cos\alpha=\frac{7/4-1}{2}=\frac38,\qquad(\sin\alpha-\cos\alpha)^2=1-2\cdot\frac38=\frac14\]

Zadanie 28

Matura 2017 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

Dwusieczna kąta ostrego \(ABC\) przecina przyprostokątną \(AC\) trójkąta prostokątnego \(ABC\) w punkcie \(D\).

Udowodnij, że jeżeli \(|AD|=|BD|\), to \(|CD|=\frac{1}{2}\cdot|BD|\).

Trójkąt prostokątny ABC z kątem prostym przy C. Punkt D leży na odcinku AC, a odcinek BD łączy B z D.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie kąta przy A

W trójkącie ABD boki AD i BD są równe, więc kąty leżące naprzeciw nich też są równe. Ponieważ BD jest dwusieczną kąta ABC, kąt przy A ma połowę miary kąta ABC.

\[\angle BAC=\angle BAD=\angle ABD=\frac{1}{2}\angle ABC\]

2 Wyznaczenie kąta przy B

Kąty ostre trójkąta prostokątnego ABC sumują się do 90°, zatem kąt ABC ma 60°, a jego połowa ma 30°.

\[\frac{1}{2}\angle ABC+\angle ABC=90^\circ\quad\Rightarrow\quad\angle ABC=60^\circ,\qquad\angle DBC=30^\circ\]

3 Zastosowanie własności trójkąta prostokątnego

W trójkącie prostokątnym BCD bok CD leży naprzeciw kąta 30°, więc ma połowę długości przeciwprostokątnej BD.

\[|CD|=\frac{1}{2}|BD|\]

Odpowiedź

Teza została udowodniona.

\[|CD|=\frac{1}{2}|BD|\]

Sprawdzenie

W trójkącie BCD pozostały kąt ostry ma 60°, więc stosunek boków CD do przeciwprostokątnej BD równy 1:2 jest zgodny z własnością trójkąta o kątach 30°, 60° i 90°.

\[\angle BDC=180^\circ-90^\circ-30^\circ=60^\circ\]

Zadanie 29

Matura 2017 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Liczby rzeczywiste

Wykaż, że prawdziwa jest nierówność \[(1{,}5)^{100}<6^{25}.\]

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Sprowadzenie do tej samej potęgi

Ponieważ \(100=4\cdot25\), możemy porównać podstawy potęg o wykładniku 25.

\[(1{,}5)^{100}=\left(\left(\frac32\right)^4\right)^{25}=\left(\frac{81}{16}\right)^{25}\]

2 Porównanie podstaw

Mianownik jest dodatni, więc porównujemy liczniki. Podnoszenie dodatnich liczb do potęgi 25 zachowuje nierówność.

\[\frac{81}{16}<\frac{96}{16}=6\quad\Longrightarrow\quad\left(\frac{81}{16}\right)^{25}<6^{25}\]

Odpowiedź

Nierówność jest prawdziwa.

\[(1{,}5)^{100}<6^{25}\]

Sprawdzenie

Iloraz lewej i prawej strony wynosi \(\left(\frac{27}{32}\right)^{25}<1\), co potwierdza nierówność.

\[\frac{(1{,}5)^{100}}{6^{25}}=\left(\frac{81}{96}\right)^{25}=\left(\frac{27}{32}\right)^{25}<1\]

Zadanie 30

Matura 2017 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Ciągi

Suma trzydziestu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego \((a_n)\), określonego dla \(n\geq 1\), jest równa 30. Ponadto \(a_{30}=30\). Oblicz różnicę tego ciągu.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie pierwszego wyrazu

Korzystamy ze wzoru na sumę ciągu arytmetycznego, ponieważ znamy sumę 30 wyrazów i ostatni z nich.

\[S_{30}=\frac{30(a_1+a_{30})}{2}=30\quad\Rightarrow\quad 15(a_1+30)=30\quad\Rightarrow\quad a_1=-28\]

2 Obliczenie różnicy

Trzydziesty wyraz powstaje z pierwszego po dodaniu różnicy 29 razy.

\[a_{30}=a_1+29r\quad\Rightarrow\quad 30=-28+29r\quad\Rightarrow\quad r=2\]

Odpowiedź

Różnica ciągu wynosi 2.

\[r=2\]

