Otwarte2 pkt
Wykaż, że prawdziwa jest nierówność \[(1{,}5)^{100}<6^{25}.\]
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Sprowadzenie do tej samej potęgi
Ponieważ \(100=4\cdot25\), możemy porównać podstawy potęg o wykładniku 25.
\[(1{,}5)^{100}=\left(\left(\frac32\right)^4\right)^{25}=\left(\frac{81}{16}\right)^{25}\]
2 Porównanie podstaw
Mianownik jest dodatni, więc porównujemy liczniki. Podnoszenie dodatnich liczb do potęgi 25 zachowuje nierówność.
\[\frac{81}{16}<\frac{96}{16}=6\quad\Longrightarrow\quad\left(\frac{81}{16}\right)^{25}<6^{25}\]
Odpowiedź
Nierówność jest prawdziwa.
\[(1{,}5)^{100}<6^{25}\]
Sprawdzenie
Iloraz lewej i prawej strony wynosi \(\left(\frac{27}{32}\right)^{25}<1\), co potwierdza nierówność.
\[\frac{(1{,}5)^{100}}{6^{25}}=\left(\frac{81}{96}\right)^{25}=\left(\frac{27}{32}\right)^{25}<1\]