Otwarte2 pkt
Suma trzydziestu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego \((a_n)\), określonego dla \(n\geq 1\), jest równa 30. Ponadto \(a_{30}=30\). Oblicz różnicę tego ciągu.
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Wyznaczenie pierwszego wyrazu
Korzystamy ze wzoru na sumę ciągu arytmetycznego, ponieważ znamy sumę 30 wyrazów i ostatni z nich.
\[S_{30}=\frac{30(a_1+a_{30})}{2}=30\quad\Rightarrow\quad 15(a_1+30)=30\quad\Rightarrow\quad a_1=-28\]
2 Obliczenie różnicy
Trzydziesty wyraz powstaje z pierwszego po dodaniu różnicy 29 razy.
\[a_{30}=a_1+29r\quad\Rightarrow\quad 30=-28+29r\quad\Rightarrow\quad r=2\]
Odpowiedź
Różnica ciągu wynosi 2.
\[r=2\]
Sprawdzenie
Dla pierwszego wyrazu −28 i różnicy 2 trzydziesty wyraz wynosi 30, a suma trzydziestu wyrazów wynosi 30.
\[a_{30}=-28+29\cdot2=30,\qquad S_{30}=\frac{30(-28+30)}{2}=30\]