Sprawdzenie

Dla pierwszego wyrazu −28 i różnicy 2 trzydziesty wyraz wynosi 30, a suma trzydziestu wyrazów wynosi 30.

\[a_{30}=-28+29\cdot2=30,\qquad S_{30}=\frac{30(-28+30)}{2}=30\]

Zadanie 31

Matura 2017 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Kombinatoryka

Ze zbioru liczb \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15\}\) losujemy bez zwracania dwa razy po jednej liczbie. Wylosowane liczby tworzą parę \((a,b)\), gdzie \(a\) jest wynikiem pierwszego losowania, \(b\) jest wynikiem drugiego losowania. Oblicz, ile jest wszystkich par \((a,b)\) takich, że iloczyn \(a\cdot b\) jest liczbą parzystą.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczymy wszystkie pary

Kolejność losowań ma znaczenie. Pierwszą liczbę wybieramy na 15 sposobów, a drugą na 14, ponieważ losujemy bez zwracania.

\[15\cdot14=210\]

2 Odejmujemy pary o nieparzystym iloczynie

Iloczyn jest nieparzysty tylko wtedy, gdy obie liczby są nieparzyste. W zbiorze jest 8 takich liczb, więc po wylosowaniu pierwszej pozostaje 7.

\[8\cdot7=56\]

3 Obliczamy liczbę szukanych par

Każda pozostała para ma parzysty iloczyn.

\[210-56=154\]

Odpowiedź

Są 154 takie pary.

\[154\]

Sprawdzenie

W zbiorze jest 7 liczb parzystych. Pary z parzystą pierwszą liczbą można utworzyć na 7·14 sposobów, a pary z nieparzystą pierwszą i parzystą drugą na 8·7 sposobów. Suma wynosi 154.

\[7\cdot14+8\cdot7=98+56=154\]

Zadanie 32

Matura 2017 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Planimetria

Ramię trapezu równoramiennego \(ABCD\) ma długość \(\sqrt{26}\). Przekątne w tym trapezie są prostopadłe, a punkt ich przecięcia dzieli je w stosunku \(2:3\). Oblicz pole tego trapezu.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie stosunku podstaw

Trójkąty utworzone przez podstawy i punkt przecięcia przekątnych są podobne, więc stosunek długości podstaw jest równy stosunkowi odpowiednich odcinków przekątnych. Oznaczamy krótszą podstawę przez 2x, a dłuższą przez 3x, bez przypisywania ich do AB lub CD.

\[a:b=2:3,\qquad a=2x,\quad b=3x,\quad x>0\]

2 Wyznaczenie wysokości

W trapezie równoramiennym przekątne mają jednakowe przesunięcia poziome równe połowie sumy podstaw. Są symetryczne, więc ich prostopadłość oznacza, że wysokość jest równa temu przesunięciu.

\[h=\frac{a+b}{2}=\frac{5x}{2}\]

3 Obliczenie skali

Poziome przesunięcie końców ramienia to połowa różnicy podstaw. Stosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta złożonego z ramienia, wysokości i tego przesunięcia.

\[26=h^2+\left(\frac{b-a}{2}\right)^2=\left(\frac{5x}{2}\right)^2+\left(\frac{x}{2}\right)^2=\frac{13x^2}{2},\qquad x^2=4,\quad x=2\]

4 Obliczenie pola

Podstawy mają długości 4 i 6, a wysokość 5. Podstawiamy je do wzoru na pole trapezu.

\[P=\frac{a+b}{2}\cdot h=\frac{4+6}{2}\cdot5=25\]

Odpowiedź

Pole trapezu wynosi 25 jednostek kwadratowych.

\[P=25\]

Sprawdzenie

Dla podstaw 4 i 6 wysokość wynosi 5. Poziome przesunięcie końców ramienia wynosi 1, zatem jego długość to √26. Przekątne mają przesunięcia poziome równe 5 i pionowe równe 5, więc są prostopadłe. Z podobieństwa trójkątów odcinki każdej przekątnej są w stosunku 4:6 = 2:3.

\[\sqrt{5^2+1^2}=\sqrt{26},\qquad 5\cdot5-5\cdot5=0,\qquad 4:6=2:3\]

Zadanie 33

Matura 2017 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Punkty \(A=(-2,-8)\) i \(B=(14,-8)\) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AB|=|AC|\). Wysokość \(AD\) tego trójkąta jest zawarta w prostej o równaniu \(y=\frac{1}{2}x-7\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\) tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie prostej BC

