Otwarte2 pkt
Dwusieczna kąta ostrego \(ABC\) przecina przyprostokątną \(AC\) trójkąta prostokątnego \(ABC\) w punkcie \(D\).
Udowodnij, że jeżeli \(|AD|=|BD|\), to \(|CD|=\frac{1}{2}\cdot|BD|\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Wyznaczenie kąta przy A
W trójkącie ABD boki AD i BD są równe, więc kąty leżące naprzeciw nich też są równe. Ponieważ BD jest dwusieczną kąta ABC, kąt przy A ma połowę miary kąta ABC.
\[\angle BAC=\angle BAD=\angle ABD=\frac{1}{2}\angle ABC\]
2 Wyznaczenie kąta przy B
Kąty ostre trójkąta prostokątnego ABC sumują się do 90°, zatem kąt ABC ma 60°, a jego połowa ma 30°.
\[\frac{1}{2}\angle ABC+\angle ABC=90^\circ\quad\Rightarrow\quad\angle ABC=60^\circ,\qquad\angle DBC=30^\circ\]
3 Zastosowanie własności trójkąta prostokątnego
W trójkącie prostokątnym BCD bok CD leży naprzeciw kąta 30°, więc ma połowę długości przeciwprostokątnej BD.
\[|CD|=\frac{1}{2}|BD|\]
Odpowiedź
Teza została udowodniona.
\[|CD|=\frac{1}{2}|BD|\]
Sprawdzenie
W trójkącie BCD pozostały kąt ostry ma 60°, więc stosunek boków CD do przeciwprostokątnej BD równy 1:2 jest zgodny z własnością trójkąta o kątach 30°, 60° i 90°.
\[\angle BDC=180^\circ-90^\circ-30^\circ=60^\circ\]