Wysokość AD jest prostopadła do boku BC. Prosta zawierająca AD ma współczynnik kierunkowy \(\frac12\), więc prosta BC ma współczynnik \(-2\) i przechodzi przez B.

\[y+8=-2(x-14),\qquad y=-2x+20\]

2 Wykorzystanie równości boków

Ponieważ \(|AB|=16\), punkt C leży na okręgu o środku A i promieniu 16. Podstawiamy równanie prostej BC.

\[(x+2)^2+(y+8)^2=16^2\quad\Longrightarrow\quad(x+2)^2+4(x-14)^2=256\]

3 Obliczenie współrzędnych C

Rozwiązujemy równanie. Pierwiastek \(x=14\) odpowiada punktowi B, więc nie może wyznaczać drugiego wierzchołka trójkąta.

\[5x^2-108x+532=(x-14)(5x-38)=0,\qquad x_C=\frac{38}{5},\qquad y_C=-2\cdot\frac{38}{5}+20=\frac{24}{5}\]

Odpowiedź

Wierzchołek C ma współrzędne \(\left(\frac{38}{5},\frac{24}{5}\right)\).

\[C=\left(\frac{38}{5},\frac{24}{5}\right)\]

Sprawdzenie

Obliczony punkt leży na prostej BC, a jego odległość od A wynosi 16. Współczynniki kierunkowe prostych BC i AD mają iloczyn \(-1\), więc AD jest wysokością.

\[-2\cdot\frac{38}{5}+20=\frac{24}{5},\qquad |AC|=\sqrt{\left(\frac{48}{5}\right)^2+\left(\frac{64}{5}\right)^2}=16=|AB|,\qquad (-2)\cdot\frac12=-1\]

Zadanie 34

Matura 2017 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Stereometria

Podstawą graniastosłupa prostego \(ABCDA'B'C'D'\) jest romb \(ABCD\). Przekątna \(AC'\) tego graniastosłupa ma długość \(8\) i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(30^\circ\), a przekątna \(BD'\) jest nachylona do tej płaszczyzny pod kątem \(45^\circ\). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Rysunek graniastosłupa prostego o podstawie ABCD z zaznaczonymi przekątnymi AC' i BD'.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wysokość i pierwsza przekątna podstawy

Rzutem odcinka \(AC'\) na płaszczyznę podstawy jest \(AC\). W trójkącie prostokątnym \(ACC'\) obliczamy wysokość graniastosłupa i długość \(AC\).

\[h=CC'=8\sin 30^\circ=4,\qquad AC=8\cos 30^\circ=4\sqrt3\]

2 Druga przekątna podstawy

Rzutem odcinka \(BD'\) na podstawę jest \(BD\). Kąt nachylenia wynosi \(45^\circ\), więc wysokość i \(BD\) mają tę samą długość.

\[\tan 45^\circ=\frac{h}{BD}=1,\qquad BD=4\]

3 Pole podstawy i powierzchni bocznej

Przekątne rombu są prostopadłe i dzielą się na połowy. Obliczamy pole podstawy oraz bok rombu, a następnie pole czterech ścian bocznych.

\[P_p=\frac{AC\cdot BD}{2}=8\sqrt3,\qquad a=\sqrt{\left(\frac{AC}{2}\right)^2+\left(\frac{BD}{2}\right)^2}=\sqrt{12+4}=4,\qquad P_b=4ah=64\]

4 Pole całkowite

Dodajemy pola dwóch podstaw i powierzchni bocznej.

\[P_c=2P_p+P_b=2\cdot8\sqrt3+64=64+16\sqrt3\]

Odpowiedź

Pole powierzchni całkowitej wynosi \(64+16\sqrt3\).

\[P_c=64+16\sqrt3\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanych wymiarów \(AC'=\sqrt{AC^2+h^2}=8\), a \(\tan\angle(BD',BD)=h/BD=1\), więc oba podane kąty i długość przekątnej się zgadzają.

\[\sqrt{(4\sqrt3)^2+4^2}=8,\qquad \frac{h}{BD}=\frac44=\tan45^\circ\]

Zadanie 1

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Niech \(a=-2\), \(b=3\). Wartość wyrażenia \(a^b-b^a\) jest równa

\(\frac{73}{9}\)

\(\frac{71}{9}\)

\(-\frac{73}{9}\)

\(-\frac{71}{9}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie danych

Podstawiamy podane wartości za a i b.

\[a^b-b^a=(-2)^3-3^{-2}\]

2 Obliczenie potęg

Ujemny wykładnik oznacza odwrotność odpowiedniej potęgi.

\[(-2)^3-3^{-2}=-8-\frac{1}{3^2}=-8-\frac{1}{9}\]

3 Odjęcie ułamków

Sprowadzamy liczby do wspólnego mianownika 9.

\[-8-\frac{1}{9}=-\frac{72}{9}-\frac{1}{9}=-\frac{73}{9}\]

Odpowiedź

Wynik to −73/9, czyli odpowiedź C.

\[-\frac{73}{9}\]

Sprawdzenie

Ponieważ 3² = 9, mamy 3⁻² = 1/9, a (−2)³ = −8. Ich różnica wynosi −73/9.

\[-\frac{73}{9}+\frac{1}{9}=-\frac{72}{9}=-8\]

Zadanie 2

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(9^9\cdot81^2\) jest równa

\(81^4\)

\(81\)

\(9^{13}\)

\(9^{36}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz potęgi przy tej samej podstawie

Ponieważ \(81=9^2\), możemy przedstawić oba czynniki jako potęgi liczby 9.

\[9^9\cdot81^2=9^9\cdot(9^2)^2=9^9\cdot9^4\]

2 Dodaj wykładniki

Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy ich wykładniki.

\[9^9\cdot9^4=9^{9+4}=9^{13}\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[9^{13}\]

Sprawdzenie

Ponieważ \(81^2=9^4\), wyrażenie ma wykładnik \(9+4=13\), zgodny z odpowiedzią C.

\[9^9\cdot81^2=9^9\cdot9^4=9^{13}\]

Zadanie 3

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Wartość wyrażenia \(\log_4 8+5\log_4 2\) jest równa

\(2\)

\(4\)

\(2+\log_4 5\)

\(1+\log_4 10\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie logarytmów

Zapisujemy argumenty i podstawę jako potęgi liczby 2, aby obliczyć oba logarytmy.

\[\log_4 8=\log_{2^2}2^3=\frac32,\qquad \log_4 2=\frac12\]

2 Dodanie składników

Podstawiamy obliczone wartości do wyrażenia.

\[\log_4 8+5\log_4 2=\frac32+5\cdot\frac12=4\]

Odpowiedź

Wynik to 4, czyli odpowiedź B.

\[4\]

Sprawdzenie

Korzystając z własności logarytmów, otrzymujemy logarytm liczby 256 przy podstawie 4. Ponieważ czwarta potęga 4 wynosi 256, wynik jest poprawny.

\[\log_4(8\cdot2^5)=\log_4 256=4,\qquad 4^4=256\]

Zadanie 4

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Dane są dwa koła. Promień pierwszego koła jest większy od promienia drugiego koła o 30%. Wynika stąd, że pole pierwszego koła jest większe od pola drugiego koła

o mniej niż 50%, ale więcej niż 40%.

o mniej niż 60%, ale więcej niż 50%.

dokładnie o 60%.

o więcej niż 60%.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Porównanie promieni

Oznaczamy promień drugiego koła przez r. Promień pierwszego jest od niego większy o 30%.

\[r_1=r+0{,}30r=1{,}30r\]

2 Porównanie pól

Pole koła jest proporcjonalne do kwadratu promienia, więc obliczamy stosunek pól.

\[\frac{P_1}{P_2}=\frac{\pi(1{,}30r)^2}{\pi r^2}=1{,}69\]

3 Obliczenie wzrostu

Od stosunku pól odejmujemy 1, aby otrzymać wzrost względem pola drugiego koła.

\[(1{,}69-1)\cdot100\%=69\%\]

Odpowiedź

Pole pierwszego koła jest większe o 69%, czyli o więcej niż 60%. Odpowiedź D.

\[69\%>60\%\]

Sprawdzenie

Przy promieniu drugiego koła równym 10 promień pierwszego wynosi 13. Pola wynoszą odpowiednio 100π i 169π, a różnica 69π stanowi 69% mniejszego pola.

\[\frac{169\pi-100\pi}{100\pi}=0{,}69=69\%\]

Zadanie 5

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(\left(2\sqrt{7}-5\right)^2\cdot\left(2\sqrt{7}+5\right)^2\) jest równa

\(9\)

\(3\)

\(2809\)

\(28-20\sqrt{7}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Połącz kwadraty

Iloczyn kwadratów jest kwadratem iloczynu, więc możemy zastosować wzór na różnicę kwadratów.

\[(2\sqrt{7}-5)^2(2\sqrt{7}+5)^2=\left((2\sqrt{7}-5)(2\sqrt{7}+5)\right)^2\]

2 Oblicz wartość

Iloczyn sumy i różnicy tych samych liczb to różnica ich kwadratów.

\[\left((2\sqrt{7})^2-5^2\right)^2=(28-25)^2=3^2=9\]

Odpowiedź

Wynik to 9, czyli odpowiedź A.

\[9\]

Sprawdzenie

Czynniki przed podniesieniem do kwadratu mają iloczyn 3, więc całe wyrażenie ma wartość 9.

\[(2\sqrt{7}-5)(2\sqrt{7}+5)=28-25=3,\quad 3^2=9\]

Zadanie 6

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór wszystkich liczb \(x\) spełniających warunek: \(11\leq 2x-7\leq 15\).

Oś liczbowa z pełnymi punktami przy −11 i −9 oraz zaznaczonymi częściami na lewo od −11 i na prawo od −9.

Oś liczbowa z pełnymi punktami przy 9 i 11 oraz zaznaczonymi częściami na lewo od 9 i na prawo od 11.

Oś liczbowa z pełnymi punktami przy −11 i −9 oraz zaznaczonym odcinkiem między nimi.

Oś liczbowa z pełnymi punktami przy 9 i 11 oraz zaznaczonym odcinkiem między nimi.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Usuń −7

Dodajemy 7 do każdej części nierówności, aby wyznaczyć wyrażenie z x.

\[11\leq 2x-7\leq 15\quad\Longleftrightarrow\quad 18\leq 2x\leq 22\]

2 Wyznacz x

Dzielimy każdą część przez dodatnią liczbę 2, więc znaki nierówności się nie zmieniają.

\[18\leq 2x\leq 22\quad\Longleftrightarrow\quad 9\leq x\leq 11\]

Odpowiedź

Zbiór rozwiązań to przedział domknięty od 9 do 11. Przedstawia go rysunek D.

\[x\in[9,11]\quad\text{— D}\]

Sprawdzenie

Dla końców przedziału wyrażenie 2x−7 przyjmuje odpowiednio wartości 11 i 15. Obie spełniają nierówność, więc oba końce należą do zbioru.

\[2\cdot9-7=11,\qquad 2\cdot11-7=15\]

Zadanie 7

Matura 2017 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Układy równań

Rozważmy treść następującego zadania: Obwód prostokąta o bokach długości \(a\) i \(b\) jest równy 60. Jeden z boków tego prostokąta jest o 10 dłuższy od drugiego. Oblicz długości boków tego prostokąta.

Który układ równań opisuje zależności między długościami boków tego prostokąta?

\(\begin{cases}2(a+b)=60\\a+10=b\end{cases}\)

\(\begin{cases}2a+b=60\\10b=a\end{cases}\)

\(\begin{cases}2ab=60\\a-b=10\end{cases}\)

\(\begin{cases}2(a+b)=60\\10a=b\end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie obwodu

Obwód prostokąta jest sumą długości jego czterech boków, więc wynosi dwa razy sumę długości a i b.

\[2(a+b)=60\]

2 Zapisanie różnicy boków

Możemy przyjąć, że bok b jest dłuższy od boku a o 10. Tę zależność spełnia równanie z odpowiedzi A.

\[a+10=b\]

3 Obliczenie długości

Podstawiamy wyrażenie na b do równania obwodu, aby wyznaczyć oba boki.

\[2(a+a+10)=60\;\Longrightarrow\;4a+20=60\;\Longrightarrow\;a=10,\quad b=20\]

Odpowiedź

Odpowiedź A. Boki mają długości 10 i 20.

\[\begin{cases}2(a+b)=60\\a+10=b\end{cases}\qquad a=10,\ b=20\]

Sprawdzenie

Długości są dodatnie, ich obwód wynosi 60, a różnica wynosi 10.

\[2(10+20)=60,\qquad 20-10=10\]